第二十二章二次函数小结与复习讲义(知识点梳理+考点精析+达标检测）2025-2026学年人教版九年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 二次函数小结与复习(知识点梳理+考点精析+达标检测)(解析版) 知识点一．二次函数的定义 一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意： 任何一个二次函数的解析式都可化为（a，b，c是常数，）的形式，因此，把（a，b，c是常数，）叫做二次函数的一般式．二次项系数a不能为0，而b，c可以为0． 二．二次函数的图象和性质 1．二次函数的图象叫做抛物线，抛物线是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点．抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点． 2．二次函数图象的作法： ①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点； ②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点； ③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸． 注意： ①连线时按照自变量由小到大的顺序是为了体会函数的增减性； ②在画函数图象时，图象必须平滑，顶端不能画成尖形的，一般来说，选点越多，图象越精确，但也要具体问题具体分析； ③抛物线是向两方无限延伸的，左右两侧必须保持关于对称轴对称． 3．二次函数的图象和性质： ①开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下． ②对称轴是y轴（或直线）． ③顶点坐标是． ④增减性：当时，在对称轴的左侧（即当时），y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（即当时），y随x的增大而增大．当时，在对称轴的左侧（即当时），y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（即当时），y随x的增大而减小． ⑤最大（小）值：当时，抛物线有最低点，即当时，；当时，抛物线有最高点，即当时，． 4．a的作用： ①a的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值； ②的大小决定抛物线的开口大小：越大，抛物线的开口越小． 5．抛物线和的关系： ①开口大小相同，方向相反； ②两抛物线关于x轴对称，关于原点中心对称． 三．二次函数（a，k是常数，）的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是，它与的图象形状相同，只是位置不同．函数的图象是由抛物线向上（或下）平移个单位长度得到的． 二次函数与的图象之间的关系如下表所示： 向上平移个单位长度 向下平移个单位长度 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 四．二次函数（a，h是常数，）的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线，顶点坐标是，它与的图象形状相同，位置不同．函数的图象是由抛物线向右（或左）平移个单位长度得到的． 二次函数与的图象之间的关系如下表所示： 向左平移个单位长度 向右平移个单位长度 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 五．二次函数（a，h，k是常数，）的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标为，是由抛物线向右（左）平移个单位长度，再向上（下）平移个单位长度得到的． 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 注意：由于从中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把叫做二次函数的顶点式． 六．二次函数的图象和性质 1．抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 2．二次函数的图象特征与a，b，c，的符号之间的关系： 字母的符号 图象的特征 a 开口向上 开口向下 b 对称轴为y轴 （a，b同号） 对称轴在y轴左侧 （a，b异号） 对称轴在y轴右侧 c 图象过原点 图象与y轴正半轴相交 图象与y轴负半轴相交 图象与x轴有唯一一个交点 图象与x轴有两个交点 图象与x轴没有交点 注意：二次函数的图象特征与a，b，c及的符号之间的关系是互逆的，即由字母的符号能确定图象的特征，反之，由图象的特征也能确定字母的符号． 七．用待定系数法求二次函数解析式 1．一般式 2．顶点式 3．交点式 利用待定系数法求二次函数的解析式，一般有以下几种情况： ①顶点在原点，可设为； ②对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为； ③顶点在x轴上（或抛物线与x轴只有一个交点），可设为； ④抛物线过原点，可设为； ⑤已知顶点时，可设为顶点式； ⑥已知抛物线上三点坐标时，可设为一般式； ⑦已知抛物线与x轴两交点坐标为，时，可设为交点式． 八．二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程．那么一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况． ①当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程 有两个不相等的实数根； ②当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程 有两个相等的实数根； ③当二次函数的图象与x轴无交点时，，方程无实数根． 注意：求一元二次方程的根也就是求二次函数的值为0时，自变量x的值，即抛物线与x轴的交点的横坐标． 九．二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线在x轴上方部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方部分点的纵坐标为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 十．实际问题与二次函数 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 考点1 一个概念-----二次函数 例1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：A.不是二次函数，不合题意； B.是二次函数，符合题意； C.，当时，是二次函数，不合题意； D.是一次函数，符合题意. 故选：B. 【变式1-1】．二次函数的一次项系数是( ) A. B.1 C.3 D.5 答案：A 解析：二次函数的一次项系数是 故选：A. 【变式1-2】．若关于x的函数的图象是抛物线,则a的值为( ) A. B. C.1 D.0 答案：A 解析：∵关于x的函数的图象是抛物线, ∴,, ∴. 故选A. 【变式1-3】．已知函数是关于x的二次函数，则m的值为____. 答案：3 解析：由题意得： ， ∴， 故答案为：3. 考点2 一个性质-----二次函数的性质 例2．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为_____. 答案：4 解析：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，且与对称轴的距离越大，函数值越小， 当时，，根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ∴，， 解得或（舍去）， ∴的值为4； 当时，根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ∴，， 解得，，， ∴都不符合题意，舍去； 当时，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， 解得，，，， ∴都不符合题意，舍去； 当，时，根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ∴，， 解得，，不符合题意， 故答案为：4. 【变式2-1】．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（m为实数）.其中结论正确的是__.（填序号） 答案：①③④ 解析：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， ∴， 故①正确； ∵当时，， 结合抛物线的图象，得， 故②错误； ∵， ∵对称轴为 ∴， 代入可得到， ③正确； 根据题意，得时，函数取得最小值，且为， 当时，函数值为， 由此得到，整理得， 故④正确. 故答案为：①③④. 【变式2-2】．一个二次函数，当时，函数的最小值为2，它的图象经过点，则这个二次函数的解析式为___________. 答案： 解析：当时，函数的最小值为2，抛物线的顶点坐标为.设抛物线的解析式为.把代入，得，解得，二次函数的解析式为. 8【变式2-3】．已知，，都是二次函数的图象上的点，当时，y随着x的增大而增大，则，，按从小到大的顺序排列是__________.（用“<”连接） 答案： 解析：，图象的对称轴是直线.当时，y随着x的增大而增大，.点关于直线的对称点是.，.故答案为. 考点3 两个关系 关系1 抛物线位置与各项系数的关系 例3-1．已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是( ) A.   B.   C.   D.   答案：D 解析：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和C选项； B选项和D选项中，抛物线的对称轴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选：D. 【变式3-1-1】．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线.下列结论：①；②；③；④（m为实数）.其中结论正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：①抛物线开口向下，.抛物线的对称轴在y轴右侧，.抛物线与y轴交于正半轴，，，①正确.②当时，，.对称轴为直线，.把代入，得，②错误.③当时，，，当时，，，，③正确.④抛物线的对称轴为直线，时，函数的最大值为，，即，④错误.故选B. 【变式3-1-2】．如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），则以下结论：①；②；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程有两个相等的实数根.其中结论正确的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解析：抛物线的开口向下， ， 抛物线顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ， ，故①符合题意； 在抛物线上， ， ， ， 抛物线与y轴的交点在，之间（包含端点）， ， ， ，故②符合题意； 顶点坐标，抛物线开口向下， 当时，y有最大值，最大值为n， 对于任意实数m，， ， ，故③符合题意； 顶点坐标，且抛物线开口向下， 直线与抛物线没有交点， 关于x的方程没有实数根，故④不符合题意. 故选：C. 【变式3-1-3】．已知抛物线（m为常数）与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4），则下列结论错误的是( ) A.关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根 B. C.若点，，在该函数图象上，则 D.将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 答案：D 解析：， 抛物线开口向下，对称轴为直线. 抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）， 抛物线与x轴的另一个交点在和之间（不包含和）， 关于x的方程有两个不相等的实数根，故选项A正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）， 解得，故选项B确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离最大，点至到对称轴的距离最小， ，故选项C正确； 将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度， 抛物线的解析式为，即，故选项D错误. 故选：D. 关系2 二次函数与一元二次方程的关系 例3-2．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论： ①； ②； ③若，则时的函数值小于时的函数值； ④点一定在此抛物线上. 其中正确的结论是_________.（填序号） 答案：①②④ 解析：由题图可得，，.对称轴为直线，，，，故①正确.抛物线经过点，根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为，当时，y随x的增大而减小，当时，，，故②正确.抛物线开口向下，对称轴为直线，横坐标是的点的对称点的横坐标为.，，时的函数值大于时的函数值，时的函数值大于时的函数值，故③错误.，抛物线经过点，，即，.抛物线过点，点一定在此抛物线上，故④正确.故答案为①②④. 【变式3-2-1】．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 解答下列问题： （1）关于x的方程的根是___________； （2）当时，x的取值范围是___________. 答案：（1）或3 （2） 解析：（1）由，得，结合表格可知抛物线与直线的交点为和，且直线与抛物线最多有两个交点，方程的根是或3.故答案为或3. （2）根据表格可知抛物线的对称轴是直线，当时，函数值y随着x的增大而增大，抛物线开口向下.令，解得，可知当和时，.当时，.故答案为. 7【变式3-2-2】．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出关于x的一元二次方程的两个根. （2）写出关于x的不等式的解集. （3）写出关于x的一元二次方程的根的情况. 答案：（1）， （2） （3） 解析：（1）由图象可得的图象与x轴的交点坐标为，， 故关于x的方程的两个根为，. （2）由图象可知，关于x的不等式的解集为. （3）由图象可知，关于x的方程根的情况，可以看成抛物线向下平移2个单位后与x轴的交点情况. 将抛物线向下平移2个单位后所得抛物线与x轴只有一个交点， 所以关于x的方程有两个相等的实数根，即. 【变式3-2-3】．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根为____. (2)不等式的解集为_____. (3)若y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围为_______. (4)若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_____. 答案：(1)，； (2) (3) (4) 解析：(1)二次函数的图象与x轴的两个交点分别为、， 方程的两个根为，， 故答案为：，； (2)时，二次函数的值大于0， 不等式的解集为， 故答案为：； (3)由函数图象可知，当时，y随x的增大而减小， 即y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围为， 故答案为：； (4)由函数图象可知，二次函数开口向下的顶点坐标为， 方程有两个不相等的实数根， 直线与二次函数有两个交点， k的取值范围为， 故答案为：. 考点4 三个应用 例4．如图,小明想用长100米的一段围栏,在一段笔直且足够长的墙下围一块矩形的菜地,用墙作矩形的一边,围栏作矩形的另外三边.设围成矩形时所用墙的长为x米,对应矩形的面积为y平方米. (1)求y和x的函数关系式,并指出x的取值范围； (2)围成的矩形有没有最大面积？如果有,当x取何值时有最大面积,并求出最大面积. 答案：(1) (2)当时矩形有最大面积,最大面积为1250平方米 解析：(1)围成矩形时所用墙的长为x米,则和墙相邻的边长为米, , 由题意得,, 解得：, 和x的函数关系式为. (2)由(1)得,, , 当时y有最大值,最大值为1250, 当时矩形有最大面积,最大面积为1250平方米. 【变式4-1】．果农小艺欣喜地发现，北京市农科院林业果树研究所培育的草莓“白雪公主”每亩投入种植成本36000元，亩产量可达到，预计市场售价不低于60元/.小艺信心大增，在原有的50亩A试验田种植规模上再增加了50亩B试验田全部种植该草莓.收获时发现，由于土地肥力原因，B试验田的亩产量是A试验田亩产量的1.5倍.若同样收获该草莓所占用试验田B比A少1亩.小艺将A试验田采摘的该草莓和B试验田采摘的该草莓混合装箱出售.已知采摘及装箱的人工等成本平均为8元/.经市场调查发现，该草莓每箱售价是300元时，每天可以销售100箱；若每涨价5元，则每天少销售2箱. (1)A、B两种试验田的亩产量分别是多少？ (2)若每箱的售价不超过400元，请求出定价多少元/箱时，每天可获得最大利润是多少元？ 答案：(1)A试验田亩产量为，B试验田亩产量为 (2)定价350元/箱时，每天可获得最大利润是16000元 解析：（1）设A试验田亩产量为m，B试验田亩产量为. 由题意得：. 解得. 经检验，是方程的解. A试验田亩产量为，B试验田亩产量为. （2）平均每亩投入种植成本为36000元， A试验田收获的草莓种植成本30元/， B试验田收获的草莓种植成本20元/. 采摘及装箱的人工等成本平均为8元， 混合装箱后每箱草莓的成本为：. 设定价x元，每天利润为w元，则 . ，， 当时，w有最大利润，此时. 答：定价350元/箱时，每天可获得最大利润是16000元. 【变式4-2】．九年级上册第51页探究3： 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽.水面下降，水面宽度增加多少？ 解：设这条抛物线表示的二次函数为，由抛物线经过点可得， ，即，… (1)请你完成剩余部分； (2)赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动.某市计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，已知水面的宽度为，拱桥最高点到水面的距离为9米，设桥拱上的点到水面的竖直高度y米，到点O的水平距离x米. ①以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求y与x的函数关系式； ②据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离.要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计多少条龙舟赛道. 答案：(1)，见解析 (2)①；②最多可设计5条龙舟赛道 解析：(1)设这条抛物线表示的二次函数为，由抛物线经过点可得， ， 即， ∴抛物线表示的二次函数为， 当时，， 解得， 此时水面宽度为， ∴水面下降，水面宽度增加； (2)①解：由题意可知，拱桥所在抛物线的顶点为， 可设拱桥所在抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴拱桥所在抛物线的解析式为； ②当时，， 解得或， ∴可设计赛道的宽度为， ∵， ∴最多可设计5条龙舟赛道. 【变式4-3】．一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面.已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系.      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）. (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 答案：(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门 解析：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； (2)设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门. 考点5 两个技巧 技巧1 巧用二次函数求几何最值 例5-1．如图，在中，，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为.若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程： （1）经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？ （2）经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？ 答案：（1）经过秒后，P，Q两点的距离最短，最短距离是 （2）当时，的面积最大，最大面积是 解析：（1）设运动时间为t秒， 由题意得，，， 在中，，，，， 是直角三角形，即， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 经过秒后，P，Q两点的距离最短，最短距离是 （2）设运动时间为t秒，则，， ， ， ， ， 当时，的面积最大，最大面积是. 【变式5-1-1】．如图，在矩形中，，，点P在线段上从点A向点B以的速度移动；同时，点Q在线段上从点B向点C以的速度移动，设P、Q两点运动时间为x（秒）.其中任何一点运动到线段端点时停止运动. （1）请用x表示出下列线段的长：______cm；_______cm；________cm； （2）求的面积S关于时间x的函数解析式及x的取值范围. （3）当x为何值时，的面积为？ 答案：（1）x；； （2） （3）当或时，的面积为 解析：（1）设运动时间为x（秒）， 则，， 又， ， 故答案为：x；；； （2）由题意得， 即； （3）当时，， ， ， ，， 答：当或时，的面积为. 【变式5-1-2】．根据以下素材,探索完成任务. 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1,正方形是一张用于打印产品的示意图,它由三个区块(Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)构成.已知,点E,F分别在和上,且,设. 素材2 为了打印精准,拟在图2中的边上设置一排间距为1cm的定位坐标(B为坐标原点),计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案. 问题解决 任务1 确定关系 用x的代数式表示： 区域Ⅰ的面积=______；区域Ⅱ的面积=______. 任务2 拟定方案 为了美观,拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域,并要求区域乙是含边的三角形,求所有方案中乙的面积或者函数表达式. 任务3 优化设计 经调查发现当且x为整数时,此时称E点为合格定位点.当区域乙的面积最小时,合格定位点E点为最佳定位点,求出最佳定位点E的坐标. 答案：任务一：区块Ⅰ的面积：,区块Ⅱ的面积： 任务二：或 任务三： 解析：任务 , 区块Ⅰ的面积：. ,, , 区块Ⅱ的面积：. 区块Ⅲ的面积：； 故答案为；. 任务2：①如图1若连接, ∵四边形是正方形, ∴,, ∵, ∴, ∴, ∴, , 不可能为等腰三角形, , 为等腰三角形, ∵区块Ⅲ的面积为： . ②如图2,连接, . 任务 ,且开口向下,对称轴为直线, 当时,y随x的增大而增大, ∴当时,乙的面积有最小值,即为； 当时,则有, ∴乙的面积最小值即为25.5. 最佳定位点. 【变式5-1-3】．如图,四边形的对角线互相垂直,且,则四边形面积的最大值为______. 答案： 解析：设,四边形面积为S,则, 则：, 当时,； 所以时,四边形的面积最大,且为, 故答案为：. 技巧2 巧用二次函数设计方案 例5-2．某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时,平均每天能售出8部；而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部. (1)当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到多少元? (2)若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式. (3)商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元？此时的最大利润是多少元？ 答案：(1)当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到4800元 (2) (3)每台彩电降价150元时,商场每天销售这种彩电的利润最大,最大利润是5000元 解析：(1)当售价为2800元时,销售价降低100元,平均每天就能售出16部. 所以：这种手机平均每天的销售利润为：(元)； (2)根据题意,得, 即； (3)对于, 当时, 所以,每台彩电降价150元时,商场每天销售这种彩电的利润最大,最大利润是5000元. 【变式5-2-1】．某工厂计划投资生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，产品A的利润（万元）与投资量x（万元）成正比例关系，如图①所示：产品B的利润（万元）与投资量x（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示. (1)请直接写出利润与关于投资量x的函数关系式_______，________； (2)如果工厂以9万元资金投入生产A、B两种产品，要求A产品的投资金额不超过B产品的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？ 答案：(1)； (2)投资A产品3万元，投资B产品6万元时，该工厂能获得最大利润，最大利润是33万元 解析：设， 点在该函数的图象上， ， ， ， 设， 点在该函数图象上， ， ， ， 故答案为：，； (2)解析：设投资A产品x万元，则投资B产品万元， 由题意可得： ， 解得：， 该工厂能获得的利润为： ， ∵对称轴为，当时，利润随着x的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值是， 投资A产品3万元，则投资B产品6万元时，该工厂能获取最大利润，最大利润为33万元. 【变式5-2-2】．【课题学习】 学习主题：探究电流最值 课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，欧潭数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以探究“探究电流最值”为主题展开项目式学习. 学习素材： 名称 内容 备注 素材1 用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化. 课本例题 素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大. ，，，，…，， 课本数学活动 素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和： 并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； 电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系. 物理学知识 研究步骤： ⑴.画出电路图.在如图1所示的电路中，，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中. ⑵.根据电路图连结实验器材，图略. ⑶.闭合开关，在滑片从a端滑到b端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据. 解决问题： (1)在素材1中，当________时，场地的面积S最大； (2)推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由； (3)电流表A表示数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值.若不存在请说明理由. 答案：(1)15 (2)和的积最大，理由见解析 (3)存在，，最小值为 解析：（1）根据题意，矩形一边长l，则另一边长为， 所以，， 所以，当，场地的面积S最大，最大为225平方米； 故答案为：15； （2）和的积最大，理由如下： 设其中一个因数为x，则另一个因数为， 则（，且为正整数）， 对称轴为，因为x是正整数，且， 所以x取50或51时，y最大为2550； （3）设，则，，设总电流为I， 则， 由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小， 设， ，则抛物线W开口向下，且， 当时，W取最大值为25， 此时I取最小值为，两支路电阻分别为和，两支路电阻相等， 当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为. 【变式5-2-3】．（项目学习）学科实践 问题情境： 如图，某杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在铅垂线的水平距离为时，身体离地面最高，已知，人梯到起跳点A的水平距离为. 小试牛刀： 任务一：（1）请以点O为坐标原点建立恰当的平面直角坐标系，并求出抛物线对应的二次函数表达式. 任务二：（2）求人梯的高. 攻坚克难： 任务三：（3）在演员起跳的过程中，当他距离地面的高度不低于时，观众能获得最佳观赏体验，但演员刚起跳时现场突发状况，风力突然增大，使得演员高度瞬间下降.求在这种情况下观众能获得最佳观赏体验时，演员所在位置的水平距离范围. 答案：（1）建立平面直角坐标系见解析，； （2）； （3）与之间 解析：（1）以线段所在的直线为x轴，线段所在的直线为y轴， 建立平面直角坐标系，如图所示： ， 点A的坐标为. 跳起的演员距点A所在铅垂线的水平距离为时， 身体离地面最高， 抛物线顶点为. 设抛物线对应的二次函数表达式为. 点在抛物线上， ， 解得. 抛物线对应的二次函数表达式为 ； （2）人梯到起跳点A的水平距离为， 点B的横坐标为4. 把代入中，得. 人梯的高为； （3）由于演员刚起跳时风力突然增大，使得演员高度瞬间下降， 则此时高度变为. 当时，， 解得，. ，， 观众能获得最佳观赏体验时，演员所在位置的水平距离范围是距离起跳点所在铅垂线与之间. 考点6 两种思想 思想1 数形结合思想 例6-1．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根：③当时，；④；⑤抛物线上有两点，，若，则.其中正确结论的个数有( )    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解析：∵二次函数的对称轴为， 即， ∴， ∴，故①结论正确； ∵， ∴， 整理得， 则， ∵抛物线开口向下， ∴， 故，， ∴， 故方程一定有两个不相等的实数根，②结论正确； ∵，， 故抛物线的解析式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴是，故抛物线的最大值为； 当时，， 故当时，；即③结论正确； 根据图象可得：抛物线与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线的对称轴为， 故抛物线与x轴的另一个交点在-1和0之间， 当时，， ∵，， ∴， ∴，故④结论错误； ∵抛物线的对称轴为， 故点关于对称轴的对称点坐标为， ∵抛物线的开口向下， 故抛物线在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， 若， 则或，故⑤结论错误； 综上，结论正确的有①②③，有3个. 故选：C. 【变式6-1-1】．关于x的二次函数的图像可能是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：对于函数, 当时,可得, ∵, ∴,即该函数图像与y轴交于正半轴, ∵, ∴该函数图像的顶点坐标为, 又∵, ∴该函数图像的开口向上,顶点坐标在第四象限, ∴选项A、B、D不符合题意,选项C符合题意. 故选：C. 【变式6-1-2】．(1)综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数，当时，y的取值范围为 ；    ①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成形式，确定抛物线对称轴为直线，通过-2、h和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围； ②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 ； (2)张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数，当时，求y的取值范围； (3)已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求a的值. 答案：(1)； (2)； (3)或 解析：(1)∵， ∴抛物线对称轴为直线， 结合图象可知，当时，y有最小值； 当时，y有最大值； ∴y的取值范围为： 故答案为： (2)∵， ∴抛物线对称轴为直线， 图象如图所示： 结合图象可知，当时，y有最小值； 当时，y有最大值； ∴y的取值范围为： (3)∵， ∴抛物线对称轴为直线， ①若，即：时：    结合图象可知，当时，y有最小值， ∴； 当时，y有最大值， ∴； ∴ 解得：（舍去） ②若时：    结合图象可知，当时，y有最小值， ∴； 当时，y有最大值， ∴； ∴ 解得：（舍去） ③若时： (i)时：    结合图象可知，当时，y有最小值， ∴； 当时，y有最大值， ∴； ∴ 解得：（舍去） (ii)时：    结合图象可知，当时，y有最小值， ∴； 当时，y有最大值， ∴； ∴ 解得：（舍去） 综上所述，或 【变式6-1-3】．已知二次函数的图象经过，，顶点为D. (1)用待定系数法求抛物线的解析式； (2)求出顶点D的坐标，并补全函数图象，标明顶点D以及点A，B关于对称轴的对称点E，F； (3)若一动点在抛物线上，，则t的取值范围是_____. 答案：(1) (2)，图见解析 (3) 解析：把，的坐标分别代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； (2)解析： 顶点D的坐标， 点A，B关于对称轴的对称点E，F的坐标分别为，， 补全函数图象如下： (3)解析：点在抛物线上， ， ， 或， 解得或， 当时，， 当时，， 时，t的取值范围是， 故答案为：. 思想2 分类讨论思想 例6-2．关于x的二次函数，当时，函数有最小值4，则h的值为( ) A.0或2 B.2或4 C.0或4 D.0或2或4 答案：C 解析：二次函数，其中， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ①当时，时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； ②当时，时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； ∴或4， 故选：C. 【变式6-2-1】．设抛物线过，C三点，其中点C在直线上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于，则该抛物线对应的函数表达式为____________. 答案：或 解析：由题意，得抛物线的对称轴为直线或.当对称轴为直线时，设抛物线对应的函数表达式为，把点的坐标分别代入，得解得此时抛物线对应的函数表达式为；当对称轴为直线时，设抛物线对应的函数表达式为，把点的坐标分别代入，得解得此时抛物线对应的函数表达式为. 【变式6-2-2】．设抛物线过三点，其中点C在直线上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的解析式为 . 答案：或 解析：点C在直线上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1， 对称轴为或 ①对称轴为直线时，设解析式为 将代入解析式 得，解得 ； ②对称轴为直线时，设解析式为 将代入解析式 得，解得 综上，该函数解析式为或. 【变式6-2-3】．有一个二次函数的图象,甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点: 甲:对称轴是直线; 乙:与轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形的面积为; 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式:                 . 答案： (答案不唯一) 解析：对称轴是直线,则一次项系数与二次项系数的比是,故可设这个二次函数的表达式是.因为与轴交点的纵坐标也是整数,所以是整数.因为的图象与轴的两个交点的横坐标都是整数,所以方程有两个整数解,设两个整数解为和,则,则∵以这三个交点为顶点的三角形的面积为,∴则这个二次函数的表达式是 (答案不唯一). 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．将二次函数化为一般形式后，正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：， 故选：D. 2．当函数是二次函数时，a的取值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：由函数是二次函数， 则， ， 故选：D. 3．如果抛物线 的开口向上，那么m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为抛物线的开口向上， 所以，即， 故m的取值范围是， 故选A. 4．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误. 解法二：A项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与y轴的交点，知，故A不符合题意； B项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故B符合题意； C项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故C不符合题意； D项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故D不符合题意. 故选：B. 5．已知点,,都在二次函数的图象上,则a,b,c的大小关系是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：∵,对称轴为y轴,图象开口向上, 当时,y随x的增大而增大,关于y轴的对称点为, ∵点,,都在二次函数的图象上,, ∴. 故选：A. 6．二次函数的图象与轴有交点,则的取值范围是(      ) A. B. 且 C. D. 且 答案：D 解析：利用有实数根,根据判别式可求出取值范围. ∵二次函数的图象与轴有交点, ∴方程有实数根, 即,,由于是二次函数,故,则的取值范围是且. 故选D. 考点: 抛物线与轴的交点. 7．一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是.有下列结论： ①这名男生铅球推出的水平距离为； ②铅球到达最高点时的高度为； ③当铅球的高度为，推出的水平距离为或. 其中，正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B 解析：将代入， 得，解得，， 这名男生铅球推出的水平距离为， 故①正确，符合题意； ， 铅球到达最高点时的高度为， 故②错误，不符合题意； 当时，， 解得，， 故③错误，不符合题意； 故选：B. 8．二次函数的部分图象如图所示,则一元二次方程的解为(       )   A. B. , C. , D. , 答案：D 解析：二次函数的图象与轴交于点,对称轴是.由抛物线的对称性可得图象与轴的另一个交点坐标为.由二次函数与一元二次方程的关系可得方程的解为,.故选D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若关于x的二次函数的图像开口向上，则a的取值范围是______. 答案： 解析：关于x的二次函数的图像开口向上， ， ， 故答案为：. 10．（a，b，c是常数，且）的图象如图所示，则__________0.（填“>”“=”或“<”） 答案：< 解析：抛物线开口向下，.抛物线与y轴交于负半轴，.对称轴在y轴左侧，，，，故答案为<. 11．在“弘扬科学家精神,共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中,格格同学设计制作了“火箭”升空实验装置,已知该“火箭”的升空高度h(米)与飞行时间t(秒)满足函数表达式,则“火箭”升空的最大高度为______米. 答案：37 解析：二次函数, 抛物线开口向下,函数有最大值, 当时,米, 故答案为：37. 12．如图，已知抛物线和线段MN，点M和点N的坐标分别为，，将抛物线向上平移个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是__________. 答案：或 解析：，该抛物线的对称轴为直线.将抛物线向上平移个单位长度后抛物线解析式为.当抛物线顶点恰好平移到线段MN上时，，解得；当抛物线经过点时，，解得，此时关于对称轴对称的点在线段MN上，不符合题意；当抛物线经过点时，，解得，此时关于对称轴对称的点的不在线段MN上，符合题意.结合图象可知，平移后的抛物线与线段MN仅有一个交点时，或.故答案为或. 13．如图是抛物线的部分图象,图象过点,对称轴为直线,有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根.其中正确的为______(将所有正确结论的序号都填入). 答案：②④ 解析：∵抛物线的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴, ∴,, ∵抛物线的对称轴为直线, ∴,即 ∴,故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为, ∴根据对称性,与x轴的另一个交点坐标为, ∴,故②正确； 根据图象,y是有最大值,但不一定是3,故③错误； 由得, 根据图象,抛物线与直线有交点, ∴有实数根,故④正确, 综上,正确的为②④, 故答案为：②④. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．用描点法画出二次函数的图像,列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 15 m n 5 … (1)填空：表中________,________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象. 答案：(1)5； (2)图见解析 解析：(1)根据题意,得,故当时, 当时, 故答案为:5；. (2)画出这个二次函数的图象如下： 15．如图,已知抛物线过点A与,与y轴交于点.点D在抛物线上,且与点C关于对称轴l对称. (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积. 答案：(1)函数表达式为,抛物线的对称轴l为 (2)1 解析：(1)抛物线过点,, 将,代入,得, 解得, 则该抛物线的函数表达式为, , 即抛物线的对称轴l为； (2)点D与点C关于对称轴l对称,点, 点D的坐标为, ,且轴. . 16．在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为. (1)当时，求y的值. (2)将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点，求b的值. 答案：(1)0 (2)0 解析：（1）当时，； 即y的值为0； （2）∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点 ∴原抛物线经过， 把代入解析式可得：， ∴. 17．已知二次函数（c为常数）. (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： (3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值. 答案：(1) (2)， (3) 解析：（1）由题意得： ， 解得：； （2）把点代入二次函数得：， ， 一元二次方程为， 解得：，； （3）由可知：开口向下，对称轴为直线， ，且， 当时，函数取得最大值，当时，函数有最小值， ， . 18．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动.某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少. (1)水面的宽度_______m； (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量. 答案：(1)60 (2)4条. 解析：（1）令，则， ，解得或， ，， 故答案为：60； （2）令，得， 解得，. 可设计赛道的宽度为， 每条龙舟赛道宽度为， 最多可设计赛道4条. 19．某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同.如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心O的水平距离为时达到最大高度，最大高度为. (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由. 答案：(1) (2)水柱会喷到圆形水池之外，理由见解析 解析：（1）， ， ， 喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高. 顶点坐标为， 设右侧抛物线的解析式为：， 把代入得到，， 解得， 图1中右边抛物线的解析式为； （2）水柱会落在圆形水池外，理由如下： 当时，， 点A的坐标为， 把代入 ， ， 当右侧喷出的抛物线最大高度为时， 设抛物线的解析式为：， 又上述抛物线过点，则 则， ， 当时，， ， ，（舍去）， 20．请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务. 利用图象法解一元二次方程 数学活动课上，王老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一 次方程，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解一元二次方程呢？ 例如，解方程：. 王老师倡导同学们以小组为单位进行合作探究，同学们经过几分钟热烈的讨论交流， 智慧小组率先展示了他们的方法：将方程进一步变形为，如图1，画出二次函数的图象，发现抛物线与x轴的相交于和两点，当或时，此时，所以，即，所以此方程的解为，. 善思小组受智慧小组的启发，展示了他们的方法：画出二次函数的图象和直线.如图2所示，它们相交于和两点，当或时，此时，即，所以此方程的解为，. 任务： （1）利用图象法解上述材料中的方程，下列叙述错误的是( ) A.利用图象法解方程体现了数形结合思想 B.画出抛物线和直线，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根 C.画出抛物线和直线，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根 D.画出抛物线和直线，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根 （2）请你利用图象法解方程，把函数图象画在图3的平面直角坐标系中，并写出解方程的分析过程. （3）若方程无实数根，从图形的角度看就是抛物线与直线_____无交点，此时a的取值范围是_____； （4）拓展迁移：方程的根的情况是_____. 答案：（1）C （2）图见解析，分析过程详见解析 （3）； （4）有两个不相等的实数根. 解析：（1）A选项，图象法是画出函数图象，通过交点的情况研究方程的解的情况，满足数形结合思想，因此A正确； B选项，联立抛物线和直线，可得方程，整理得，符合题目的方程，因此B正确； C选项，联立抛物线和直线，可得方程，整理得，不符合题目的方程，因此C错误； D选项，联立抛物线和直线，可得方程，整理得，符合题目得方程，因此D正确； 故答案为：C； （2）将方程变形为，如图，画出二次函数的图象，发现抛物线与x轴交于和两点，则当或时，， 所以，即， 所以方程的解是，； （3）如图，画出二次函数的图象， 通过图象可得若方程无实数根，得抛物线与直线无交点，由图象可知直线与抛物线有一个交点，得若方程无实数根，即直线在直线的下方，此时a的范围是； 故答案为：；； （4）当时，，当时，， 则， 即当时，，当，时，， 如图，画出和得图象， 由图象可得和有两个交点， 即有两个不相等的实数根. 故答案为：有两个不相等的实数根. 达标检测 高频考点精析 知识点梳理 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 二次函数小结与复习(知识点梳理+考点精析+达标检测 知识点一．二次函数的定义 一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意： 任何一个二次函数的解析式都可化为（a，b，c是常数，）的形式，因此，把（a，b，c是常数，）叫做二次函数的一般式．二次项系数a不能为0，而b，c可以为0． 二．二次函数的图象和性质 1．二次函数的图象叫做抛物线，抛物线是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点．抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点． 2．二次函数图象的作法： ①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点； ②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点； ③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸． 注意： ①连线时按照自变量由小到大的顺序是为了体会函数的增减性； ②在画函数图象时，图象必须平滑，顶端不能画成尖形的，一般来说，选点越多，图象越精确，但也要具体问题具体分析； ③抛物线是向两方无限延伸的，左右两侧必须保持关于对称轴对称． 3．二次函数的图象和性质： ①开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下． ②对称轴是y轴（或直线）． ③顶点坐标是． ④增减性：当时，在对称轴的左侧（即当时），y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（即当时），y随x的增大而增大．当时，在对称轴的左侧（即当时），y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（即当时），y随x的增大而减小． ⑤最大（小）值：当时，抛物线有最低点，即当时，；当时，抛物线有最高点，即当时，． 4．a的作用： ①a的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值； ②的大小决定抛物线的开口大小：越大，抛物线的开口越小． 5．抛物线和的关系： ①开口大小相同，方向相反； ②两抛物线关于x轴对称，关于原点中心对称． 三．二次函数（a，k是常数，）的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是，它与的图象形状相同，只是位置不同．函数的图象是由抛物线向上（或下）平移个单位长度得到的． 二次函数与的图象之间的关系如下表所示： 向上平移个单位长度 向下平移个单位长度 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 四．二次函数（a，h是常数，）的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线，顶点坐标是，它与的图象形状相同，位置不同．函数的图象是由抛物线向右（或左）平移个单位长度得到的． 二次函数与的图象之间的关系如下表所示： 向左平移个单位长度 向右平移个单位长度 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 五．二次函数（a，h，k是常数，）的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标为，是由抛物线向右（左）平移个单位长度，再向上（下）平移个单位长度得到的． 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 注意：由于从中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把叫做二次函数的顶点式． 六．二次函数的图象和性质 1．抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当时，． 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边（时），抛物线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（时），抛物线自左向右下降，函数y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当时，． 2．二次函数的图象特征与a，b，c，的符号之间的关系： 字母的符号 图象的特征 a 开口向上 开口向下 b 对称轴为y轴 （a，b同号） 对称轴在y轴左侧 （a，b异号） 对称轴在y轴右侧 c 图象过原点 图象与y轴正半轴相交 图象与y轴负半轴相交 图象与x轴有唯一一个交点 图象与x轴有两个交点 图象与x轴没有交点 注意：二次函数的图象特征与a，b，c及的符号之间的关系是互逆的，即由字母的符号能确定图象的特征，反之，由图象的特征也能确定字母的符号． 七．用待定系数法求二次函数解析式 1．一般式 2．顶点式 3．交点式 利用待定系数法求二次函数的解析式，一般有以下几种情况： ①顶点在原点，可设为； ②对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为； ③顶点在x轴上（或抛物线与x轴只有一个交点），可设为； ④抛物线过原点，可设为； ⑤已知顶点时，可设为顶点式； ⑥已知抛物线上三点坐标时，可设为一般式； ⑦已知抛物线与x轴两交点坐标为，时，可设为交点式． 八．二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程．那么一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况． ①当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程 有两个不相等的实数根； ②当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程 有两个相等的实数根； ③当二次函数的图象与x轴无交点时，，方程无实数根． 注意：求一元二次方程的根也就是求二次函数的值为0时，自变量x的值，即抛物线与x轴的交点的横坐标． 九．二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线在x轴上方部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方部分点的纵坐标为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 十．实际问题与二次函数 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 考点1 一个概念-----二次函数 例1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A. B. C. D. 【变式1-1】．二次函数的一次项系数是( ) A. B.1 C.3 D.5 【变式1-2】．若关于x的函数的图象是抛物线,则a的值为( ) A. B. C.1 D.0 【变式1-3】．已知函数是关于x的二次函数，则m的值为____. 考点2 一个性质-----二次函数的性质 例2．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为_____. 【变式2-1】．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（m为实数）.其中结论正确的是__.（填序号） 【变式2-2】．一个二次函数，当时，函数的最小值为2，它的图象经过点，则这个二次函数的解析式为___________. . 8【变式2-3】．已知，，都是二次函数的图象上的点，当时，y随着x的增大而增大，则，，按从小到大的顺序排列是__________.（用“<”连接） 考点3 两个关系 关系1 抛物线位置与各项系数的关系 例3-1．已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是( ) A.   B.   C.   D.   【变式3-1-1】．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线.下列结论：①；②；③；④（m为实数）.其中结论正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【变式3-1-2】．如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），则以下结论：①；②；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程有两个相等的实数根.其中结论正确的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式3-1-3】．已知抛物线（m为常数）与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4），则下列结论错误的是( ) A.关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根 B. C.若点，，在该函数图象上，则 D.将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 关系2 二次函数与一元二次方程的关系 例3-2．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论： ①； ②； ③若，则时的函数值小于时的函数值； ④点一定在此抛物线上. 其中正确的结论是_________.（填序号） 【变式3-2-1】．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 解答下列问题： （1）关于x的方程的根是___________； （2）当时，x的取值范围是___________. 7【变式3-2-2】．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出关于x的一元二次方程的两个根. （2）写出关于x的不等式的解集. （3）写出关于x的一元二次方程的根的情况. 【变式3-2-3】．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根为____. (2)不等式的解集为_____. (3)若y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围为_______. (4)若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_____. 考点4 三个应用 例4．如图,小明想用长100米的一段围栏,在一段笔直且足够长的墙下围一块矩形的菜地,用墙作矩形的一边,围栏作矩形的另外三边.设围成矩形时所用墙的长为x米,对应矩形的面积为y平方米. (1)求y和x的函数关系式,并指出x的取值范围； (2)围成的矩形有没有最大面积？如果有,当x取何值时有最大面积,并求出最大面积. 【变式4-1】．果农小艺欣喜地发现，北京市农科院林业果树研究所培育的草莓“白雪公主”每亩投入种植成本36000元，亩产量可达到，预计市场售价不低于60元/.小艺信心大增，在原有的50亩A试验田种植规模上再增加了50亩B试验田全部种植该草莓.收获时发现，由于土地肥力原因，B试验田的亩产量是A试验田亩产量的1.5倍.若同样收获该草莓所占用试验田B比A少1亩.小艺将A试验田采摘的该草莓和B试验田采摘的该草莓混合装箱出售.已知采摘及装箱的人工等成本平均为8元/.经市场调查发现，该草莓每箱售价是300元时，每天可以销售100箱；若每涨价5元，则每天少销售2箱. (1)A、B两种试验田的亩产量分别是多少？ (2)若每箱的售价不超过400元，请求出定价多少元/箱时，每天可获得最大利润是多少元？ 【变式4-2】．九年级上册第51页探究3： 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽.水面下降，水面宽度增加多少？ 解：设这条抛物线表示的二次函数为，由抛物线经过点可得， ，即，… (1)请你完成剩余部分； (2)赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动.某市计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，已知水面的宽度为，拱桥最高点到水面的距离为9米，设桥拱上的点到水面的竖直高度y米，到点O的水平距离x米. ①以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求y与x的函数关系式； ②据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离.要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计多少条龙舟赛道. 【变式4-3】．一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面.已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系.      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）. (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 考点5 两个技巧 技巧1 巧用二次函数求几何最值 例5-1．如图，在中，，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为.若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程： （1）经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？ （2）经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？ 【变式5-1-1】．如图，在矩形中，，，点P在线段上从点A向点B以的速度移动；同时，点Q在线段上从点B向点C以的速度移动，设P、Q两点运动时间为x（秒）.其中任何一点运动到线段端点时停止运动. （1）请用x表示出下列线段的长：______cm；_______cm；________cm； （2）求的面积S关于时间x的函数解析式及x的取值范围. （3）当x为何值时，的面积为？ 【变式5-1-2】．根据以下素材,探索完成任务. 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1,正方形是一张用于打印产品的示意图,它由三个区块(Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)构成.已知,点E,F分别在和上,且,设. 素材2 为了打印精准,拟在图2中的边上设置一排间距为1cm的定位坐标(B为坐标原点),计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案. 问题解决 任务1 确定关系 用x的代数式表示： 区域Ⅰ的面积=______；区域Ⅱ的面积=______. 任务2 拟定方案 为了美观,拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域,并要求区域乙是含边的三角形,求所有方案中乙的面积或者函数表达式. 任务3 优化设计 经调查发现当且x为整数时,此时称E点为合格定位点.当区域乙的面积最小时,合格定位点E点为最佳定位点,求出最佳定位点E的坐标. 【变式5-1-3】．如图,四边形的对角线互相垂直,且,则四边形面积的最大值为______. 技巧2 巧用二次函数设计方案 例5-2．某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时,平均每天能售出8部；而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部. (1)当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到多少元? (2)若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式. (3)商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元？此时的最大利润是多少元？ 【变式5-2-1】．某工厂计划投资生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，产品A的利润（万元）与投资量x（万元）成正比例关系，如图①所示：产品B的利润（万元）与投资量x（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示. (1)请直接写出利润与关于投资量x的函数关系式_______，________； (2)如果工厂以9万元资金投入生产A、B两种产品，要求A产品的投资金额不超过B产品的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式5-2-2】．【课题学习】 学习主题：探究电流最值 课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，欧潭数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以探究“探究电流最值”为主题展开项目式学习. 学习素材： 名称 内容 备注 素材1 用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化. 课本例题 素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大. ，，，，…，， 课本数学活动 素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和： 并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； 电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系. 物理学知识 研究步骤： ⑴.画出电路图.在如图1所示的电路中，，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中. ⑵.根据电路图连结实验器材，图略. ⑶.闭合开关，在滑片从a端滑到b端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据. 解决问题： (1)在素材1中，当________时，场地的面积S最大； (2)推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由； (3)电流表A表示数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值.若不存在请说明理由. 【变式5-2-3】．（项目学习）学科实践 问题情境： 如图，某杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在铅垂线的水平距离为时，身体离地面最高，已知，人梯到起跳点A的水平距离为. 小试牛刀： 任务一：（1）请以点O为坐标原点建立恰当的平面直角坐标系，并求出抛物线对应的二次函数表达式. 任务二：（2）求人梯的高. 攻坚克难： 任务三：（3）在演员起跳的过程中，当他距离地面的高度不低于时，观众能获得最佳观赏体验，但演员刚起跳时现场突发状况，风力突然增大，使得演员高度瞬间下降.求在这种情况下观众能获得最佳观赏体验时，演员所在位置的水平距离范围. 考点6 两种思想 思想1 数形结合思想 例6-1．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根：③当时，；④；⑤抛物线上有两点，，若，则.其中正确结论的个数有( )    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式6-1-1】．关于x的二次函数的图像可能是( ) A. B. C. D. 【变式6-1-2】．(1)综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数，当时，y的取值范围为 ；    ①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成形式，确定抛物线对称轴为直线，通过-2、h和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围； ②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 ； (2)张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数，当时，求y的取值范围； (3)已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求a的值. 【变式6-1-3】．已知二次函数的图象经过，，顶点为D. (1)用待定系数法求抛物线的解析式； (2)求出顶点D的坐标，并补全函数图象，标明顶点D以及点A，B关于对称轴的对称点E，F； (3)若一动点在抛物线上，，则t的取值范围是_____. 思想2 分类讨论思想 例6-2．关于x的二次函数，当时，函数有最小值4，则h的值为( ) A.0或2 B.2或4 C.0或4 D.0或2或4 【变式6-2-1】．设抛物线过，C三点，其中点C在直线上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于，则该抛物线对应的函数表达式为____________. 【变式6-2-2】．设抛物线过三点，其中点C在直线上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的解析式为 . 【变式6-2-3】．有一个二次函数的图象,甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点: 甲:对称轴是直线; 乙:与轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形的面积为; 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式:                 . 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．将二次函数化为一般形式后，正确的是( ) A. B. C. D. 2．当函数是二次函数时，a的取值为( ) A. B. C. D. 3．如果抛物线 的开口向上，那么m的取值范围是( ) A. B. C. D. 4．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 5．已知点,,都在二次函数的图象上,则a,b,c的大小关系是( ) A. B. C. D. 6．二次函数的图象与轴有交点,则的取值范围是(      ) A. B. 且 C. D. 且 7．一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是.有下列结论： ①这名男生铅球推出的水平距离为； ②铅球到达最高点时的高度为； ③当铅球的高度为，推出的水平距离为或. 其中，正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8．二次函数的部分图象如图所示,则一元二次方程的解为(       )   A. B. , C. , D. , 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若关于x的二次函数的图像开口向上，则a的取值范围是______. 10．（a，b，c是常数，且）的图象如图所示，则__________0.（填“>”“=”或“<”） 11．在“弘扬科学家精神,共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中,格格同学设计制作了“火箭”升空实验装置,已知该“火箭”的升空高度h(米)与飞行时间t(秒)满足函数表达式,则“火箭”升空的最大高度为______米. 12．如图，已知抛物线和线段MN，点M和点N的坐标分别为，，将抛物线向上平移个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是__________. 13．如图是抛物线的部分图象,图象过点,对称轴为直线,有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根.其中正确的为______(将所有正确结论的序号都填入). 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．用描点法画出二次函数的图像,列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 15 m n 5 … (1)填空：表中________,________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象. 15．如图,已知抛物线过点A与,与y轴交于点.点D在抛物线上,且与点C关于对称轴l对称. (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积. 16．在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为. (1)当时，求y的值. (2)将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点，求b的值. 17．已知二次函数（c为常数）. (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： (3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值. 18．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动.某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少. (1)水面的宽度_______m； (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量. 19．某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同.如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心O的水平距离为时达到最大高度，最大高度为. (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由. 20．请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务. 利用图象法解一元二次方程 数学活动课上，王老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一 次方程，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解一元二次方程呢？ 例如，解方程：. 王老师倡导同学们以小组为单位进行合作探究，同学们经过几分钟热烈的讨论交流， 智慧小组率先展示了他们的方法：将方程进一步变形为，如图1，画出二次函数的图象，发现抛物线与x轴的相交于和两点，当或时，此时，所以，即，所以此方程的解为，. 善思小组受智慧小组的启发，展示了他们的方法：画出二次函数的图象和直线.如图2所示，它们相交于和两点，当或时，此时，即，所以此方程的解为，. 任务： （1）利用图象法解上述材料中的方程，下列叙述错误的是( ) A.利用图象法解方程体现了数形结合思想 B.画出抛物线和直线，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根 C.画出抛物线和直线，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根 D.画出抛物线和直线，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根 （2）请你利用图象法解方程，把函数图象画在图3的平面直角坐标系中，并写出解方程的分析过程. （3）若方程无实数根，从图形的角度看就是抛物线与直线_____无交点，此时a的取值范围是_____； （4）拓展迁移：方程的根的情况是_____. 高频考点精析 达标检测 知识点梳理 学科网（北京）股份有限公司 $