精品解析：陕西省渭南市瑞泉中学2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试题

2025-2026学年度第一学期开学摸底考试 高三数学试题 命题人：马琳 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求集合，注意，再求. 【详解】，又因为，所以，得． 故选：D． 2. 在等比数列中，“，且公比”，是“为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的单调性结合充分不必要条件的判定即可. 【详解】当,且时,有, 所以,即为递增数列； 当为递增数列时,即对一切,有恒成立, 所以, 但且时,上式也成立,显然无法得出,且. 则“,且公比”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 下列函数，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性与奇偶性逐项分析判断. 【详解】对于A：，即， 则的定义域为，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，A不符合题意； 对于B：的定义域为， 由，可知为偶函数，B不符合题意； 对于C：的定义域为， 由，可知为奇函数， 在上单调递增，但在定义域内不是单调函数, C不符合题意； 对于D：的定义域为， 由，可知为奇函数, 在定义域内单调递增，D符合题意. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正余弦公式求出，再利用二倍角的正切公式计算即得. 【详解】由，得，而，即， 则，所以. 故选：C 5. 若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定为真命题，转化为成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解. 【详解】由题意，命题的否定“，，使得”为真命题， 即， 设，则， 所以为增函数， 所以由可知， 故选：B 6. 已知数列满足，，则（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再由递推关系证明当时，由此可求. 【详解】∵数列满足, ∴，解得. 当时,，即， 所以， 所以，故， 故选：B. 7. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式，且为正实数可得，代入即可得解. 【详解】由为正实数，所以： ， 当且仅当，即时取等号， 故选：B 8. 若函数的所有零点之和为0，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据分段函数的形式确定出时的零点为，再根据时函数解析式的特点和导数的符号确定出图象的“局部对称性”以及单调性，结合所有零点的和为0可得，从而得到参数的取值范围. 【详解】当时，易得的零点为， 当时，， ∵当时，，∴的图象在上关于直线对称. 又， 当时，，故单调递增， 当时，，故单调递减，且，. 因为的所有零点之和为0，故在内有2个不同的零点， 且，解得. 故实数a的取值范围为． 故选：A． 【点睛】关键点睛：本题考查分段函数的零点，已知函数零点的个数求参数的取值范围时，关键根据解析式的特点和导数寻找函数图象的对称性和函数的单调性，最后根据零点的个数得到特殊点处函数的符号. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各结论正确的是（    ） A. “”是“”的充要条件 B. 的最小值为2 C. 命题“”的否定是“” D. “一元二次函数的图象过点”是“”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据符号规律可判断A；根据基本不等式成立条件以及利用单调性求最值可判断B；根据全称命题否定形式可判断C；结合二次函数图象与性质可判断D. 【详解】解：⇔，故A正确; ，令，则， 且在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大，最小值为，故B错误； 命题“”的否定是“”，故C错误； 一元二次函数的图象过点显然有，反之亦可，故D正确. 故选：AD 10. 记为等比数列的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 成等比数列 D. 成等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等比数列的定义即可判断求解. 【详解】设等比数列公比为，则有， 所以，所以是以为公比的等比数列，A正确； ，所以是以为公比的等比数列，B正确； 若公比，则，所以不能构成等比数列，C错误； 若公比，且为偶数，则都等于0， 此时不能构成等比数列，D错误. 故选:AB. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. f（x）无最大值 B. f（x）有唯一零点 C. f（x）在（0，＋∞）单调递增 D. f（0）为f（x）的一个极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二次导数以及，研究的单调性可判断ACD；直接观察函数零点可判断B. 【详解】，记 因为，且，在区间上显然递增， 所以记为的零点，则有 所以当时，，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 所以当时，有极小值，D正确； 由上可知，在上单调递增，且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确； 易知，故B错误 故选：ACD 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是一次函数且，则的解析式______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意设，利用待定系数法求解. 【详解】是一次函数，下设， 由，则， 化简可得：， 由对应系数相等可知，，解得， 则. 故答案为： 13. 已知数列的前n项和满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，结合与的关系求解作答. 【详解】数列的前n项和满足，即， 当时，，即有， 当时，，即，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故答案为： 14. 已知关于x的方程在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式,将方程整理化简,利用三角函数的图象和性质,确定条件关系,进行求解即可. 【详解】 ， ， 即， ，即， ，， 设，则在上有两个不同的实数根， ，的图像有两个不同的交点，如图 由图象可知， ，即 故答案为： 【点睛】本题主要考查了函数零点的判断，利用三角函数的倍角公式，将三角函数化简，利用三角函数图象和性质解决问题，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出等差数列的公差，即可求得答案； （2）求出等比数列的首项，可求得其通项公式，结合数列的单调性求解，即得答案. 【小问1详解】 由题意设等差数列的公差为d，由，， 得，解得， 故； 【小问2详解】 由于等比数列的公比为，且满足， 而，则，故， 则， 又，则， 当时，显然成立， 由于随着n的增大而增大，随着n的增大而增大， 当时，，故时，无解， 故满足的所有正整数的值为. 16. 已知函数． （1）若，求实数的值； （2）讨论函数的极值． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求得，结合，列出方程，即可求解； （2）求得，分和，求得函数的单调区间，进而求得函数的极值. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 所以，解得. 【小问2详解】 解：由函数的定义域为R，且， 当时，恒成立，所以在R上单调递增，无极值； 当时，令，解得， 令的解集为；令的解集为， 所以在上单调递减，在上单调递增 所以 ，无极大值. 综上所述，当时，无极值； 当时， 无极大值. 17. 已知数列的前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造等比数列，求出，再根据，求出后，验证可得解； （2），根据等比数列和等差数列的求和公式，分组求和可得结果. 【小问1详解】 因为，所以，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 当时，，所以， 当时，也适合， 故. 【小问2详解】 ， 所以数列的前n项和为 . 18. 把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数. （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）画出函数在区间上的大致图象. 【答案】（1），单调增区间是. （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数图象的平移变换法则以及正弦函数的对称性确定的解析式，从而可得的解析式，利用降幂公式与辅助角公式化简，然后利用正弦函数的周期公式结合正弦函数的单调性即可得结果；（2）利用“五点法”：列表、描点、连线，从而可得结果. 【详解】（1）由题意知， 根据函数的图象关于直线对称， 得， 即， 又，所以，则， 则 ， 则函数的最小正周期， 令，得， 故函数的单调增区间是. （2）列表如下： 0 0 1 2 1 1 3 2 故在区间上的大致图象是： 【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解 19. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 【答案】（1） 当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． （2）（i）； （ii）不妨设，则，且． 证法一： 当时，，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 证法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增， 又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）(i)参变分离可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可求出的取值范围；(ii) 不妨设，则，分、两种情况讨论，当时，，利用导数说明函数的单调性，即可证明，再由基本不等式即可得证. 【小问1详解】 由题意得，，则， 由，解得． 显然， 若，则当时，单调递增，当时，单调递减； 若，则当时，单调递减，当时，单调递增． 综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． 【小问2详解】 （i）由，得， 设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是． （ii）略 【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期开学摸底考试 高三数学试题 命题人：马琳 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，“，且公比”，是“为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，则（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 7. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 8. 若函数的所有零点之和为0，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各结论正确的是（    ） A. “”是“”的充要条件 B. 的最小值为2 C. 命题“”的否定是“” D. “一元二次函数的图象过点”是“”的充要条件 10. 记为等比数列的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 成等比数列 D. 成等比数列 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. f（x）无最大值 B. f（x）有唯一零点 C. f（x）在（0，＋∞）单调递增 D. f（0）为f（x）的一个极小值 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是一次函数且，则的解析式______. 13. 已知数列的前n项和满足，则_________． 14. 已知关于x的方程在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 16. 已知函数． （1）若，求实数的值； （2）讨论函数的极值． 17. 已知数列的前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 18. 把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数. （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）画出函数在区间上的大致图象. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $