精品解析：四川省成都市锦江区师一学校2025-2026学年八年级上学期入学考数学试题

锦江师一2024级八上入学考数学 一、选择题（28分） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：三边是正整数且两小边的平方和等于第三边的平方，进行求解即可． 【详解】根据勾股数的定义可得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股数，熟练勾股数的定义是解决本题的关键． 2. 下列实数：，，，，，0，，，…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），其中无理数有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了乘方运算，算术平方根，无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数进行分析，即可作答． 【详解】解：，， 则，，…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）都是无限不循环小数， 故无理数有3个, 故选：A 3. 如图，分别表示相应线段的长度，其中是无理数的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理．分别利用勾股定理求出的值，根据无理数的定义即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，， ， ， ， ， 综上可知，中是无理数的有，共4个， 故选：C． 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根的算术平方根．根据平方根的算术平方根的性质进行解题即可． 【详解】解：A、，故该项不符合题意； B、，故该项不符合题意； C、，故该项不符合题意； D、，故该项符合题意； 故选：D． 5. 直角三角形中，斜边长为，周长为，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和完全平方公式，根据勾股定理和三角形周长公式列出等式是解决此题的关键． 设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，根据勾股定理和三角形周长公式得到，，然后根据完全平方公式的变形即可求出，根据直角三角形的面积公式计算即可． 【详解】解∶设该直角三角形的两条直角边分别为a、b 根据题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴该直角三角形的面积为． 故选：B． 6. 如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点表示，点是原点．以点为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数轴上点的坐标，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据正方形边长以及结合勾股定理求出，观察数轴得出点在点的左侧，再列式表示出点表示的数，即可作答． 【详解】解：正方形的边长是1， 正方形的对角线为， ， 观察数轴得出点在点的左侧， ∴点表示的数是． 故选：C． 7. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，在线段的三等分点（E=3）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ ） A. 10 B. C. 5+ D. 6+ 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出EF的长即可． 【详解】如图1， ∵AB=9,BB′=5,B′C′=6,在线段AB的三等分点E(靠近点A)处有一只蚂蚁,B′C′中点F处有一米粒， ∴BE=6，BF=5+3=8， ∴EF= =10； 如图2,∵AB=9,BB′=5,B′C′=6,在线段AB的三等分点E(靠近点A)处有一只蚂蚁， B′C′中点F处有一米粒， ∴BE=6，EN=9，FN=5， ∴EF= . ∵10<， ∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为10. 故选A. 【点睛】此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于解题关键在于画出图形. 二、填空题（每小题4分，共24分） 8. 的算术平方根是__________；的平方根是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查求算术平方根、平方根，熟记平方根、算术平方根的定义与求法是解决问题的关键．先求出、，再由算术平方根及平方根的求法求解即可得到答案． 【详解】解：， 的算术平方根是； ， 的平方根是； 故答案为：；． 9. 一个正数的平方根是和，则这个数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根定义与求法，熟记平方根定义与求法是解决问题的关键．先由题意，结合平方根定义得到，解一元一次方程即可得到，求出这个正数的两个平方根即可得到答案． 【详解】解：一个正数的平方根是和， ， 解得， ， ， 则这个数是， 故答案为：． 10. 下列说法：①有理数与数轴上的点一一对应；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③1的平方根是它本身；④对于任意一个实数，都可以用表示它的倒数；⑤有理数是有限小数；⑥任何无理数都是无限不循环小数．其中正确的结论是__________． 【答案】②⑥##⑥② 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴的关系，平方根及有理数的定义，倒数的定义，无理数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．根据实数与数轴的关系，平方根及有理数的定义，倒数的定义，无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应，原说法错误； ②任何一个无理数都能用数轴上的点表示，说法正确； ③1的平方根是，原说法错误； ④当时，没有倒数，故原说法错误； ⑤有限小数是有理数，但不是所有的有理数都是有限小数，原说法错误； ⑥任何无理数都是无限不循环小数，说法正确； 故答案为：②⑥． 11. 把三边分别为BC＝3，AC＝4，AB＝5的三角形沿最长边AB翻折成△ABC'，则CC'的长为_________ 【答案】4.8 【解析】 【详解】 ∵ 3²+4²=5²， 即:BC²+AC²=AB²， ∴ △ABC是直角三角形，斜边是AB， ∴△ABC面积= , 根据题意知: AB垂直且平分CC'，设AB交CC'于E，则E是垂足， ∴ CE=C'E，CC'=2CE ； ∴， ∴ CE=2.4， ∴ CC'=2CE=4.8． 故答案为：4.8 【点睛】考点：1．轴对称；2．勾股定理的逆定理． 12. 若一个直角三角形的三边分别为，4，5，则__________． 【答案】9或． 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的简单应用，需注意解答时有两种情况. 本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边5既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即5是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x， （1）若5是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得： ， ∴； （2）若5是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得： ， ∴； ∴的值为9或． 故答案为：9或． 13. 如图，将边长为4的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，连接交于，如图所示，先由折叠性质得到，进而证明，则由全等三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于，连接交于，如图所示： 由折叠性质可知，， ， 在正方形中，，， ， ， ，点是的中点， 在和中， ， ， ，， 在中，，则由勾股定理可得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及折叠的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、中点定义及勾股定理等知识，熟记相关几何性质，运用勾股定理求线段长是解题的关键． 三、解答题（48分） 14. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查由平方根定义与求法解方程，熟记平方根定义与求法是解决问题的关键． （1）先将方程恒等变形为，由平方根定义与求法求解即可得到答案； （2）先将方程恒等变形为，由平方根定义与求法求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 解得或； 【小问2详解】 解：， ， 则， 解得或． 15. （1）已知为实数，若满足，求的值． （2）若实数、满足等式，求的算术平方根． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由二次根式定义可得，进而得到，代入代数式求值即可得到答案； （2）由绝对值非负性、二次根式非负性及非负数之和为的条件得到、的值，代入代数式求值进而得到该数的算术平方根即可得到答案． 【详解】解：（1）已知为实数，若满足， ，且， 则； 当时，则； ； （2）实数、满足等式，且、， 且， 解得，， ， 则的算术平方根为． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件、绝对值非负性、二次根式非负性、非负数之和为的条件、算术平方根等知识，熟记二次根式有意义的条件、非负数之和为的条件、算术平方根等知识是解决问题的关键． 16. 实数在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】先由实数在数轴上的对应点的位置，数形结合得到，且，，进而得到，，，再由二次根式性质化简，然后利用绝对值的代数意义去绝对值，最后由整式加减运算法则化简即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，且，， 则，，， ． 【点睛】本题考查了代数式化简，涉及由数轴表示数的大小、绝对值代数意义、二次根式性质及整式的混合运算等知识，熟记绝对值代数意义、二次根式性质及整式的混合运算等知识是解决问题的关键． 17. 如图，把一块直角三角形（，）土地划出一个三角形（）后，测得米，米，米，米． （1）求证：； （2）求图中阴影部分土地的面积． 【答案】 （1）∵∠ACB=90°，BC=12，AB=13， ∴AC==5， ∵32+42=52，即AD2+CD2=AC2， ∴∠ADC=90°； （2）24 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理证明∠ADC=90°； （2）利用△ABC的面积减去△ACD的面积即可． 【详解】解：（1）略 （2）S阴影=S△ABC-S△ACD = = =24． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用以及勾股定理的逆定理，有利于培养学生生活联系实际的能力． 18. 有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响，已知有一拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒． （1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由． （2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？ 【答案】（1）受到噪声影响，理由： 过A作AHON于点H， 由题可得∠NOM=30°，OA=160m， AH=OA=80m 80m<100m 所以该小学会受到噪声影响． （2）24秒 【解析】 【分析】(1)过点A作AD⊥ON交OM于点H，即AH即为点A到ON的最短距离，已知在Rt△OAH中，∠O=30°，OA=160，故可得AH=80＜100，故学校会受到影响； (2)在H点两侧分别取两点E、F，使得AE=AF=100，即拖拉机经过EF段所用的时间即为学校受影响的时间，可知AH=80，根据勾股定理可得EH=HF=60，即可得出EF=120，又拖拉机的速度为5米/秒，可得拖拉机经过EF段所用的时间． 【详解】（1）略 （2）以A为圆心，半径长为100m画圆与ON交于E、F两点，连接AE、AF， 在E到F范围内，小学都会受到影响． ：AE=AF=100m， 在Rt△AEH中，EH=m EF=2EH=120m， 秒． 所以拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间为24秒． 【点睛】本题主要考查了学生解直角三角形的能力和作辅助线的能力，要求学生能够熟练掌握并运用等腰三角形的性质． 19. 如图，在中，于点，，分别交于点、， （1）如图1，若，求的长度； （2）如图2，若． ①求证：是的中点； ②求证：． 【答案】（1） （2） ①证明：在上取一点，使，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ， ， ， ，即是的中点； ②证明：如①图所示， ， ， ，， ， 由①可知，， ， 在中，由勾股定理得， ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，在中，由勾股定理计算可得的长，再由等腰直角三角形的判定与性质得，最后数形结合，由线段的差求解即可得到答案； （2）①在上取一点，使，连接，如图所示，构建全等三角形，证明，得，再由等腰三角形判定与性质得到，等量代换得到，即可得证是的中点；②进而由等腰三角形三线合一的性质，结合垂直平分线的性质得，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，最后由勾股定理和等量代换即可得证． 【小问1详解】 解：，， ， 在中，， 则由勾股定理可得， 在中，，则是等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 证明：①略 ②略 【点睛】本题考查几何综合，涉及等腰三角形性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，第二问有难度，熟记相关几何性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． B卷（共50） 一、填空题（每题4，共20） 20. 如果，求的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、开平方等知识，熟记平方差公式、开平方运算是解决问题的关键．先将恒等变形得到，进而得到，开平方即可得到答案． 【详解】解：， ， 即， 则， 故答案为：． 21. 高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为取整函数，也称高斯函数，即表示不超过的最大整数，例如，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，先估算出的范围，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴即， ∴ 故答案为：． 22. 如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形…按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的规律问题，涉及了正方形的性质，根据图形得出第个正方形的边长为，据此即可求解． 【详解】解：由图可知：第1个正方形的边长为1， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， …… 第个正方形的边长为， ∴第个正方形的边长为，面积为， 故答案为： 23. 青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、全等三角形的性质、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图2， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴，即阴影部分的面积为10． 故答案为：10． 24. 中，，是上一点，是内一点，，连接并延长交于点，则之间的数量关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】可得，延长至点，使得，连接，根据角直角三角形得到，在延长线上取点，连接，使得，交于点，证明，则，得到，然后证明，则，过点作于点，证明，则，而，最后在中，由勾股定理得，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 延长至点，使得，连接， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， 在延长线上取点，连接，使得，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点作于点， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，难度大，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 二、解答题（共30） 25. 已知一个数的两个平方根分别为和． （1）求的值； （2）如图在数轴上，若点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧，且满足，求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）知，，根据，由数轴上两点之间距离求法，列方程求解，进而得到，再根据平方根的定义进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一个数的两个平方根分别为和， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴ ， ∴的平方根． 【点睛】本题考查实数与数轴、平方根的定义、数轴上两点之间距离求法、二次根式的加减运算等知识，理解题意，数形结合列出方程是解决问题的关键． 26. 已知中，，过点C作直线，D是边上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线l于点E，T为线段延长线上一点． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴平分； （2） 证明：如图，以D为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接， 则， ∴， ∴， ∵将射线绕点D顺时针旋转交直线l于点E， ∴， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）由旋转的性质可得，由“”可证，可得； （3）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可列方程组，可求的长，由三角形的面积公式可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点D作于N， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积． 27. 在中，，为中点，，射线、分别交直线、于、． （1）如图1，在射线上，连接，试判断、、之间的数量关系并证明； （2）如图2，在射线上，将绕点逆时针旋转． ①如图3，当射线交线段于点时，求证：； ②当时，若，，当时，求的长度． 【答案】（1） ， 理由如下：是中点，， ， 中， ； （2） ①证明：如图，延长至点，使，连接，，， ， 中，， ， ，， ， ，， ， ，即， 中，， ， ； ②或 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求解； （2）①由勾股定理可求，由可证，可得，，由勾股定理可得，即可求解； ②分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① 略 ②解：当点在线段上时， ，，， ，， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图，延长至点，使，连接，，， 中，， 又， ， ，，， ，， ， ， ， ， 中，， ， ． ， ． 综上所述：的长度为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦江师一2024级八上入学考数学 一、选择题（28分） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数：，，，，，0，，，…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），其中无理数有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图，分别表示相应线段的长度，其中是无理数的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 直角三角形中，斜边长为，周长为，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点表示，点是原点．以点为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，在线段的三等分点（E=3）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ ） A. 10 B. C. 5+ D. 6+ 二、填空题（每小题4分，共24分） 8. 的算术平方根是__________；的平方根是__________． 9. 一个正数的平方根是和，则这个数是__________． 10. 下列说法：①有理数与数轴上的点一一对应；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③1的平方根是它本身；④对于任意一个实数，都可以用表示它的倒数；⑤有理数是有限小数；⑥任何无理数都是无限不循环小数．其中正确的结论是__________． 11. 把三边分别为BC＝3，AC＝4，AB＝5的三角形沿最长边AB翻折成△ABC'，则CC'的长为_________ 12. 若一个直角三角形的三边分别为，4，5，则__________． 13. 如图，将边长为4的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则__________． 三、解答题（48分） 14. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 15. （1）已知为实数，若满足，求的值． （2）若实数、满足等式，求的算术平方根． 16. 实数在数轴上的对应点如图所示，化简． 17. 如图，把一块直角三角形（，）土地划出一个三角形（）后，测得米，米，米，米． （1）求证：； （2）求图中阴影部分土地的面积． 18. 有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响，已知有一拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒． （1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由． （2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？ 19. 如图，在中，于点，，分别交于点、， （1）如图1，若，求的长度； （2）如图2，若． ①求证：是的中点； ②求证：． B卷（共50） 一、填空题（每题4，共20） 20. 如果，求的值为__________． 21. 高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为取整函数，也称高斯函数，即表示不超过的最大整数，例如，则______． 22. 如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形…按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为________． 23. 青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 24. 中，，是上一点，是内一点，，连接并延长交于点，则之间的数量关系为__________． 二、解答题（共30） 25. 已知一个数的两个平方根分别为和． （1）求的值； （2）如图在数轴上，若点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧，且满足，求的平方根． 26. 已知中，，过点C作直线，D是边上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线l于点E，T为线段延长线上一点． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，，求的面积． 27. 在中，，为中点，，射线、分别交直线、于、． （1）如图1，在射线上，连接，试判断、、之间的数量关系并证明； （2）如图2，在射线上，将绕点逆时针旋转． ①如图3，当射线交线段于点时，求证：； ②当时，若，，当时，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $