精品解析：广东省深圳市2025-2026学年上学期九年级数学期中测试（练习卷 ）

广州省深圳市2025-2026年上学期初三数学期中测试（练习卷） 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分共100分，考试时间90分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题只有一个答案符合题目要求） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（ ） A B. C. D. 7. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个．经过市场调查发现，若每个商品的单价每提高1元，其销售量就会减少10个，商场为了保证获得8000元的利润，则每个商品的售价应定为多少元？小明根据题意列出的方程为（500﹣10x）（10+x）＝8000．下面对该方程的理解错误的是（　　） A. 未知数x的意义是每件商品的售价提高了x元 B. 未知数x意义是每件商品的售价为x元 C. 式子（500﹣10x）的意义是销售的数量 D. 式子（10+x）的意义是每件商品的利润 8. 和是关于x的方程 的两个实根，且满足 则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第II卷（本卷共计76分） 二．填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共计15分） 9. 若，则______． 10. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 11. 已知，且，那么__________． 12. 鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则_____． 13. 等腰中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点，若，则的值为________． 三．解答题（请写出计算过程和必要的文字说明，本大题共7小题，共61分） 14. （1）解方程 ①； ② ③； ④； （2）小明在解关于x的方程时，过程如下： 第1步：移项，得， 第2步：变形，得， 第3步：设，即，代入上式得， 所以，即， 第4步：两边开平方，得， 第5步：代入，得，即． 你认为小明的做法从第______步开始出现错误，原因是______． 15. 某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为． （1）起飞区边的长为______（用含x的代数式表示）； （2）若起飞区的面积为，求原正方形空地的边长． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有两个不相等的正整数解，求整数的值． 17. 我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”． （1）当菱形“神似度”______时，菱形就是正方形； （2）当时，求菱形的“神似度”． 18. 某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价； （1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率； （2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？ 19. （2+4+4=10）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… 请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 20. 综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州省深圳市2025-2026年上学期初三数学期中测试（练习卷） 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分共100分，考试时间90分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题只有一个答案符合题目要求） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，符合题意； B．中含未知数的最高项的次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意； C．中含2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D．中含2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 2. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用比例的基本性质，将各项进行变形，并注意分式的性质y≠0，这个条件. 【详解】A. 由，则x与y的比例是2:3，只是其中一特殊值，故此项错误； B. 由，可化为，且y≠0，故此项错误； C. ，化简为，由B项知故此项错误； D. ，可化为，故此项正确； 故答案选D 【点睛】此题主要考查了比例的基本性质，正确运用已知变形是解题关键． 3. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，二次项系数化为，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】， ， 则， 即， 故选：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 4. 如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， ∴． 解得． 故选：C． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故选：B． 6. 小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程两个根是4和1； ∴， 又∵小敏写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B 中，，，故该选项不符合题意； C. 中，，，故该选项符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个．经过市场调查发现，若每个商品的单价每提高1元，其销售量就会减少10个，商场为了保证获得8000元的利润，则每个商品的售价应定为多少元？小明根据题意列出的方程为（500﹣10x）（10+x）＝8000．下面对该方程的理解错误的是（　　） A. 未知数x的意义是每件商品的售价提高了x元 B. 未知数x的意义是每件商品的售价为x元 C. 式子（500﹣10x）的意义是销售的数量 D. 式子（10+x）的意义是每件商品的利润 【答案】B 【解析】 【分析】设每件涨价x元，则每件利润为（50-40+x）元，销售量为（500+10x）件，等量关系为：每件的利润×数量=8000，据此列方程即可． 【详解】设每件涨价x元，由题意得 （500﹣10x）（10+x）＝8000．． 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到提高价格后的销售量是解决本题的难点；得到总利润的等量关系是解决本题的关键． 8. 和是关于x的方程 的两个实根，且满足 则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方根与系数的关系，解不等式组等知识，先根据根的判别式求出m的取值范围，然后根据根与系数的关系并结合可得出，，解之即可． 【详解】解：∵x的方程有两个不同的实根， ∴， ∴或， 由一元二次方程根与系数的关系， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得， ∴， 故选：B． 第II卷（本卷共计76分） 二．填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共计15分） 9. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质可得，代入已知条件即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键． 将代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为： 11. 已知，且，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出b的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12. 鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义，二次根式的混合运算，先根据黄金分割点的定义可求出，进而可求出，再根据黄金分割点的定义即可求出． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∵是的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：2． 13. 等腰中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟悉定理内容并应用是解题的关键．过点E作，交于点D，则由平行线分线段成比例得；设，则，易得；设，利用得，即可求得，然后计算即可． 【详解】解：如图，过点E作，交于点D， 则； 设，则， ∵， ∴； 设； ∵， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故答案为：． 三．解答题（请写出计算过程和必要的文字说明，本大题共7小题，共61分） 14. （1）解方程 ①； ② ③； ④； （2）小明在解关于x的方程时，过程如下： 第1步：移项，得， 第2步：变形，得， 第3步：设，即，代入上式得， 所以，即， 第4步：两边开平方，得， 第5步：代入，得，即． 你认为小明的做法从第______步开始出现错误，原因是______． 【答案】（1）①；；②无解；③；④，；（2）4，可能小于0，而负数没有平方根 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法（因式分解法、配方法）以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法和根的判别式的应用是解题的关键． （1）①通过因式分解法，将方程转化为两个一次方程求解；②利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有解；③先整理方程，再用因式分解法求解；④通过因式分解法求解． （2）分析小明解方程的步骤，找出错误步骤并说明原因． 【详解】①解：∵， ∴， ∴或， 解得； ②解：∵， ∴， ∴， ∴原方程无解； ③解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． ④， ， 或， 所以，； （2）小明的做法从第4步开始出现错误，原因是可能小于0，而负数没有平方根． 故答案为：4，可能小于0，而负数没有平方根． 15. 某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为． （1）起飞区的边的长为______（用含x的代数式表示）； （2）若起飞区的面积为，求原正方形空地的边长． 【答案】（1）； （2）原正方形空地的边长为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）根据题意，列出的代数式即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意，起飞区的边的长为， 故答案为：； 【小问2详解】 解∶ 根据题意可得：，即， 解得：，舍去 答：原正方形空地的边长为． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有两个不相等的正整数解，求整数的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式． （1）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用求根公式法解方程得到，，再利用有理数的整除性得到，从而确定整数m的值． 【小问1详解】 证明： ， 该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ∴，， 方程有两个不相等的正整数解， ∴， ∴ 整数的值为2． 17. 我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”． （1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形； （2）当时，求菱形的“神似度”． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质推理是解题的关键． （1）根据正方形的判定得出答案即可； （2）连接和，交于点，根据、菱形的性质，得出、，结合含角的直角三角形的性质、勾股定理，得出，，即可代入计算出菱形的“神似度”． 【小问1详解】 解：∵对角线相等的菱形是正方形， ∴当时，即时，菱形是正方形， ∴当菱形的“神似度”时，菱形就是正方形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接和，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即菱形的“神似度”为． 18. 某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价； （1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率； （2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？ 【答案】（1）20% （2）当该商品每个销售定价为75元时，进货250个 【解析】 【分析】（1）设该小家电出厂平均每年下调的百分率为，则2020年该小家电出厂价是每台，则2021年该小家电出厂价是每台，根据到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元可列方程为，解方程即可； （2）根据利润售价进价，进而求出即可． 【小问1详解】 设平均每年下调的百分率为，根据题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：平均每年下调的百分率为20%； 【小问2详解】 设每个商品定价是元， 由题意可得： 解得：，， 当时，进货个，不符合题意，舍去； 当时，进货个，符合题意． 答：当该商品每个销售定价为75元时，进货250个． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键． 19. （2+4+4=10）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… 请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【答案】（1）；（2），；（3）互为倒数，，过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的相关知识，熟练掌握一元二次方程的解法、求根公式以及对新定义“友好方程”的理解与运用是解题的关键． （1）依据“友好方程”的定义直接写出； （2）先写出“友好方程”，再用因式分解法求解； （3）先根据求根公式表示出两个方程的根，再通过计算根的乘积或和来推导关系． 【详解】解：（1）依题意可得： 一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ∴， 解得：，； （3）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； 20. 综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作交于点H． ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H． ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H． ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $