精品解析：2025年江西省中考命题信息原创卷 (六)数学试卷

2025 年江西省中考命题信息原创卷 （六） 数 学 （满分120分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 3的绝对值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的性质即可得出答案． 【详解】解：根据一个正数的绝对值是它本身，得|3|=3． 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．掌握绝对值的性质是解题关键． 2. 如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：垂线段最短， 点P到直线l距离小于4， 故选：D． 3. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴的性质，有理数的加法，有理数的乘法，有理数的大小比较的原则，逐一判断即可． 本题考查了数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，有理数的加法，有理数的乘法，数轴的意义，熟练掌握数轴的意义，有理数的大小比较是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意，得，且，， 故，， A. 错误，不符合题意； B. 正确，符合题意； C. 错误，不符合题意 D. 错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图所示的“箭头”图形中，，，，，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长分别交于点 P，Q，过点G作，利用平行线的判定和性质，三角形的外角性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长分别交于点 P，Q，过点G作， 则， ∴． ∵， ∴， ， ∴． 故选：D． 5. 如图，一个正方体的表面标有⊙，，○三个符号，其对应的展开图可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方体的展开与折叠，正方体的平面展开图的特点为：相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”，以此来找相对面. 根据正方体的展开图相隔一个正方形是对面关系判断即可. 【详解】解：根据原正方体可得标有⊙，，○三个符号为邻面，不是对面关系， A．选项展开图标有⊙，○两面为对面关系； B．选项展开图标有⊙，○两面为对面关系； C．选项展开图符合原正方体，是正方体的展开图； D．选项展开图标有○面的位置不对，应该在对立面才对． 故选：C． 6. 已知抛物线与x轴交于点．关于m，n，p，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意抛物线与x轴交于点，抛物线与交于点，作出草图，根据抛物线的性质，结合图象解答即可． 本题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 可知抛物线开口向上，x轴交于点， 则是方程的两个根， 故， 与直线交于点， 假设， 画出抛物线的草图如图所示， 根据抛物线的性质，得， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若分式 ，则x的值可以为___________（写出一个实数即可）． 【答案】4（不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式的值不为零的条件，熟练掌握分子不为零，且分母不为零是解题的关键．根据且，计算即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， 故x取不等于3，不等于的任意实数，可以取， 故答案为：4（不唯一）． 8. 2024年3月5日，国务院总理李强向十四届全国人大二次会议作政府工作报告，提出今年发展主要预期目标之一是城镇新增就业1200万人以上，其中1200万用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示形式.科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 直接根据科学记数法的表示形式作答即可. 【详解】解：1200万 故答案为：． 9. 我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，爱思考的小贤利用这个方法，在练习本上从上往下依次每行画上△，满八进一，用来记录一周背诵单词的个数，图1表示他第一周背的单词数为，图2表示他第二周背的单词数，则他第二周背了___个单词． 【答案】156 【解析】 【分析】根据满八进一，逐一列式计算，判断即可． 【详解】解：由题意可得： 个， ∴他第二周背了156个单词， 故答案为：156． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，类比十进制，得到八进一的数的表示方法，是解题的关键． 10. 已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于 _____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系与完全平方公式即可求解． 【详解】∵m，n是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和利用完全平方公式变形求解．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 11. 数学文化中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了如图（1）所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图（2）所示的矩形．若图（1）中大正方形的周长为，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查“赵爽弦图”，等积图形变换，勾股定理，图形的拼接，设，根据图（1）中间小正方形的与图（2）中小正方形的边长相等，得到，由图（1）中大正方形的周长为 ，则可求出长，利用勾股定理即可求出长度，则题目可解． 【详解】解：如图（2），设， 则图（1）中间小正方形的边长为，图（2）中小正方形的边长为a， ∴，即． ∵ 图（1）中大正方形的周长为， ∴大正方形边长 由勾股定理可得 即， ， ， ． 故答案为：． 12. 如图，在钟面上12点处有甲、乙两个光点，其中光点甲以的速度按逆时针方向、光点乙以 的速度按顺时针方向沿着钟面边缘运动，已知钟面边缘的长度为，在运动过程中，光点甲、乙会多次相遇，则它们相遇的点在数字___________处． 【答案】4或8或12 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律，分析出光点甲、乙运动过程中在钟面上对应数字的规律成为解题的关键．分析已知条件可知当光点甲运动到钟面上的数字处时，（a为正整数），同理可知当光点乙运动到钟面上的数字处时，（a为正整数），然后列表寻找规律即可解答． 【详解】∵钟面被均分为12等份，且钟面边缘的长度为， ∴钟面边缘上每相邻两个数字之间的长度为． ∵光点甲以的速度按逆时针方向沿着钟面边缘运动， ∴当光点甲运动到钟面上的数字处时，（a为正整数），同理可知当光点乙运动到钟面上的数字处时，（a为正整数）， 分析光点甲、乙的运动规律如下表： 时间t/s 光点甲在钟面上对应的数字 光点乙在钟面上对应的数字 5 8 2 10 4 4 15 12 6 20 8 8 25 4 10 30 12 12 … … … 依上表规律可得，光点甲、乙相遇的点在数字4或8或12处． 故答案为：4或8或12． 三、解答题（本大题共5 小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： ． （2）若，则代数式 的值是多少？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，算术平方根定义，特殊角的三角函数值，计算即可． （2）根据式子的值，求代数式的值计算即可． 本题考查了零指数幂，算术平方根定义，特殊角的三角函数值，求代数式的值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解： （2）解：∵， 14. 如图，在正三角形网格中，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图（1）中，过点B作的平行线； （2）在图（2）中，过点O作的平行线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据正六边形的对称性，作图即可； （2）三角形的三条中线交于一点，对称性画图即可． 本题考查了对称性，中线的性质，基本作图，熟练掌握作图依据是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据正六边形的对称性，作图如下： 则即为所求． 理由如下： ∵正三角形网格， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：根据三角形的三条中线交于一点，对称性画图如下： 则即为所求． 理由如下： 设的交点为点Q， ∵正三角形网格， ∴，， ∴，， ∴是的中线， ∵正三角形网格， ∴， ∴是的中线， 则点T为中线的交点， 根据三角形的中线交于一点， 连接并延长交于点N， 则点N一定是的中点， ∴， 连接并延长交于点M， ∵正三角形网格， ∴， 根据（1）证明，得， ∴， ∴， ∴． 15. 在一次物理实验操作测试中，要求学生在如图所示的四个实验中随机抽取一个实验作为自己的测试内容． （1）在这次物理实验操作测试中，随机抽取一个实验，抽到“探究杠杆的平衡条件”是 事件，抽到“探究液体内部压强影响因素”是 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）若小明与小红都参加了本次测试，请用列表法或画树状图法，求小明与小红抽到相同实验的概率． 【答案】（1）随机，不可能 （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件分类，解答即可． （2）根据画树状图法，求概率即可． 本题考查了事件的分类，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得随机抽取一个实验，抽到“探究杠杆的平衡条件”是随机事件，抽到“探究液体内部压强影响因素”是不可能事件． 故答案为：随机 不可能． 【小问2详解】 解：方法一：将实验一、二、三、四依次用E，F，G，H表示，根据题意可列表如下． E F G H E （E，E） （E，F） （E，G） （E，H） F （F，E） （F，F） （F，G） （F，H） G （G，E） （G，F） （G，G） （G，H） H （H，E） （H，F） （H，G） （H，H） 由上表可知共有16种等可能的结果，其中小明与小红抽到相同实验的结果有4种，故所求概率 方法二：将实验一、二、三、四依次用E，F，G，H表示，根据题意可画树状图如下． 由树状图可知共有16种等可能的结果，其中小明与小红抽到相同实验的结果有4种， 故所求概率 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点为的中点，反比例函数的图象过点，且． （1）求的值； （2）求直线函数表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的结合，求函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用线段的中点求出点的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法代入假设的解析式中即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点，作轴于点， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象过点， ∴； 【小问2详解】 解：设直线的函数表达式为， ∵， ∴， 把的坐标分别代入， 得 解得 ∴直线的函数表达式为． 17. （1）课本再现：我们知道，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这即为等腰三角形的判定方法．如图1，在中，，求证：．请你完成证明过程； （2）知识应用：如图2，已知中，；平分交于点D，平分交于点E，交于点F，则图2中等腰三角形有_________个． 【答案】（1）见解析；（2）8 【解析】 【分析】（1）过点作于点，证明，得出 （2）根据三角形内角和以及等腰三角形的性质，分别求得图中的几个锐角的度数，根据等角对等边证明等腰三角形即可求解． 详解】解：（1）过点作于点，如图1 ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ （2）如图，i中，； ∴是等腰三角形， ∴， ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴， ∴, ∴是等腰三角形， ∵, ∴ ∴ ∴是等腰三角形 ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴ ∴， ∴是等腰三角形， 综上所述，共有8个等腰三角形， 故答案为： 8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，为的直径，点B是上方半圆上的一点，平分交于点D，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先连接，再根据直径所对的圆周角是直角及角平分线定义求出，然后根据圆周角定理求出 ，最后结合平行线的性质得，结合切线的判定得出答案； （2）先根据两角对应相等的两个三角形相似得，再根据相似三角形的对应边成比例，同时代入数值求出答案即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴ ，即， ∴ 为 的切线． 【小问2详解】 如图，连接． ∵， ∴ ． ∵ ∴， ∵， 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，相似三角形的性质和判定等，掌握性质定理是解题的关键,连接圆心和圆上的点，再证明垂直是圆的切线的判定的常用方法． 19. “每满x元减y元”问题：五一劳动节期间，某商场推出两种优惠活动，并规定顾客结账时只能选择其中一种进行结算． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满400元减100元．（如：所购商品原价为400元，可减100元，需付款300元；所购商品原价为900元，可减200元，需付款700元） （1）若购买原价为550元的商品，选择活动 （填“一”或“二”）结算更为合算． （2）小朱买了原价在600元以下的商品．经推算，发现选择活动一比选择活动二要多付18元，求小朱所购商品的原价． （3）若购买原价为x（）元的商品，且选择活动二比选择活动一合算，求x的取值范围． 【答案】（1）一 （2） 元 （3） 或 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用，掌握根据实际问题建立方程和不等式的方法是解题的关键． （1）分别计算两种活动的付款金额，再比较大小； （2）设商品原价为元（），分情况讨论活动二的减价次数，根据活动一与活动二付款的差值列方程求解； （3）分、和三种情况，根据活动二付款小于活动一付款列不等式求解． 【小问1详解】 活动一：商品按原价打八折，付款金额为（元）， 活动二：商品原价每满元减元，元满元，可减元，付款金额为（元）， ∵， ∴选择活动一结算更为合算． 故答案为：一． 【小问2详解】 设小朱所购商品的原价为元（）， 当时， 活动二可减元，活动一付款元，活动二付款元， 根据题意，， ， ， ， 当时， 活动二不减价，活动一付款元，活动二付款元， 此时， 即活动一付款更少，不符合“活动一比活动二要多付元”， 故此情况舍去． ∴小朱所购商品的原价为元． 【小问3详解】 活动一：元； 活动二：当时，可减元，付款元； 当时，可减元，付款元； 当时，可减元，付款元； 当时，， ， ， ， 与矛盾，无解； 当时，， ， ， ， 结合前提，得； 当时， , ， ， 故当时，选择活动二比选择活动一合算． 综上，的取值范围是或． 20. 展示台又称实物展示台．把它连接在投影机和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来，是多媒体教室不可或缺的教学设备之一．一台普通的视频展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图（1）是一个实物展示台，图（2）、图（3）是其侧面抽象示意图．立柱 且立柱垂直水平桌面．C为摄像头，可绕点B旋转，且． （1）当与水平桌面平行时，如图（2），投影宽度，投影线，求摄像头的广角的度数； （2）在（1）的条件下，将 绕点B旋转，使得，如图（3），旋转过程中摄像头的广角及的大小始终保持不变，求此时的投影宽度的长．（结果保留一位小数）（参考数据：， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线构造矩形和等腰三角形，利用三角函数求出角度； （2）同样通过作辅助线构造矩形，利用三角函数求出线段长度，进而得到投影宽度. 【小问1详解】 解：如图（1），过点C作于点F，则易知四边形是矩形， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 答：摄像头的广角 的度数约为． 【小问2详解】 解：如图（2），过点 C作 于点 P，过点 B作 于点 Q，则易知四边形是矩形， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ 在 中，，， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ， ∴在中，； 在 中，， ∴． 即此时的投影宽度的长约为． 【点睛】本题主要运用矩形的判定和性质、等腰三角形“三线合一”的性质、三角函数的应用，添加辅助线构造矩形和直角三角形是关键． 五、解答题（本大题共2 小题，每小题9分，共18分） 21. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》颁布后，数学新版教材也开始了修订与试用，甲、乙两所中学对新版教材进行了试用．为了解试用情况，对甲、乙两所学校的学生进行了问卷调查．从甲、乙两所中学各随机抽取100名学生的问卷，并将试用评分（x/分）分为5组（很满意：；满意：；比较满意：；不太满意：；不满意：），整理、分析后得到如下信息． 甲中学试用评分频数分布直方图 乙中学试用评分扇形统计图 甲、乙两所中学试用评分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲中学 85 n 83 乙中学 85 79 80 将抽取的甲中学评分等级为“满意”的分数从高到低排列，排在最后的10个数是83，83，83，83，82，81，81，81，80，80． 根据以上信息，完成下列问题． （1） ， ． （2）根据以上数据，你认为哪所中学对新版教材的试用评价较高？请说明理由（一条即可）． （3）若规定评分在80分及以上的试用教材为合格．已知甲中学有1200名学生参加了问卷调查，乙中学有1000名学生参加了问卷调查，请你估计两所中学认为试用教材合格的学生总人数． 【答案】（1）25， （2）甲中学，见解析 （3）1160人 【解析】 【分析】（1）根据所占百分比之和为1，计算m，根据中位数的定义计算n． （2）从统计的视角选择一种方式解答即可． （3）利用样本估计总体的思想解答即可． 本题考查了统计图，中位数，扇形的百分比计算，样本估计总体，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得，即． 将抽取的甲中学的评分从高到低排列后，处在中间位置的两个数为82，81， 故答案为：25，． 小问2详解】 解：甲中学试用评价较高． 理由：甲中学试用评分的中位数比乙中学的高（答案不唯一，合理即可）． 【小问3详解】 解：根据题意，得 甲中学：（人）， 乙中学：（人）， 故一共有（人）， ∴ 两所中学认为试用教材合格的学生总人数约为1160人． 22. 如图1，某塑料大棚的一端由一个矩形的支架和抛物线形拱组成，小龙同学测得矩形支架的长，高，并测得距边的大棚顶部点M处的高为，以矩形支架的顶点O为原点，边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2所示． （1）求该塑料大棚最高点到地面的距离； （2）小龙同学把抛物线形拱所在的抛物线画出，如图3，然后利用抛物线和矩形进行深入探索，并提出了如下问题，请你进行解答． ①将抛物线向右平移，设抛物线与矩形两边，分别交于点D，E，当直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离； ②将抛物线上下平移，设抛物线与y轴交点的纵坐标为n，当抛物线与矩形四边只有两个交点时，请求出n的取值范围． 【答案】（1）米 （2）①4m；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和图象平移规律是关键． （1）待定系数法求出二次函数解析式，利用抛物线对称性质求出塑料大棚最高点到地面的距离即可； （2）①先求出平移前抛物线与轴的左边交点坐标，再利用矩形的中心对称性质求出平移距离即可； ②当抛物线过点时，与矩形只有两个交点，此时，当抛物线顶点在上时，此时，当抛物线顶点在上时，此时，继而得到抛物线与矩形四边只有两个交点时的取值范围． 【小问1详解】 解：， 设抛物线的表达式为， 将点和点代入得，，解得， 抛物线的表达式为． 根据抛物线的对称性质可知，抛物线顶点坐标的横坐标为3， 顶点的纵坐标，故该塑料大棚最高点到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：①设抛物线平移前与x轴的左交点为F． 令，则，解得，， ． 连接，，交于点H， 则点H是矩形对角线中点， 则． 设抛物线平移的距离为，则，， 当直线经过点H时，可以将矩形的面积平分， ，解得， 故抛物线平移的距离为； ②当抛物线过点A时，与矩形只有两个交点，此时． 当抛物线的顶点在和之间时，抛物线与矩形有两个交点， 则当抛物线顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为，此时． 当抛物线的顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为，此时， 故当抛物线顶点在边与之间时，． 综上所述，n的取值范围为或． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图（1），在菱形中，，点P为菱形内一点，且，延长交于点E，连接，设． （1）①填空： ， ；（用含的代数式表示） ②求∠DPE 的度数． （2）将沿翻折得到，如图（2），连接． ①求证：； ②若，连接，求的长． 【答案】（1）①， ；② （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）①根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；先说明，再根据等边对等角以及三角形内角和定理求解即可；②由平角的意义列式计算即可； （2）①如图，连接，由折叠的性质可证明为等边三角形，再证明为等边三角形，易证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论；②由全等三角形的性质以及已知可得、，即，再说明，然后由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ， ∵在菱形中，， ， ∴， ； ②． 【小问2详解】 证明：①如图，连接． ∵沿翻折得到， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵在菱形中，， ∴都是等边三角形． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ②∵，， ，， ∴， ∵，是等边三角形， ∴． ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 年江西省中考命题信息原创卷 （六） 数 学 （满分120分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 3的绝对值是（ ） A B. C. D. 3 2. 如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 4. 如图所示的“箭头”图形中，，，，，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个正方体的表面标有⊙，，○三个符号，其对应的展开图可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线与x轴交于点．关于m，n，p，下列正确的是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若分式 ，则x的值可以为___________（写出一个实数即可）． 8. 2024年3月5日，国务院总理李强向十四届全国人大二次会议作政府工作报告，提出今年发展主要预期目标之一是城镇新增就业1200万人以上，其中1200万用科学记数法表示为___________． 9. 我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，爱思考的小贤利用这个方法，在练习本上从上往下依次每行画上△，满八进一，用来记录一周背诵单词的个数，图1表示他第一周背的单词数为，图2表示他第二周背的单词数，则他第二周背了___个单词． 10. 已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于 _____． 11. 数学文化中国古代数学家们对于勾股定理发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了如图（1）所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图（2）所示的矩形．若图（1）中大正方形的周长为，则的长为___________． 12. 如图，在钟面上12点处有甲、乙两个光点，其中光点甲以的速度按逆时针方向、光点乙以 的速度按顺时针方向沿着钟面边缘运动，已知钟面边缘的长度为，在运动过程中，光点甲、乙会多次相遇，则它们相遇的点在数字___________处． 三、解答题（本大题共5 小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： ． （2）若，则代数式 的值是多少？ 14. 如图，在正三角形网格中，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图（1）中，过点B作的平行线； （2）在图（2）中，过点O作的平行线． 15. 在一次物理实验操作测试中，要求学生在如图所示的四个实验中随机抽取一个实验作为自己的测试内容． （1）在这次物理实验操作测试中，随机抽取一个实验，抽到“探究杠杆的平衡条件”是 事件，抽到“探究液体内部压强影响因素”是 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）若小明与小红都参加了本次测试，请用列表法或画树状图法，求小明与小红抽到相同实验的概率． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点为的中点，反比例函数的图象过点，且． （1）求的值； （2）求直线的函数表达式． 17. （1）课本再现：我们知道，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这即为等腰三角形的判定方法．如图1，在中，，求证：．请你完成证明过程； （2）知识应用：如图2，已知中，；平分交于点D，平分交于点E，交于点F，则图2中等腰三角形有_________个． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，为的直径，点B是上方半圆上的一点，平分交于点D，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． 19. “每满x元减y元”问题：五一劳动节期间，某商场推出两种优惠活动，并规定顾客结账时只能选择其中一种进行结算． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满400元减100元．（如：所购商品原价为400元，可减100元，需付款300元；所购商品原价为900元，可减200元，需付款700元） （1）若购买原价为550元的商品，选择活动 （填“一”或“二”）结算更为合算． （2）小朱买了原价在600元以下的商品．经推算，发现选择活动一比选择活动二要多付18元，求小朱所购商品的原价． （3）若购买原价为x（）元的商品，且选择活动二比选择活动一合算，求x的取值范围． 20. 展示台又称实物展示台．把它连接在投影机和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来，是多媒体教室不可或缺的教学设备之一．一台普通的视频展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图（1）是一个实物展示台，图（2）、图（3）是其侧面抽象示意图．立柱 且立柱垂直水平桌面．C为摄像头，可绕点B旋转，且． （1）当与水平桌面平行时，如图（2），投影宽度，投影线，求摄像头广角的度数； （2）在（1）的条件下，将 绕点B旋转，使得，如图（3），旋转过程中摄像头的广角及的大小始终保持不变，求此时的投影宽度的长．（结果保留一位小数）（参考数据：， 五、解答题（本大题共2 小题，每小题9分，共18分） 21. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》颁布后，数学新版教材也开始了修订与试用，甲、乙两所中学对新版教材进行了试用．为了解试用情况，对甲、乙两所学校的学生进行了问卷调查．从甲、乙两所中学各随机抽取100名学生的问卷，并将试用评分（x/分）分为5组（很满意：；满意：；比较满意：；不太满意：；不满意：），整理、分析后得到如下信息． 甲中学试用评分频数分布直方图 乙中学试用评分扇形统计图 甲、乙两所中学试用评分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲中学 85 n 83 乙中学 85 79 80 将抽取的甲中学评分等级为“满意”的分数从高到低排列，排在最后的10个数是83，83，83，83，82，81，81，81，80，80． 根据以上信息，完成下列问题． （1） ， ． （2）根据以上数据，你认为哪所中学对新版教材的试用评价较高？请说明理由（一条即可）． （3）若规定评分在80分及以上的试用教材为合格．已知甲中学有1200名学生参加了问卷调查，乙中学有1000名学生参加了问卷调查，请你估计两所中学认为试用教材合格的学生总人数． 22. 如图1，某塑料大棚的一端由一个矩形的支架和抛物线形拱组成，小龙同学测得矩形支架的长，高，并测得距边的大棚顶部点M处的高为，以矩形支架的顶点O为原点，边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2所示． （1）求该塑料大棚最高点到地面的距离； （2）小龙同学把抛物线形拱所在的抛物线画出，如图3，然后利用抛物线和矩形进行深入探索，并提出了如下问题，请你进行解答． ①将抛物线向右平移，设抛物线与矩形两边，分别交于点D，E，当直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离； ②将抛物线上下平移，设抛物线与y轴交点的纵坐标为n，当抛物线与矩形四边只有两个交点时，请求出n的取值范围． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图（1），在菱形中，，点P为菱形内一点，且，延长交于点E，连接，设． （1）①填空： ， ；（用含的代数式表示） ②求∠DPE 的度数． （2）将沿翻折得到，如图（2），连接． ①求证：； ②若，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $