精品解析：广东省中山市烟洲中学2026届高三上学期9月月考数学试题

中山市烟洲中学2026届高三上学期9月月考数学试题 考试时间：120分钟；满分150分 命题人：南兆文 审题人：廖巨星 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式、一元一次不等式求集合，再由集合的交集运算求集合. 【详解】不等式，所以， 又，所以. 故选：D 2. 设是上的可导函数，甲：“在区间上存在极值”，乙：“，使得”，则（ ） A. 甲是乙的充要条件 B. 甲是乙的充分不必要条件 C. 甲是乙的必要不充分条件 D. 甲是乙的既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点定义或举例判断，再结合充分条件和必要条件的定义即可得答案. 【详解】因为是上的可导函数，根据可导函数取得极值的必要条件可知，若在区间上存在极值， 则，使得，所以甲是乙的充分条件． 若，使得，则在区间上不一定存在极值， 比如，， 则，函数在上单调递增，无极值， 所以甲不是乙的必要条件． 故选：B． 3. 若命题“”是假命题，则可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式得到函数的最小值，即可得到命题为假命题时求解. 【详解】因为时，，当且仅当时取等， 则当命题“”为真命题时， 所以命题为假命题时. 故选：D. 4. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数单调递减则各段均为递减函数，且左边函数的右端点值不小于右边函数的左端点值，由此建立不等式，求得的取值范围. 【详解】为上的减函数， 时，单调递减，即，则； 时，单调递减，即， 且，即. 综上，的取值范围是， 故选：D. 5. 定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到的图象的对称轴是，周期是8，进一步有，结合单调性即可得解. 【详解】定义在上的奇函数满足， 则的图象的对称轴是， 所以， 则， 则，所以的周期是8， 所以， 因为在上单调递增， 所以. 故选：D. 6. 已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对任意满足得出的对称轴为直线，结合函数在上单调递减得出在上单调递增，根据对称性及单调性求解不等式即可． 【详解】因为对任意满足，所以的对称轴为直线， 又函数在上单调递减，所以在上单调递增， 所以，解得， 故选：B． 7. 设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（ ） 0 A. 1 B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质求出的值，再利用期望公式得到与的关系，然后换元，将所求式子进行变形，结合与的关系，运用基本不等式求出其最小值. 【详解】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为，即.解得. 已知随机变量的期望为，可得. 化简可得：，进一步变形为. 设，则， 将进行变形， 给式子乘以得到. 展开式子： 根据基本不等式，有. 所以，当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 8. 已知函数，若，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数变形为，由得函数的图象关于直线对称，再判断单调性，因为，所以，两边平方后化简即可. 【详解】函数定义域为， ， 因为，所以函数的图象关于直线对称， 令，则且在上单调递增； 函数在时单调递减，在时单调递增， 故当时等号成立，此时； 又在上单调递增； 由复合函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增； 又因为，所以， 两边平方得，即 若，则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：将函数变形为，判断出函数的图象关于直线对称，以及在上单调递减，在上单调递增是解决本题的关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据求解一元二次不等式和基本不等式判断关于的不等式在上是否恒成立，即可得解. 【详解】的解集为，A错误； 当时，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以在上恒成立，B正确； 的解集为，在上恒成立，C正确； 当时，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以在上恒成立，D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据是幂函数可求m为2或，再根据在上单调递增可得m为2，根据即可求出a，b的关系，从而得到答案． 【详解】∵函数是幂函数， ∴或． ∵对任意，且，满足， ∴在上单调递增． 当时，满足题意， 当时，不符合题意， ∴， ∴在上单调递增． ∵的值为负数， ∴． 当时，，故A可能成立； 当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立； 故选：ABC． 11. 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 在上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，A，取可得；B，取，再由条件当时，推理可得；对于C，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导得出相反结论，排除. 【详解】对于A项，由，取，得，，故A项正确； 对于B项，由，取，因，故，即， 当时，，则，故，即，故B项正确； 对于C项，由，取，可得，，整理得，， 因，，当且仅当时取等号，但因的符号不能确定，故不一定有， 即不一定成立，故C项错误； 对于D项，任取，则，依题意，，而， 则，即，即在上是增函数.于是，对于， 任取，因，则，即，即函数在上单调递增，故D项错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质判断和应用，属于难题. 解决此类题的关键在于观察已知抽象函数式的特征，巧用赋值代入法，对称取值法和定义推导法进行推理判断，即可得出正确结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 【答案】 【解析】 【分析】先求，再根据奇函数求 【详解】，因为为奇函数，所以 故答案为： 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 13. 已知偶函数的定义域为，且，则的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令可得出，令结合偶函数的性质可求得函数的解析式，由此可得出函数的值域. 【详解】对，令，则，解得； 对，令，则， 又为偶函数，，故，解得。 又，故其值域为. 故答案为：. 14. 现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过第关.假定每次过关互不影响，则直接挑战第2关并过关的概率为__________，若直接挑战第4关，则过关的概率为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由古典概型，独立事件的乘法公式逐一计算即可. 【详解】第一空，直接挑战第二关过关需两次点数之和大于，两次点数满足要求的有如下几种情况：（1，6），（2，5），（2，6），（3，4）……（6，5），（6，6）， 则概率为：； 第二空，直接挑战第四关过关需四次点数之和大于，四次点数满足要求的有如下几种情况：（5，5，5，6）四种，（4，5，6，6）十二种，（5，5，6，6）六种，（3，6，6，6）四种，（4，6，6，6，）四种，（5，6，6，6）四种，（6，6，6，6）一种，合计35种，故概率为：. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为调查学生性别与是否喜欢排球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图． （1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联． 性别 是否喜欢排球运动 总计 是 否 男生 女生 总计 （2）将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中喜欢排球运动的学生的人数为X，求使得取得最大值时的k值． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 性别 是否喜欢排球运动 总计 是 否 男生 30 70 100 女生 60 40 100 总计 90 110 200 性别与喜欢排球运动有关联. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等高堆积条形图获取数据完成列联表，再利用独立性检验的公式计算值，与给定的临界值比较来判断性别与是否喜欢排球运动是否有关联； （2）先由（1）得出喜欢排球运动的频率，将其视为概率，确定随机变量服从二项分布，然后通过建立不等式组来求解使得取得最大值时的值. 【小问1详解】 由等高堆积条形图知喜欢排球运动的男生有，不喜欢排球运动的男生有， 喜欢排球运动的女生有，不喜欢排球运动的女生有， 所以2×2列联表为 性别 是否喜欢排球运动 总计 是 否 男生 30 70 100 女生 60 40 100 总计 90 110 200 零假设为：性别与喜欢排球运动无关. 根据列联表中的数据得 所以依据的独立性检验，可以推断不成立，即性别与喜欢排球运动有关联. 【小问2详解】 由 (1)知，喜欢排球运动的频率为 所以随机变量 则 令 ，解得 因为，所以当时，取得最大值. 16. 已知定义在上的函数. （1）若，判断的单调性； （2）若存在两个零点，求m的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后令，再对函数求导，即可判断单调性； （2）参变分离得到，问题转换成与恰有两个交点，对求导确定单调性，极值，即可求解； 【小问1详解】 若，则，则，， 令，则， 因为，则，所以，即函数在上单调递增， 则， 即在上恒成立， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 令，可得， 所以与恰有两个交点， 设，则， 令可得， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 当时，；当时，， 的取值范围是. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 如图所示，取的中点，连接． 由分别为的中点，则， 而，得， 即四边形为平行四边形，故， 而平面平面，故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由题设先证明四边形为平行四边形，可得，进而求证即可； （2）取的中点的中点，连接，由面面垂直的性质得到平面，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点的中点，连接， 由为等边三角形，则． 由平面平面，平面平面平面， 故平面． 由， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， 则． 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得． 则． 由图形知，二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为． 18. 某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； （2）校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 【答案】（1） 依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. （2） ，. 【解析】 【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）利用全概率公式求出每个人从号门出校园的概率均为，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望、方差公式可得出、的值. 【小问1详解】 ，， 因此，回归方程为. 【小问2详解】 记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， “甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ， 同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为， 为人中从号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： ，. 19. 已知函数． （1）设，若的导函数在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若，证明：当时，函数图象上任意一点处的切线总在的图象的上方； （3）若不等式对任意恒成立，求可取的最大整数值． 【答案】（1） （2） 当时，， 设切点为，则切线方程为， 令，依题意，只需证明即可． ， 令， 当时，， 在上单调递减，即在上单调递减， 又， 故当时，，单调递增， 当时，单调递减， ，则恒成立，即得证． （3）． 【解析】 【分析】（1），令，由题意得到对于恒成立，参变分离求最值即可求解； （2）设切点为，则切线方程为，构造函数，只需证明即可． （3）构造函数，问题转化成恒成立，求导确定函数最值即可. 【小问1详解】 ． 所以， 令， 因为在上单调递减， 所以对于恒成立， 可得对于恒成立， 令，则时，， 易知在上单调递增， 所以，所以． 即实数的取值范围为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式恒成立，即恒成立， 设， 则， 当时，恒成立，故在上单调递增， 因为，所以不符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则． 设，则恒成立，所以在上单调递增，又， 故可取的最大整数值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市烟洲中学2026届高三上学期9月月考数学试题 考试时间：120分钟；满分150分 命题人：南兆文 审题人：廖巨星 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是上的可导函数，甲：“在区间上存在极值”，乙：“，使得”，则（ ） A. 甲是乙的充要条件 B. 甲是乙的充分不必要条件 C. 甲是乙的必要不充分条件 D. 甲是乙的既不充分又不必要条件 3. 若命题“”是假命题，则可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（ ） 0 A. 1 B. C. 4 D. 2 8. 已知函数，若，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 13. 已知偶函数的定义域为，且，则的值域为__________. 14. 现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过第关.假定每次过关互不影响，则直接挑战第2关并过关的概率为__________，若直接挑战第4关，则过关的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为调查学生性别与是否喜欢排球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图． （1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联． 性别 是否喜欢排球运动 总计 是 否 男生 女生 总计 （2）将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中喜欢排球运动的学生的人数为X，求使得取得最大值时的k值． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 已知定义在上的函数. （1）若，判断的单调性； （2）若存在两个零点，求m的取值范围. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 18. 某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； （2）校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 19. 已知函数． （1）设，若的导函数在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若，证明：当时，函数图象上任意一点处的切线总在的图象的上方； （3）若不等式对任意恒成立，求可取的最大整数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $