1.2.1命题与量词学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

第2周 2025-7-18 一个人借故堕落总是不值得原谅的。 ( 《 命题 与量词 》 预导案 组题： 孙 老师 审核： 杨 老师 时长： 高一 数学 ) 姓名： 班级： 分值：_________ 一、知识梳理 1．命题 可供真假判断的陈述语句是命题，而且，判断为真的语句称为 ，判断为假的语句称为假命题. 2.全称量词（命题）和存在量词（命题） 全称量词 存在量词 所有、任意、每一个 存在、有、至少有一个 含有 的命题是全称量词命题 含有 的命题是存在量词命题 “对集合 中的所有元素 , ”，可简记为“ ” “存在集合 中的元素 ， ”，可简记为“ ” 二、考向分析 考向一 命题真假的判断 【例1】下列命题中， 是真命题， 是假命题： （1）102=100；（2）所有无理数都大于零； （3）平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行； （4）一次函数y=2x+1的图像经过点（0，1）； （5）设a，b，c是任意实数，如果a>b，则ac>bc； （6）Z⊑Q. 【举一反三】 1.下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________． 考向二 全称量词命题与存在量词命题的辨析 【例2】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题． (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 【举一反三】 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)不等式x2＋x＋1>0恒成立； (2)有的一次函数图像经过原点； (3)所有的二次函数的图像的开口都向上． 2．下列命题不是全称量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．我班绝大多数同学是团员 D．每一个方程都有实数解 3.给出下列命题： ①存在实数x>1，使x2>1； ②全等的三角形必相似； ③有些相似三角形全等； ④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数． 其中存在量词命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4.(多选)下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任意一个x∈R，使得x2>3 D．所有x∈R，使得x2>3 考向三 全称量词命题和存在量词命题的真假判断 【例3】指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若a<b，都有a2<b2； (4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0. 【举一反三】 1.下列是存在量词命题且是真命题的是(　 　) A．∀x∈R，x3>0 B．∃x∈Z，x2>2 C．∀x∈N，x2∈N D．∃x，y∈R，x2＋y2<0 2.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假． (1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； (4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数． ( 第 2 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $第2周 2025-7-18 一个人借故堕落总是不值得原谅的。 ( 《 命题 与量词 》 预导案 组题： 孙 老师 审核： 杨 老师 时长： 高一 数学 ) 姓名： 班级： 分值：_________ 一、知识梳理 1．命题 可供真假判断的陈述语句是命题，而且，判断为真的语句称为 真命题 ，判断为假的语句称为假命题. 2.全称量词（命题）和存在量词（命题） 全称量词 存在量词 所有、任意、每一个 存在、有、至少有一个 含有 全称量词 的命题是全称量词命题 含有 存在量词 的命题是存在量词命题 “对集合 中的所有元素 , ”，可简记为“ ∈M , ” “存在集合 中的元素 ， ”，可简记为“ ∃∈M , ” 二、考向分析 考向一 命题真假的判断 【例1】下列命题中， （1）（3）（4）（6） 是真命题， （2）（5） 是假命题： （1）102=100；（2）所有无理数都大于零； （3）平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行； （4）一次函数y=2x+1的图像经过点（0，1）； （5）设a，b，c是任意实数，如果a>b，则ac>bc； （6）Z⊑Q. 【举一反三】 1.下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________． 答案　①③ 考向二 全称量词命题与存在量词命题的辨析 【例2】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题． (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． (1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0. (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2. (3)是存在量词命题，表示为∃四边形是平行四边形，它的对角线不互相垂直． (4)是存在量词命题，表示为∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 【举一反三】 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)不等式x2＋x＋1>0恒成立； (2)有的一次函数图像经过原点； (3)所有的二次函数的图像的开口都向上． (1)全称量词命题．表示为∀x∈R，x2＋x＋1>0. (2)存在量词命题．∃一次函数，它的图像过原点． (3)全称量词命题．∀二次函数，它们的图像的开口都向上． 2．下列命题不是全称量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．我班绝大多数同学是团员 D．每一个方程都有实数解 答案　C 3.给出下列命题： ①存在实数x>1，使x2>1； ②全等的三角形必相似； ③有些相似三角形全等； ④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数． 其中存在量词命题的个数为(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 4.(多选)下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任意一个x∈R，使得x2>3 D．所有x∈R，使得x2>3 答案　CD 考向三 全称量词命题和存在量词命题的真假判断 【例3】指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若a<b，都有a2<b2； (4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0. (1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题． (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． (3)存在a＝－5，b＝－3，a<b，但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题． (4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题． 【举一反三】 1.下列是存在量词命题且是真命题的是(　B　) A．∀x∈R，x3>0 B．∃x∈Z，x2>2 C．∀x∈N，x2∈N D．∃x，y∈R，x2＋y2<0 2.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假． (1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； (4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数． 解　(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0；真命题． (2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题． 如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个． (3)∃x，y∈Z,3x－2y＝10；真命题． (4)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题． ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $