1.2.1 命题与量词 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.2.1 命题与量词 【学习目标】 1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.(数学抽象) 2.能对全称量词命题与存在量词命题的真假进行判断.(逻辑推理) 3.能利用全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的值或取值范围.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.“明年是2025年”是命题吗?为什么? 2.一个命题能否既是真命题又是假命题? 3.是否存在至今还无法判断真假的命题?这类命题应如何定义? 4.任意两个全等的三角形必相似,其中的“任意”称为什么量词? 5.存在两个相似的三角形全等,其中的“存在”称为什么量词? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)命题“任意一个自然数都是正整数”是真命题. ( ) (2)命题“三角形的内角和是180 ”是全称量词命题. ( ) (3)命题“梯形有两边平行”是假命题.( ) (4)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词. ( ) 2.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( ). A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x,使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x,使>2 3.将命题“x+1>,x>0”改写成全称量词命题:_. 4.若对任意x>3,都有x>a恒成立,则实数a的取值范围是_. 【合作探究】 探究1 全称量词命题与存在量词命题的判定 我们学校为了迎接10月28日的秋季田径运动会,正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演.这1 000名学生有下列特点: (1)所有学生都来自高一年级; (2)至少有30名学生来自高一(2)班; (3)每一个学生都有固定的表演路线. 问题1:上述问题中“所有”“每一个”的含义相同吗? 问题2:“至少”是全称量词吗? 问题3:“一元二次方程ax2+2x+1=0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题?请改写成相应命题的形式. 问题4:全称量词限制变量的范围吗? 1.命题的概念 一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,_称为命题.其中,_的语句称为真命题,_的语句称为假命题.一个命题,一般可以用一个小写英文字母表示,如p,q,r,…. 2.全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 _ 全称量词命题 含有_的命题 形式 “对集合M中的所有元素x,r(x)”,可用符号简记为“_” 3.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 _ 存在量词命题 含有_的命题 形式 “存在集合M中的元素x,s(x)”可用符号简记为“_” 例1 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)∀x∈N,2x+1是奇数; (2)存在一个x∈R,使=0; (3)对任意实数a,|a|>0; (4)有一个角 ,使sin =. 【方法总结】全称量词命题和存在量词命题的判断方法 下列命题中,是全称量词命题的是_,是存在量词命题的是_. ①正方形的四条边相等; ②有两个角是45 的三角形是等腰直角三角形; ③正数的平方根不等于0; ④至少有一个正整数是偶数. 用全称量词或存在量词表示下列语句: (1)不等式x2+x+1>0恒成立; (2)当x为有理数时,x2+x+1也是有理数; (3)方程3x-2y=10有整数解. 探究2 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 生活中的语言处处体现真假的判断.班主任请了两天假,回来后,问班长:“周一的体育课咱班学生都去操场上课了吗?”班长说:“周一我点名了,咱班所有学生都去上课了.”又问:“周二的数学自习课咱班有学生没来吗?”班长说:“王宇生病请假没来.”根据以上话语,回答下列问题. 问题1:周一的体育课咱班学生都去操场上课了,班长怎样证明的? 问题2:周二的数学自习课咱班有学生没来,班长怎样证明的? 问题3:如果班长说谎了,该怎样反驳他? 要判断全称量词命题“∀x∈M,r(x)”为假命题,只需要在集合M中找到一个元素x0,使得r(x0)不成立;要判断全称量词命题为真命题,必须对集合M中的每一个元素x,证明r(x)成立.简单地说,判断全称量词命题真假的步骤为“先找反例后证明”. 要判断存在量词命题“∃x∈M,s(x)”为真命题,只需要在集合M中找到一个元素x0,使得s(x0)成立;要判断存在量词命题为假命题,必须说明集合M中不存在元素x,使得s(x)成立.简单地说,判断存在量词命题真假的步骤为“先找正例后证明”. 例2 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假. (1)有的三角形不是等腰三角形; (2)∀x∈{3,5,7},3x+1是偶数; (3)∃x∈Q,x2=3. 判断下列命题的真假. (1)∀x∈R,|x|>0; (2)∀k∈R,函数y=kx+1是一次函数; (3)∀x∈R,x2>-1; (4)存在一个三角形,它的内角和小于180 ; (5)存在正实数x,y,使x2+y2=0. 探究3 利用全称量词命题和存在量词命题求参数的值或取值范围 已知下列问题中的命题p(x)为真命题. 问题1:若命题p(x):∃x∈R,x2=m,则m的取值范围是什么? 问题2:若命题p(x):∀x∈R,x2≠m,则m的取值范围是什么? 问题3:若命题p(x):∀x∈R,x2≥m,则m的取值范围是什么? 如果一个全称(存在)量词命题为真命题,那么该命题中所涉及的每一个(某些)元素都具有某些性质,因此可以利用这一结论求解相关的问题.由全称(存在)量词命题的性质可以把代数式的恒成立(能成立)问题转化为数学式子的最值问题来进行求解. 例3 (1)已知集合A={x|1≤x≤2},若命题“∀x∈A,一次函数y=x+m的图象在x轴上方”是真命题,则实数m的取值范围是_. (2)若命题“∃x∈R,使得方程ax2+2x-1=0成立”是真命题,求实数a的取值范围. 【变式设问】本例(2)中的方程改为“x2+2x+2=m”,求实数m的取值范围. 【方法总结】利用含量词命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如f(x)≥0)确定参数的取值范围; (2)含参数的存在量词命题为真时,求参数的取值范围常转化为方程或不等式有解问题来处理,可借助根的判别式等知识解决. 已知命题“∀x∈R,4x2+ x+≥0”是真命题,则实数a的取值范围是( ). A.2<a<6 B.a<6 C.2≤a≤6 D.a≤6 若命题“对任意实数x,2x>m(x2+1)”是真命题,求实数m的取值范围. 【随堂检测】 1.(改编)“红豆生南国,春来发几枝?愿君多采撷,此物最相思.”这首《相思》是唐代山水田园诗人王维的作品,王维字摩诘,号摩诘居士.苏轼有云:“味摩诘之诗,诗中有画?观摩诘之画,画中有诗.”这首诗中,在当时的条件下,可以作为命题的是( ). A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思 2.下列命题中,既是全称量词命题又是真命题的是( ). A.每个二次函数的图象都开口向上 B.对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b C.存在一条直线与两条直线都平行 D.存在一个实数x,使不等式x2-3x+6<0成立 3.下列命题不能用“∃x∈R,x2>3”来表示的是( ). A.有一个x∈R,使x2>3 B.有些x∈R,使x2>3 C.对任意一个x∈R,x2>3 D.至少有一个x∈R,使x2>3 4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假. (1)∃x∈R,|x|+2≤0; (2)存在一个实数x,使x2+x+8=0; (3)每个二次函数的图象都与x轴相交. 参考答案 1.2.1 命题与量词 自主预习 悟新知 预学忆思 1.是.可供真假判断的陈述语句就是命题. 2.不能.要么是真命题,要么是假命题. 3.存在,如哥德巴赫猜想.未能得到真假判断的命题称为猜想. 4.全称量词. 5.存在量词. 自学检测 1.(1) (2)√ (3) (4) 2.B 【解析】A是全称量词命题. B为存在量词命题,当x=0时,x2=0成立,所以B为真命题. 因为+(-)=0,所以C为假命题. 对于任何一个负数x,都有<0,所以D为假命题.故选B. 3.对任意x>0,都有x+1>成立 4.{a|a≤3} 【解析】对于任意x>3,都有x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,所以a≤3,故实数a的取值范围是{a|a≤3}. 合作探究 提素养 探究1 情境设置 问题1:相同. 问题2:不是,是存在量词. 问题3:是存在量词命题,可改写为“存在x∈R,使ax2+2x+1=0”. 问题4:全称量词往往限制变量的范围. 新知生成 1.可供真假判断的陈述语句 判断为真 判断为假 2.∀ 全称量词 ∀x∈M,r(x) 3.∃ 存在量词 ∃x∈M,s(x) 新知运用 例1 【解析】(1)是全称量词命题. (2)是存在量词命题. (3)是全称量词命题. (4)是存在量词命题. 巩固训练1 ①②③ ④ 【解析】根据所含的量词可判断出①②③为全称量词命题,④为存在量词命题. 巩固训练2 【解析】(1)对任意实数x,不等式x2+x+1>0成立. (2)对任意有理数x,x2+x+1是有理数. (3)存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立. 探究2 情境设置 问题1:班长一一点名了. 问题2:举例说明,王宇生病请假没来. 问题3:反驳第一句话:举个例子,说明有学生没去;反驳第二句话:一一点名. 新知运用 例2 【解析】(1)命题中含有存在量词“有的”,因此是存在量词命题.三条边互不相等的三角形不是等腰三角形,因此是真命题. (2)命题中含有全称量词的符号“∀”,因此是全称量词命题.把x=3,5,7分别代入3x+1,得10,16,22都是偶数,因此是真命题. (3)命题中含有存在量词的符号“∃”,因此是存在量词命题.由于使x2=3成立的实数只有 ,且它们都不是有理数,因此,没有一个有理数的平方等于3,所以“∃x∈Q,x2=3”是假命题. 巩固训练 【解析】(1)由于0∈R,当x=0时,|x|>0不成立,因此命题“∀x∈R,|x|>0”是假命题. (2)由于k∈R,当k=0时,y=kx+1不是一次函数,因此该命题是假命题. (3)由于∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2>-1. 因此命题“∀x∈R,x2>-1”是真命题. (4)因为所有的三角形的内角和都等于180 ,所以该命题是假命题. (5)由于使x2+y2=0成立的只有x=y=0,而0不是正实数,因而没有正实数x,y,使x2+y2=0成立,因此命题“存在正实数x,y,使x2+y2=0”是假命题. 探究3 情境设置 问题1:依题意,方程x2=m有实数解,∴m≥0. 问题2:依题意,可得m<0. 问题3:∵对一切x∈R,x2≥0,∴m≤0. 新知运用 例3 (1){m|m>-1} 【解析】(1)当1≤x≤2时,1+m≤x+m≤2+m,因为一次函数y=x+m的图象在x轴上方,所以1+m>0,即m>-1,所以实数m的取值范围是{m|m>-1}. (2)由题意得,关于x的方程ax2+2x-1=0有实数根,当a=0时,方程为2x-1=0,显然有实数根,满足题意;当a≠0时, =4+4a≥0,解得a≥-1且a≠0. 综上所述,实数a的取值范围是{a|a≥-1}. 【变式设问】 【解析】依题意,方程x2+2x+2-m=0有实数解,所以 =4-4 (2-m)≥0,解得m≥1,故实数m的取值范围是{m|m≥1}. 巩固训练1 C 【解析】因为“∀x∈R,4x2+ x+≥0”是真命题, 所以解得2≤a≤6.故选C. 巩固训练2 【解析】由题意知,不等式2x>m(x2+1)恒成立, 即不等式mx2-2x+m<0恒成立. 当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立,不符合题意; 当m≠0时,要使不等式mx2-2x+m<0恒成立, 则解得m<-1. 综上所述,实数m的取值范围是(-∞,-1). 随堂检测 精评价 1.A 【解析】对于A选项,“红豆生南国”是陈述句,所述事件在唐代是事实,所以本句是命题;对于B选项,“春来发几枝”是疑问句,不是命题;对于C选项,“愿君多采撷”是祈使句,不是命题;对于D选项,“此物最相思”是感叹句,不是命题. 2.B 【解析】C,D均为存在量词命题,A中,当二次项系数小于零时,图象开口方向向下,故为假命题.故选B. 3.C 【解析】“对任意一个x∈R,x2>3”是全称量词命题,不能用符号“∃”表示,故选C. 4.【解析】(1)存在量词命题. ∵∀x∈R,|x|≥0,∴|x|+2≥2, ∴不存在x∈R,使|x|+2≤0.故该命题为假命题. (2)存在量词命题. ∵x2+x+8=x+2+>0,∴该命题为假命题. (3)全称量词命题. 存在y=x2+x+1的图象与x轴不相交,故该命题为假命题. 学科网(北京)股份有限公司 $