精品解析：2025年山东省初中学业水平考试数学模拟试题(二)

2025年山东省初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 时间：120分钟　满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.13133 2. 2024年1月8日，以“家家挂红灯，户户贴春联，村村有好戏——回村过大年”为主题的2024春节山东乡村文化旅游节启动．小明通过观看纪录片对剪纸产生了浓厚的兴趣，下列剪纸图片既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年1月12日，中国海油发布消息，2023年，国内最大原油生产基地渤海油田累产油气当量超3680万吨，其中原油产量超3400万吨，天然气产量超35亿立方米，创历史最高水平．数据“3400万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A 且 B. C. 且 D. 7. 如图，在中，，按如下作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线交于点D． 根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ） ；； A B. C. D. 8. 如图，，是的切线，，为切点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ） A. 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分） 11 因式分解：=_______. 12. 分式方程的解是______． 13. 如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为________． 14. 对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为______． 15. 关于抛物线（是常数），下列结论正确的是_________（填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 16. 聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 若图和图的分子中共含有242个原子，则的值______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 17. （1）计算： （2）利用数轴确定不等式组：的解集． 18. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）： ，，，，， 随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 已知笔试成绩中，组的数据如下：，，，，，，，，． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在扇形统计图中，“组”所对应的扇形的圆心角是 ； （2） ，并补全图中的频数分布直方图； （3）在笔试阶段中，名学生成绩的中位数是 分； （4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 19. 如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：） 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，且，． （1）点的坐标为______； （2）求一次函数的解析式及的值； （3）直接写出当时，关于不等式的解集． 21. 如图，内接于是的直径，过上的点P作，交的延长线于点D，交于点E，过点B作的切线交于点F． （1）求证：F是的中点； （2）若，，求的长． 22. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． （1）求抛物线表达式及顶点D的坐标； （2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 23. 在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出． （1）【学以致用】：如图2，正方形纸片的边长为12，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，折痕与交于点H，点F在上，若，求的长． （2）【类比探究】：如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O，试探究与之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图4，在矩形中，，点M，N分别在边上．沿着直线折叠矩形，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接交于点O．若，求折叠后重叠部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 时间：120分钟　满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.13133 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、0.13133是有理数，不符合题意； 故选A． 2. 2024年1月8日，以“家家挂红灯，户户贴春联，村村有好戏——回村过大年”为主题的2024春节山东乡村文化旅游节启动．小明通过观看纪录片对剪纸产生了浓厚的兴趣，下列剪纸图片既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 利用轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 2024年1月12日，中国海油发布消息，2023年，国内最大原油生产基地渤海油田累产油气当量超3680万吨，其中原油产量超3400万吨，天然气产量超35亿立方米，创历史最高水平．数据“3400万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：3400万用科学记数法表示为． 故选：A． 4. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】立体几何的俯视图，看到的是顶部的面与线条，能看到的线都是实线，由此即可求解． 【详解】解：根据立体几何三视图特点可知，题设中的俯视图是 故选：． 【点睛】本题主要考查立体几何的三视图，掌握三视图中各视图的特点是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，同底数幂除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 7. 如图，在中，，按如下作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线交于点D． 根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ） ；； A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】①利用等边对等角以及三角形内角和定理进行求解即可； ②利用角平分线的定义得出相等的角，然后利用等角对等边即可求解； ③证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故①正确； 由题意得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确． 综上所述，正确的有①②③． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，等角对等边，三角形内角和定理，角平分线的作法和定义，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 8. 如图，，是的切线，，为切点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和为，求得，根据圆周角定理得出，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 9. 如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ） A. 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解． 【详解】如图，过点A作，垂足为F， 设，， ∵轴，， ∴轴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标． 【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向； ，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向， 最左边的点坐标为，即第2025个点的坐标， 第2024个点的坐标为． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分） 11. 因式分解：=_______. 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，先提取公因式x后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为 12. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时乘以完成去分母，再按照去括号，移项、合并同类项的步骤求解，检验即可获得答案． 【详解】解：， 等号两边同时乘以，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 经检验，是该分式方程的解， 所以，该分式方程的解为． 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得，，得到，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵O为中点， ∴， ∵， 在中，， ∴， 同理， ∴， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 14. 对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据新定义，分类计算即可． 本题考查了新定义运算，正确理解运算是解题的关键． 【详解】当时， 变形得， 整理，得， 解得（舍去）． 当时， 变形得， 解得（舍去）． 故答案为：3． 15. 关于抛物线（是常数），下列结论正确的是_________（填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．①把代入解析式，即可判断；②利用一元二次方程根的判别式，即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的性质，即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，即可判断． 【详解】解：当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确； ∵此抛物线与轴只有一个公共点， ∴方程的有两个相等的实数根， ∴， 解得：，故②错误； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大， ∵点，在抛物线上，且， ∴，故③错误； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 如图，过点A作直线于点B，则点，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确． 故答案为：①④ 16. 聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 若图和图的分子中共含有242个原子，则的值______． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给结构简式，发现原子的个数的规律即可解决问题． 【详解】解：由所给分子结构图及结构简式可知， 图（1）的分子中含原子的个数为：； 图（2）的分子中含原子的个数为：； 图（3）的分子中含原子的个数为：； …， 所以图（n）的分子中含原子的个数为个． 由图和图的分子中共含有242个原子， ， 解得， 所以m的值为19． 故答案为：19． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 17. （1）计算： （2）利用数轴确定不等式组：的解集． 【答案】（1）（2）数轴见解析， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、解不等式组及利用数轴确定不等式组解集，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． （1）根据负指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质计算即可； （2）根据不等式组的解法求解，再在数轴上表示判断即可． 【详解】解：（1） ； （2）解： 由①得 ， 由②得， 以上解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为 ． 18. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）： ，，，，， 随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 已知笔试成绩中，组的数据如下：，，，，，，，，． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在扇形统计图中，“组”所对应的扇形的圆心角是 ； （2） ，并补全图中的频数分布直方图； （3）在笔试阶段中，名学生成绩的中位数是 分； （4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2），补全如图所示 （3） （4）乙将获得“环保之星”称号 【解析】 【分析】（）直接即可； （）根据“”组即可； （）根据中位数的概念即可； （）根据的权重分别计算即可； 本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数和加权平均数，解题的关键是准确找出相关数据，利用数形结合的思想解答． 【小问1详解】 “组”所对应的扇形的圆心角是:， 故答案：； 【小问2详解】 ，并补全频数分布直方图如图， 故答案为：； 【小问3详解】 由（）得：，即抽取名学生， 即中位数排在第，位的平均数，为， 故答案为：； 【小问4详解】 甲：， 乙：， ∵， ∴乙将获得“环保之星”称号． 19. 如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点作的垂线，垂足分别为，根据题意得出，解求得，，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴四边形是矩形， ∴，， 依题意，， ∴， ∴， ∴； 在中，， ； 在中，， ∴． 答：大桥长度约为米． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，且，． （1）点的坐标为______； （2）求一次函数的解析式及的值； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）一次函数解析式为， （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式即可求出D点的坐标； （2）已知可以求出OC的长度，再利用相似三角形的性质求出点P的坐标即可解决本题； （3）要使，则要一次函数的图象在反比例函数图象的上方（不包含临界点），根据图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：在中，令，得， ∴点D的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ∵，， ， ， 解得， 由，可得：， 解得， ，， 把分别代入与，即，， 解得：， 一次函数解析式为，反比例函数解析式为； 【小问3详解】 解：， 一次函数的图象要在反比例函数图象的上方（不包含临界点）， 则由图可知，x的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，涉及到相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点并理清题意是解决本题的关键． 21. 如图，内接于是的直径，过上的点P作，交的延长线于点D，交于点E，过点B作的切线交于点F． （1）求证：F是的中点； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线的性质和垂直的定义，得出相等的角，再利用等角对等边得出，即可求解； （2）利用锐角三角函数求出，利用勾股定理求出，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 小问1详解】 证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中点； 【小问2详解】 解：由 (1) 得，，， ∴， 又∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，垂直的定义，等角对等边，锐角三角函数比，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 22. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的表达式为，顶点D的坐标为； （2）点M的坐标为； （3）的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）作点B关于原点的对称点，连接交轴于点M，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）以为边在的下方作等边三角形，得到点在以为圆心，1为半径的上，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由于抛物线经过点和点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点D的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点，对称轴为直线， ∴点， ∵，， ∴长为定值， 作点B关于原点的对称点，则，连接交轴于点M， 则， ∴，此时的周长最小， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点M的坐标为； 【小问3详解】 解：以为边在的下方作等边三角形，作轴于点，连接，， ∵等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，1为半径的上， ， 当点在线段上时，有最小值为； 当点在射线上时，有最大值为； ∴的取值范围为． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 23. 在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出． （1）【学以致用】：如图2，正方形纸片的边长为12，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，折痕与交于点H，点F在上，若，求的长． （2）【类比探究】：如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O，试探究与之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图4，在矩形中，，点M，N分别在边上．沿着直线折叠矩形，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接交于点O．若，求折叠后重叠部分的面积． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和直角三角形的性质得出相等的角和边，证明， 得出，利用勾股定理求出，最后利用等面积法进行求解即可； （2）过作，同（1）可证，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求解； （3），则，利用勾股定理求出的值，求出相关线段的长度，证明，得出，利用勾股定理求出，连接，记，的交点为，先求得，再利用锐角三角函数比求出，求得，最后可求面积． 【小问1详解】 解：由对折可得：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ∴由等面积法得； 【小问2详解】 解：如图，过作，而四边形是矩形， ， 四边形为平行四边形， ， 由对折可得：， ， 同（1）可得：，， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， ，， 由折叠可设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ，， 由折叠可得：，， 由 (2) 的结论同理可得：，， ， ， 由勾股定理得， 如图，连接，记，的交点为， ，，， 由勾股定理得， ， 结合折叠可得：， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， 折叠后重叠部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等面积法，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $