2026届高考物理一轮复习讲义：万有引力定律及应用

万有引力定律及应用 课前必备知识 1．开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 2.万有引力定律 (1)内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 (2)表达式 F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。 (3)适用条件 ①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 (4)万有引力定律在天体上的应用 ①基本特征：把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。 ②应用万有引力定律分析天体运动的方法：G＝ma＝m＝mrω2＝mr。 概念辨析 1．围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(　　) 2．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。(　　) 3．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(　　) 4．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。(　　) 5．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(　　) 6．地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。(　　) 课堂核心考点 考点一　开普勒三定律的理解和应用 1．行星绕太阳运行的轨道通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可得Δl1·r1＝Δl2·r2，即v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，所以行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，则在近日点的速度最大，在远日点的速度最小(如图所示)。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 【典例1】　(多选)如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法正确的是(　　) A．太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上 B．火星绕太阳运行过程中，速率不变 C．土星比地球的公转周期大 D．地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等 变式训练 1．(多选)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运行，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运行过程中(　　) A．从P到M所用的时间等于 B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大 C．从P到Q阶段，速率逐渐变小 D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功 2．(2024·山东卷)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　) A． B． C． D． 考点二　万有引力定律 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面及上空的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝，得g′＝。 3．两个推论 推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 【典例2】　近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7 000 m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为(　　) A． B． C． D． 变式训练 3．(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是(　　) A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝G B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝G C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝G D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝G 4．有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力为(　) A. B． C． D． 考点三　天体质量及密度的计算 1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R——“自力更生法” (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．利用绕行天体的周期和轨道半径——“环绕法” (1)由G＝mr，得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面附近运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见只要测出在天体表面附近的卫星环绕天体运动的周期T，就可估算出天体的密度。 【典例3】　如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕一周飞行时间为T，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度的表达式正确的是(　　) A．M＝，ρ＝ B．M＝，ρ＝ C．M＝，ρ＝ D．M＝，ρ＝ 估算天体质量和密度的四点注意 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。 (3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。 (4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。 变式训练 5．(2023·辽宁卷)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　　) A．k3 B．k3 C． D．2 6．我国是第三个对火星探测并将探测器着陆火星的国家，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T。火星表面气体非常稀薄可近似认为真空，在火星表面附近以初速度v0水平抛出一个物体，测得抛出点距火星表面高度为h，落到火星表面时物体的水平位移为x，已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　) A．火星表面重力加速度大小是 B．火星的半径是 C．火星的质量是 D．火星的密度是 学科网（北京）股份有限公司 $ 万有引力定律及应用 课前必备知识 1．开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 2.万有引力定律 (1)内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 (2)表达式 F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。 (3)适用条件 ①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 (4)万有引力定律在天体上的应用 ①基本特征：把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。 ②应用万有引力定律分析天体运动的方法：G＝ma＝m＝mrω2＝mr。 概念辨析 1．围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(　√　) 2．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。(　×　) 3．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(　×　) 4．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。(　×　) 5．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(　×　) 6．地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。(　√　) 课堂核心考点 考点一　开普勒三定律的理解和应用 1．行星绕太阳运行的轨道通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可得Δl1·r1＝Δl2·r2，即v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，所以行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，则在近日点的速度最大，在远日点的速度最小(如图所示)。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 【典例1】　(多选)如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法正确的是(　AC　) A．太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上 B．火星绕太阳运行过程中，速率不变 C．土星比地球的公转周期大 D．地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等 【解析】　根据开普勒第一定律可知，太阳处在每颗行星运动的椭圆轨道的一个焦点上，故必然处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上，故A正确；根据开普勒第二定律可知，火星绕太阳运行过程中，在离太阳较近的位置运行速率较大，在离太阳较远的位置运行速率较小，故B错误；由题图可知土星轨道的半长轴比地球轨道的半长轴长，根据开普勒第三定律＝k可知，土星比地球的公转周期大，故C正确；根据开普勒第二定律可知，同一颗行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，而地球和土星不是同一颗行星，二者分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。 变式训练 1．(多选)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运行，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运行过程中(　CD　) A．从P到M所用的时间等于 B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大 C．从P到Q阶段，速率逐渐变小 D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功 解析：由行星运行的对称性可知，从P经M到Q所用时间为T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运行的速率大于从M到Q运行的速率，可知从P到M所用的时间小于T0，A错误；海王星在运行过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，D正确。 2．(2024·山东卷)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　D　) A． B． C． D． 解析：“鹊桥二号”中继星在环绕月球24小时沿椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律有＝k，同理对地球的同步卫星根据开普勒第三定律有＝k′，又有T＝T′，＝，联立可得＝，故选D。 考点二　万有引力定律 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面及上空的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝，得g′＝。 3．两个推论 推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 【典例2】　近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7 000 m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为(　C　) A． B． C． D． 【解析】　设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有G＝mg，由于地球的质量M＝ρV＝ρπR3，联立上式解得g＝πGρR。根据题意，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R－d)的球体表面的重力，故“蛟龙号”在海里的重力加速度为g′＝πGρ(R－d)，联立可得＝。对卫星，根据万有引力提供向心力有G＝ma，解得a＝，所以＝，故选C。 变式训练 3．(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是(　AC　) A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝G B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝G C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝G D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝G 解析：在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝G，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1＜G，故B错误；在北极上空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，则有F2＝G，故C正确；在赤道上空高出地面h处称量时，万有引力大于重力，则F3＜G，故D错误。 4．有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力为(　A　) A. B． C． D． 解析：挖去小球前，球体与质点的万有引力F1＝G＝，挖去的球体的质量M′＝M＝，被挖部分对质点的万有引力为F2＝＝，则剩余部分对质点的万有引力F＝F1－F2＝，故A正确。 考点三　天体质量及密度的计算 1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R——“自力更生法” (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．利用绕行天体的周期和轨道半径——“环绕法” (1)由G＝mr，得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面附近运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见只要测出在天体表面附近的卫星环绕天体运动的周期T，就可估算出天体的密度。 【典例3】　如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕一周飞行时间为T，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度的表达式正确的是(　C　) A．M＝，ρ＝ B．M＝，ρ＝ C．M＝，ρ＝ D．M＝，ρ＝ 【解析】　设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，有G＝m(R＋h)，解得M＝ 。又土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝，C正确，A、B、D错误。 估算天体质量和密度的四点注意 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。 (3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。 (4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。 变式训练 5．(2023·辽宁卷)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　D　) A．k3 B．k3 C． D．2 解析：设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据G＝mr可得G＝m月r1，G＝m地r2，其中＝＝，ρ＝，联立可得＝，故选D。 6．我国是第三个对火星探测并将探测器着陆火星的国家，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T。火星表面气体非常稀薄可近似认为真空，在火星表面附近以初速度v0水平抛出一个物体，测得抛出点距火星表面高度为h，落到火星表面时物体的水平位移为x，已知引力常量为G，下列说法正确的是(　C　) A．火星表面重力加速度大小是 B．火星的半径是 C．火星的质量是 D．火星的密度是 解析：设物体在火星表面附近做类平抛运动的时间为t，水平方向有x＝v0t，竖直方向有h＝g′t2，联立解得g′＝，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T，可得加速度为g′＝ω2R＝R，联立解得R＝，A、B错误；在火星表面有mg′＝G，解得M＝，C正确；火星的密度ρ＝＝，D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $