专题突破九 全等三角形的判定之动点问题【压轴题】（15道）2025-2026学年八年级上册数学同步讲练【浙教版2024】

【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教(2024)版 专题突破九 全等三角形的判定之动点问题(15道) 1.(24-25八下 山东济南莱芜区 )如图,在中,D为的中点,,.动点P从点B出发,沿方向以每秒的速度向点C运动;同时动点Q从点C出发,沿方向以每秒的速度向点A运动,运动时间是. (1)在运动过程中,当点C位于线段的垂直平分线上时,求出t的值; (2)在运动过程中,当时,求出t的值; (3)是否存在某一时刻t,使?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在,见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定,一元一次方程的应用,等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,熟知相关知识是解题的关键. (1)根据线段垂直平分线的性质得到,据此列出方程求解即可; (2)根据时,,建立方程求解即可; (3)根据时,,,建立方程求解即可说明. 【详解】(1)解:由题意得,则, 当点C位于线段的垂直平分线上时,, ∴,解得, 则当时,点C位于线段的垂直平分线上; (2)解:∵D为的中点,, ∴, ∵, ∴, ∴,解得, ∴当时,; (3)解:不存在,理由如下: ∵, ∴,, 则,, 解得,,, ∵, ∴不存在某一时刻t,使. 2.(24-25八上 吉林长春高新区慧仁学校 期末)如图,在中,,,,,,,动点E以的速度从A点向F点运动,动点G以的速度从C点向A点运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,设运动时间为t. (1)求; (2)求证:在运动过程中,无论t取何值,都有; (3)当t取何值时,与全等; (4)若,求. 【答案】(1) (2)见解析 (3)当或时,与全等 (4) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的性质、一元一次方程的应用、三角形面积公式,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. (1)由于是角平分线,则,; (2)由于,所以与之比就等于与之比,而与之比为2; (3)根据全等三角形的性质得到,得到,.,再分两种情况,利用全等三角形的性质求解即可; (4)过点A作交于N,如图,由(1)得,根据三角形的面积公式即可得到结论. 【详解】(1)解:∵,,, ∴, ∵,, ∴; (2)证明:∵,, ∴, ∵动点E以的速度从A点向F点运动,动点G以的速度从C点向A点运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动, ∴,. ∴, ∴, ∴在运动过程中,不管t取何值,都有; (3)解:∵,,, ∴, ∴, ∵点E以的速度从A点向F点运动,动点G以的速度从C点向A点运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,运动时间为t, ∴,. ∴, ∴, ①当M在线段上时,, 当时与全等时, ∴, 解得; ②当M在线段延长线上时,, 当时与全等时, ∴, 解得:, ∴当或时,与全等. (4)解:过点A作交于N,如图, 由(1)得, 又∵,, ∴; ∴. 3.(24-25七下 吉林长春第四十八中学 期中)如图①,在中,,,,,现有一动点从点出发,沿着三角形的边运动,回到点停止,速度为,设运动时间为. (1)如图①,当时,_cm,当时,_cm. (2)如图①,求当为何值时,的面积等于面积的一半; (3)如图②,在中,,,,,.在的边上,若另外有一个动点,与点同时从点出发.沿着边运动,回到点停止,在两点运动过程中的某一时刻,恰好,直接写出点的运动速度. 【答案】(1); (2)或 (3)运动的速度为或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用,分类讨论思想,掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键. (1)当时,点P在线段上;当时,,点在线段上,分别求解即可; (2)分两种情况讨论:①点P在上;②点P在上,利用三角形面积分别求解即可; (3)根据题意分两种情况进行分析,利用全等三角形的判定与性质得出点所走的路程,进而可求出的运动时间,即的运动时间,再利用速度路程时间求解即可. 【详解】(1)解:当时,点在线段上, ∵点速度为, ∴. 当时,, 点在线段上, ∴. 故答案为:;; (2)解:∵,, ∴, ∵的面积等于面积的一半, ∴. ①当点在上时, , ∴, . ②当点在上时, 过点作于点D, ∵,, ∴, ∴, ∵, ∴, . 故答案为:或; (3)解:①当点在上,点在上,时, , ∴; ②当点P在上,点Q在上,时, , ∴点P的路程为,点Q的路程为, ∴. ∴运动的速度为或. 4.(24-25七下 山东青岛崂山区 期末)在长方形中,.动点P从点B出发,沿方向匀速运动,速度为,连接.设运动时间为,解答下列问题: (1)点C在垂直平分线上时,求t的值; (2)当与全等时,求t的值; (3)当时,求t的值. 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质,全等三角形的性质,一元一次方程的应用. (1)分C在垂直平分线上和P在线段延长线上两种情况求解即可; (2)分和两种情况求解即可; (3)分C在垂直平分线上和P在线段延长线上两种情况求解即可. 【详解】(1)C在垂直平分线上,则 P在线段BC上: 即 P在线段延长线上: 即 (2)①,即 ∴,但是此时: ②,即, ∴ (3)∵ ∴ P在线段上: ∴ P在线段延长线上: ∴ 5.如图,在中,,高、相交于点,,且. (1)请说明的理由; (2)动点从点出发,沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动,动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动,、两点同时出发,当点到达点时,、两点同时停止运动设点的运动时间为秒,当的面积为时,求的值; (3)在(2)的条件下,点是直线上的一点,且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时,求的值. 【答案】(1)见解析 (2)当的面积为时,的值为或 (3)或时,与全等 【分析】(1)根据原理证明即可; (2)由题意,,当点在线段上时,, 当点在延长线上时,,根据三角形的面积列式解答即可. (3)分类解答即可. 本题考查了三角形全等的判定和性质,三角形面积计算,分类证明全等,熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键. 【详解】(1)证明:是高, , 是高, , ,, , 在和中, , . (2)解:由知, , , , 由题意,, 当点在线段上时,, , 解得:; 当点在延长线上时,, , 解得:; 综上,当的面积为时,的值为或. (3)解:存在.理由如下: 如图中,当时, ,, . , , 解得, 如图中,当时, ,, . , , 解得, 综上所述,或时,与全等. 6.(24-25七下 山东济南中区 期中)如图,在中,为高线,.点E为上一点,,连接,交于点O,若. (1)猜想线段与的位置关系,并说明理由. (2)若动点Q从点A出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动,运动的时间为t秒. ①当点Q在线段上时,是否存在t的值,使得的面积为18?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由; ②动点P从点O出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,P,Q两点同时出发,当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动.设运动时间为t秒,点F是直线上一点,且,当与全等时,请直接写出t的值. 【答案】(1),理由见解析 (2)①存在的值,使得的面积为;②的值为或 4 【分析】(1)由全等三角形的性质可得,根据三角形内角和结合等式的性质可得,即可求解; (2)①由全等三角形的性质可得,由三角形的面积公式可求解; ②分两种情况讨论,由全等三角形的判定列出等式,即可求解. 【详解】(1)解:,理由如下: 由题意,∵为高, , 又 ∵, , , , . (2)解:①存在的值,使得的面积为 18 ,理由如下: 由题意,∵, , , , 由(1)可知,, , ∵在线段上, , 解得:; ②∵, , 、当点在线段延长线上时,如图3, , , , ∴当时,, 此时,, 解得:; b、当点在线段上时,如图4, , , , ∴当时,, 此时,, 解得:; 综上所述,当与全等时,的值为或 4 . 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理,一元一次方程,直角三角形的性质,利用分类讨论思想解决问题是解题的关键. 7.(24-25八上 江苏扬州邗江区维扬中学 月考)(1)在边长为12的等边三角形中,点Q是上一点,点P是上一动点,以1个单位每秒的速度从点A向点B移动,设运动时间为t秒. ①如图1,若,当_秒时,; ②如图2,若点P从点A向点B运动,同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动,当t为何值时,为等边三角形; (2)如图3,等腰三角形,,,点P是上一动点,以1个单位每秒的速度从点A向点B移动,设运动时间为t秒. ①取中点D,连接,则长为8,当_秒时,为等腰三角形; ②若点P运动到中点处静止,点M,N分别为,上动点,点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动,同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动,当,全等时,求a的值. 【答案】(1)①4②8(2)①5或8②2或 【分析】(1)①由平行线的性质,,从而得出是等边三角形,列方程求解即可;②根据点所在的位置不同,分类讨论是否为等边三角形,再根据等边三角形的性质得出等量关系,列方程求解即可; (2)①分三种情况讨论,即可求解,②分两种情况进行讨论,列出关系式,即可求解, 本题考查了等边三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,平行线的性质,全等三角形的判定和性质,构造等边三角形是解本题的关键. 【详解】解:(1)①是等边三角形,, , 又, , 是等边三角形, , 由题意可知:, 解得:, ∴当的值为4时,; ②当点在边上时, 此时不可能为等边三角形; 当点Q在边上时, 若为等边三角形,则, 由题意可知,, ∴, 即:,解得:, ∴当时,为等边三角形; (2)①当时, , 为等腰三角形, 当时,, ∴, ∴, ∴,,为等腰三角形, 当时, 上不存在点P使为等腰三角形, ∴当或8时,为等腰三角形, ② 由题意可知:,, ∴, 若, 则 ∴,, 解得:, 若, 则, ,, 解得:, 综上所述:当全等时,a的值为2或. 8.(24-25八上 吉林吉林第九中学 月考)如图,的两条高与交于点,,. (1)若,则_; (2)求的长; (3)是射线上一点,且,动点从点出发,沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动,同时动点从点出发,沿射线以每秒4个单位长度的速度运动,当点到达点时,、两点同时停止运动,设运动时间为(秒),当与全等时,直接写出的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等及解一元一次方程,熟练掌握全等三角形的判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键. (1)根据的两条高与交于点,利用同角的余角相等得出即可得答案; (2)利用可证明,利用全等三角形的性质即可得答案; (3)分点在延长线上和点在线段上两种情况,利用全等三角形的性质,分别用表示出、,解方程求出值,即可得答案. 【详解】(1)解:∵的两条高与交于点, ∴, ∴. 故答案为: (2)在和中,, ∴, ∴. (3)与全等时 ①如图,当点在延长线上时,, ∴,, ∵点的速度为每秒1个单位长度,点的速度为每秒4个单位长度, ∴,,, ∴, 解得:. ②如图,当点在线段上时,, ∴,, ∵点的速度为每秒1个单位长度,点的速度为每秒4个单位长度, ∴,,, ∴, 解得:. 综上所述:或时,与全等. 9.(24-25八上 江苏无锡辅成实验学校 月考)在中,,,,点在边上,且,过点作射线(与在同侧),若动点从点出发,沿射线匀速运动,运动速度为,设点的运动时间为.连接、. (1)如图①,求证:当时,; (2)如图②,当,垂足为时,求此时的值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键. (1)根据垂直定义和同角的余角相等得到,进而利用全等三角形的判定“”可得结论; (2)先证明,进而证明,利用全等三角形的性质得到,进而可求解. 【详解】(1)证明:∵,,, ∴, ∴, ∴, ∵,, ∴, 在和中, , ∴; (2)解:∵, ∴, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∴. 10.如图,在长方形中,厘米,厘米.动点P从点A出发,以2厘米/秒的速度沿运动;同时点Q从点C出发,以4厘米/秒的速度沿运动,当一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P运动的时间为秒 . (1)用含t的代数式表示线段的长; (2)求t为何值时,与的面积相等; (3)求t为何值时,与全等; (4)是否存在t值,使,且?若存在,直接写出t的值,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)当时,;当时, (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了动点问题,涉及了全等三角形的判定与性质,掌握分类讨论的数学思想是解题关键. (1)分类讨论当和两种情况即可; (2)由题意得,可得,类讨论当和两种情况即可; (3)由题意得是直角三角形,故点在上运动时,有,由此得,即可求解; (4)分析可知:当点在上运动时,存在,且的情况,可推出得,即可求解. 【详解】(1)解:由题意得:厘米, 当时,; 当时,; (2)解:由题意得:, ∴, 当时,, 此时,解得:; 当时,, 此时,解得:; 综上所述:当或时,与的面积相等; (3)解:由题意得:是直角三角形, ∴当,即点在上运动时,有与全等 此时, ∴ ∵,; ∴, 解得:; (4)解:分析可知:当点在上运动时,存在,且的情况, ∵, ∴, ∴ ∵, ∴, ∵, ∴, ∴ ∴, 解得:. 11.(24-25八上 江西新余 期末)如图①,在中,,cm,cm,cm,现有一动点,从点出发,沿着三角形的边运动,回到点停止,速度为,设运动时间为秒. (1)如图①,若点在边上,_cm,若点在边上,_cm(用表示); (2)如图①,当_秒时,的面积等于面积的一半; (3)如图②,在中,,cm,cm,.在的边上,若另外有一个动点,与点同时从点出发,沿着边运动,回到点停止.在两点运动过程中的某一时刻,恰好全等于,求点的运动速度. 【答案】(1); (2)或 (3)运动的速度为或或或 【分析】(1)利用速度乘时间即可求解; (2)根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答; (3)设点Q的运动速度为,然后再分类讨论,分别根据全等三角形的性质列方程解答即可. 【详解】(1)解:∵,cm,cm,cm,动点速度为,设运动时间为秒. 点在边上,,点在边上,, 故答案为:;; (2)解:①如图1.1,当P在上,的面积等于面积的一半, ∴ , , ②当P在上时,如图,的面积等于面积的一半, ∴, , ; t的值为或; (3)在中,,cm,cm,.设点Q的运动速度为, 当点P在上,点Q在上,①时,, , 解得; ②时, , , 解得; 当点P在上,点Q在上,①时,, ∴, 解得, , ②时, , ∴, 解得, , 综上所述, 运动的速度为或或或. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形的中线的性质,一元一次方程的应用等知识点,清晰的分类讨论思想是解答本题的关键. 12.(24-25八上 湖南长沙宁乡六校联考 期中)(1)提出问题:如图1,在直角中,,点正好落在直线上,则、的关系为_; (2)探究问题:如图2,在直角中,,,点正好落在直线上,分别作于点,于点,试探究线段、、之间的数量关系,并说明理由; (3)解决问题:如图3,直线PQ经过的直角顶点,的边上有两个动点、,点以的速度从点出发,沿移动到点,点以的速度从点出发,沿移动到点,两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点.过点、分别作,,垂足分别为点、,若、,设运动时间为,当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时.求此时的值.(直接写出结果) 【答案】(1);(2),理由见解析;(3)或或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理. (1)利用平角的定义即可求解; (2)先证明出,得出,,即可得出结果; (3)由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等.可知,而,的表示由E,D的位置决定,故需要对E,D的位置分类讨论,分别画出图形,结合图形列方程求解即可. 【详解】解:(1)∵,, ∴, 故答案为:; (2),理由如下: ∵直线l,直线l, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中, , ∴, ∴,, ∴, 故答案为:; (3)当点移动到点时,,移动到点时,; 当点移动到点时,,移动到点时,; 分以下三种情况: ①当E在上,D在上时,即,如图,此时,, ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等, ∴, ∴, ∴, ∴; ②当E在上,D在上时,即,如图,此时,, ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等, ∴, ∴, ∴, ∴; ③当E在上,D在上时,即,如图,此时,, ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等, ∴, ∴, ∴, ∴, 不在范围内,不符合题意; ④当E到达A后,D在上时,即,如图,此时,, ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等, ∴, ∴, ∴, ∴. 综上所述,当或或时,以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等. 13.(24-25八上 吉林长春榆树慧望初级中学 期中)如图①,在中,.动点从点出发,以每秒2个单位的速度沿边运动,返回到点停止.同时,点从点出发,以每秒个单位的速度沿边运动,回到点停止.设点的运动时间为秒. (1)当点到边的中点时,若点到边中点,则的值为_. (2)当的面积等于面积的一半时,求的值. (3)如图②,在中,.在两点运动过程中的某一时刻,以为顶点的三角形与全等,直接写出的值. 【答案】(1) (2)5或 (3)或或或 【分析】(1)先根据题意求得到,求出,由点运动到边中点,得到点Q运动的路程为,由此列出方程求解即可. (2)分点P在上和点P在上两种情况讨论,根据三角形面积公式即可解答; (3)取中点,过点H作交于点,连接,证明,得到,由可得以为顶点的三角形与全等时,或,两种情况讨论即可. 【详解】(1)解:根据题意得:, , 解得:, 点运动到边中点, 点Q运动的路程为, , , ; (2)解:当点P在上时, , , , ; 当点P在上时, 设中边上的高为h, , , , , , ; 综上,当的面积等于面积的一半时,的值为5或; (3)解:如图,取中点,过点H作交于点,连接, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴以为顶点的三角形与全等时,或, 当,时, ①点P在上且点Q在上, 此时, ∴, ∴,即; ②点P在上且点Q在上, 此时, ∴, ∴,即; 当,时, ③点P在上且点Q在上, 此时, ∴, ∴,即 ④点P在上且点Q在上, 此时, ∴, ∴,即; 综上,以为顶点的三角形与全等时,的值为或或或. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,三角形的面积,三角形全等的判定和性质,分类思想,熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键. 14.(24-25八上 江苏苏州吴中、吴江、相城、高新区 调研)如图,直线经过的直角顶点的边上有两个动点、,点以的速度从点出发,沿移动到点,点以的速度从点出发,沿移动到点,两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点.过点、分别作,垂足分别为点、,若,设运动时间为, (1)分别求出在此运动过程中,点与点的运动时长. (2)当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时,求满足条件的t的值. 【答案】(1) (2)或或 【分析】根据,可以求出,根据点、运动的速度求出它们运动的时间; 点运动到点需要,点运动到点需要,因为,所以,因为,所以,所以,要证以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等只要再证明即可. 【详解】(1)解:、, , 点D的运动时长为, 点E的运动时长为:; (2)解:, , , , , 在和中, ,, 要证以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等只要再证明, 如下图所示 当在上,在上时,即, ,, 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等. , , ; 如下图所示, 当在上,也在上时,即, , , ; 当到达,在上时,即, ,, , . 综上所述,当或或时,以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等. 【点睛】本题考查了三角形上的动点问题和全等三角形的判定.解决本题的关键是根据点、运动的速度和路程,分情况讨论点、在不同的位置上时形成的两个直角三角形的关系. 15.(24-25八上 甘肃武威凉州区武威第八中学 期中)如图,在四边形中,,,,,动点 P 从点 A 出发以每秒1个单位的速度沿向点 D运动,动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿向点B运动, 同时出发,当点P停止运动时,点Q也随之停止,连接.设点P运动时间为t秒,问当t为何值时, ,并证明. 【答案】当 时,,理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定,熟练地掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.根据题意可知,,时,列方程可求出的值,再根据全等三角形的判定定理判定即可. 【详解】解:如图,由题意得,, , , 当时,即,, 当时,,理由如下: , , 在和中, , . 2 / 31 1 / 31 学科网(北京)股份有限公司 $ 【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版 专题突破九 全等三角形的判定之动点问题（15道） 1．(24-25八下·山东济南莱芜区·期末)如图，在中，D为的中点，，．动点P从点B出发，沿方向以每秒的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是． (1)在运动过程中，当点C位于线段的垂直平分线上时，求出t的值； (2)在运动过程中，当时，求出t的值； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．(24-25八上·吉林长春高新区慧仁学校·期末)如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等； (4)若，求． 3．(24-25七下·吉林长春第四十八中学·期中)如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm，当时，________cm． (2)如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度． 4．(24-25七下·山东青岛崂山区·期末)在长方形中，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)点C在垂直平分线上时，求t的值； (2)当与全等时，求t的值； (3)当时，求t的值． 5．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 6．(24-25七下·山东济南中区·期中)如图，在中，为高线，．点E为上一点，，连接，交于点O，若． (1)猜想线段与的位置关系，并说明理由． (2)若动点Q从点A出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，运动的时间为t秒． ①当点Q在线段上时，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； ②动点P从点O出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，点F是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出t的值． 7．(24-25八上·江苏扬州邗江区维扬中学·月考)（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．    ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．    8．(24-25八上·吉林吉林第九中学·月考)如图，的两条高与交于点，，． (1)若，则______； (2)求的长； (3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值． 9．(24-25八上·江苏无锡辅成实验学校·月考)在中，，，，点在边上，且，过点作射线（与在同侧），若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为．连接、． (1)如图①，求证：当时，； (2)如图②，当，垂足为时，求此时的值． 10．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒 ． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求t为何值时，与的面积相等； (3)求t为何值时，与全等； (4)是否存在t值，使，且？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 11．(24-25八上·江西新余·期末)如图①，在中，，cm，cm，cm，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在边上，______cm，若点在边上，______cm（用表示）； (2)如图①，当_______秒时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，cm，cm，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度． 12．(24-25八上·湖南长沙宁乡六校联考·期中)（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 13．(24-25八上·吉林长春榆树慧望初级中学·期中)如图①，在中，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿边运动，返回到点停止．同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿边运动，回到点停止．设点的运动时间为秒． (1)当点到边的中点时，若点到边中点，则的值为______． (2)当的面积等于面积的一半时，求的值． (3)如图②，在中，．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形与全等，直接写出的值． 14．(24-25八上·江苏苏州吴中、吴江、相城、高新区·调研)如图，直线经过的直角顶点的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，垂足分别为点、，若，设运动时间为， (1)分别求出在此运动过程中，点与点的运动时长． (2)当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值． 15．(24-25八上·甘肃武威凉州区武威第八中学·期中)如图，在四边形中，，，，，动点 P 从点 A 出发以每秒1个单位的速度沿向点 D运动，动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿向点B运动， 同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接．设点P运动时间为t秒，问当t为何值时， ，并证明． 2 / 31 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $