精品解析：2025年云南省临沧市初中学业水平模拟检测（二）数学试卷

机密★考试结束前 2025年临沧地区学校云南省初中学业水平模拟检测（二） 数 学 （全卷三个大题，共27小题，共4页；满分100分，考试用时120分钟） 命题范围：人教版初中数学七上～九下，即中考数学范围 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保留． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】正数大于一切负数；0大于负数，小于正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：，，， ， 最小的数是． 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解题关键． 2. 岁的侯云德院士获得年国家最高科学技术奖，这位著名的医学病毒学专家曾发现最小的病毒的半径仅有毫米，将用科学记数法表示应是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数字转化为的形式，其中，为负整数，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意， 故选：A 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，列出不等式求出的范围，进行判断即可． 详解】解：由题意，得：， ∴， ∴或， ∴可能的值是； 故选B． 4. 如图，直线，作直线和射线，若平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线定义．由平分，得到，由平行线的性质得到，利用对顶角相等得到结论． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是根据三视图，判断几何体的形状，根据三视图的形状和所标的长度即可判断，掌握常见几何体的三视图特征是解决此题的关键． 【详解】解：由三视图可知：该几何体如图所示： 故选：A． 6. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 利用反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限， 故选：B． 7. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 【详解】解：多边形外角和是，根据题意得： 解得． 故选C． 8. 如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交于点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图：作线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，由题意可得点是中点，求得即可解答，熟知是的垂直平分线是解题的关键． 【详解】解：由题意可得是的垂直平分线， 点是中点， 根据勾股定理可得， ， 故选：B． 9. 2019年教育部等九部门印发中小学生减负三十条：严控书面作业总量，初中家庭作业不超过90分钟．某初中学校为了尽快落实减负三十条，了解学生做书面家庭作业的时间，随机调查了40名同学每天做书面家庭作业的时间，情况如下表．下列关于40名同学每天做书面家庭作业的时间说法中，错误的是（ ） 书面家庭作业时间（分钟） 70 80 90 100 110 学生人数（人） 4 7 20 7 2 A. 众数是90分钟 B. 估计全校每天做书面家庭作业的平均时间是89分钟 C. 中位数是90分钟 D. 估计全校每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人 【答案】D 【解析】 【分析】利用众数、中位数及平均数的定义分别确定后即可得到本题的正确的选项． 【详解】解：A、书面家庭作业时间为90分钟的有20人，最多，故众数为90分钟，正确； B、共40人，中位数是第20和第21人的平均数，即＝90，正确； C、平均时间为：×（70×4＋80×7＋90×20＋100×8＋110）＝89，正确； D、随机调查了40名同学中，每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有8＋1＝9人，故估计全校每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人说法错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了众数、中位数及平均数的定义，属于统计基础题，比较简单． 10. 在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 11. 如图，，和分别是和的高，若，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的周长之比，相似三角形对应高的比都等于相似比即可得到答案. 【详解】解：∵，和分别是和的高，，， ∴相似比为， ∴， 故选：D 12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6， ∴AB==10， 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 13. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 根据因式分解的方法逐项求解判断即可． 【详解】解：A．，故选项A不正确； B．，故选项B不正确； C．，故选项C正确； D．无法在有理数范围内分解，故选项D不正确． 故选：C． 14. 我国古代经典数学著作《九章算术》有一“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边的中点，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）若设水深为尺，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程即可． 此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【详解】解：设水池的深度为x尺，由题意得：， 故选：A． 15. 如图，在中，以为直径的交于点，连接．若，，则的长是（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，直径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据直径定理和给出条件得出，根据勾股定理求出，最后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：为的直径， ， 又∵， ， ， 由勾股定理得， ， 解得， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______ ． 【答案】x≥0且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：由题意得：x≥0且x-1≠0， 解得：x≥0且x≠1， 故答案为：x≥0且x≠1． 【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 17. 写出一个小于的整数是______写出符合条件的一个即可． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得出，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 则3是小于的整数， 故答案为：3（答案不唯一） 18. 计算： ______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简，得，即可作答． 【详解】解： ． 故答案为：． 19. 如图1，在某个底面积为盛水容器内，有一个实心圆柱体铁块，现在匀速持续地向容器内注水，容器内水高度y（）和注水时间x（s）之间的关系满足如图中的图象，则水流速度是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据图象，分两个部分：漫过实心圆柱体铁块需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程即可． 【详解】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为，实心圆柱体铁块的高度为， 水漫过实心圆柱体铁块需注满，“几何体”上面的空圆柱形容器需， 设匀速注水的水流速度为，则： ， 解得， 即匀速注水水流速度为 故选：20． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 先计算零次幂、二次根式、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算加减． 【详解】解： ． 21. 如图，，点D在边上， 和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得； （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，进而可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 22. 在年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型已知每个“灵巧”模型的进价比“迅捷”模型多元同样花费元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多个． （1）“灵巧”和“迅捷”模型的进价各是多少元？ （2）该机器人模型店计划购进两种模型共个，且每个“灵巧”模型的售价为元，每个“迅捷”模型的售价为元若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，如何规划购买方案，才能使全部销售这批模型后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每个“灵巧”模型的进价是元，每个“迅捷”模型的进价是元 （2）当购进个“灵巧”模型，个“迅捷”模型时，才能使全部销售这批模型后获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设每个“灵巧”模型的进价是x元，则每个“迅捷”模型的进价是元，利用数量=总价÷单价，结合“同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每个“灵巧”模型的进价），再将其代入中，即可求出每个“迅捷”模型的进价； （2）设购进m个“灵巧”模型，全部销售这批模型后获得的总利润为w元，则购进个“迅捷”模型，利用总利润=每个“灵巧”模型的销售利润×购进“灵巧”模型的数量+每个“迅捷”模型的销售利润×购进“迅捷”模型的数量，可找出w关于m的函数关系式，由购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每个“灵巧”模型的进价是元，则每个“迅捷”模型的进价是元， 根据题意得：， 解得：，， 经检验，，是所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去， （元）． 答：每个“灵巧”模型的进价是元，每个“迅捷”模型的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进个“灵巧”模型，全部销售这批模型后获得的总利润为元，则购进个“迅捷”模型， 根据题意得：， ， 随的增大而增大． ∵购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的， ， ， 当时，取得最大值，最大值为元，此时个． 答：当购进个“灵巧”模型，个“迅捷”模型时，才能使全部销售这批模型后获得最大利润，最大利润是元． 23. “石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． （1）用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； （2）你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 【答案】（1） （2）公平，理由见解析． 【解析】 【分析】此题考查了游戏公平性、列表法与树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表得出共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种，再由概率公式求解即可； （2）求出甲同学获胜的概率和乙同学获胜的概率，再比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种， ∴丙同学获胜的概率； 【小问2详解】 这个游戏对三人公平，理由如下： 由（1）可知，丙同学获胜的概率为，甲同学获胜的结果有3种，乙同学获胜的结果有3种， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率＝丙同学获胜的概率， ∴这个游戏对三人公平． 24. 如图，已知，，，分别是矩形的边，，，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形； （2）利用菱形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 证明：连接， 在中，∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ， 同理． 又 ∵在矩形中，， ， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ， ， ∴菱形的对角线为， ∴菱形的面积为：． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的性质以及菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：（1）定义，（2）四边相等，（3）对角线互相垂直平分． 25. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球距离地面，球门高为．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）通过计算判断小明此次射门能否射入球门内； （3）守门员扑救的最大高度为，如果守门员正对足球，在足球下降阶段能够封堵住这次射门，那么他出击离球门不能超过多少米？ 【答案】（1） （2）球能进球门内 （3）他出击离球门不能超过． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）令，得到即可判断； （3）将代入抛物线解析式，求出对应的x的值，再根据足球在下降阶段确定符合条件的x值即可． 【小问1详解】 解：设抛物线为， 把代入得， 解得： ， ∴抛物线表达式为：． 【小问2详解】 解：当时，， ∴球能进球门内． 【小问3详解】 解：将代入抛物线解析式， 得：， 解得：或6， 因为足球在下降阶段，对称轴为，下降阶段， 所以取， 所以他出击离球门不能超过． 26. 如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． （1）求证：是的切线． （2）当，时，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：过点作于点，证明，则，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线；由角平分线的性质定理得到，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线； （2）证明，则，求出，则，在中，求出，得到，，证明，则，设，则，即可求出答案． 【小问1详解】 方法一： 证明：过点作于点， ， ， 与相切于点， ， ， ，， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 是的切线； 方法二： 证明：过点作于点， 与相切于点， ， ， 是的平分线， ， 为的半径， 为的半径， ， 是的切线； 【小问2详解】 ，为半径， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ． 【点睛】此题考查了切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质是关键． 27. 如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； （3）若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点M、D的坐标，再根据当H，M，H三点共线时，即H与A点重合，的值最大，最大值，由勾股定理，求出的长即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，的值最大， 最大值． 【小问3详解】 解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．涉及二次函数图象性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★考试结束前 2025年临沧地区学校云南省初中学业水平模拟检测（二） 数 学 （全卷三个大题，共27小题，共4页；满分100分，考试用时120分钟） 命题范围：人教版初中数学七上～九下，即中考数学范围 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保留． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 1 D. 0 2. 岁的侯云德院士获得年国家最高科学技术奖，这位著名的医学病毒学专家曾发现最小的病毒的半径仅有毫米，将用科学记数法表示应是（ ） A B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（ ） A. 0 B. C. D. 4. 如图，直线，作直线和射线，若平分，，则度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 7. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交于点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 2.5 D. 3 9. 2019年教育部等九部门印发中小学生减负三十条：严控书面作业总量，初中家庭作业不超过90分钟．某初中学校为了尽快落实减负三十条，了解学生做书面家庭作业的时间，随机调查了40名同学每天做书面家庭作业的时间，情况如下表．下列关于40名同学每天做书面家庭作业的时间说法中，错误的是（ ） 书面家庭作业时间（分钟） 70 80 90 100 110 学生人数（人） 4 7 20 7 2 A. 众数是90分钟 B. 估计全校每天做书面家庭作业的平均时间是89分钟 C. 中位数是90分钟 D. 估计全校每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人 10. 在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，，和分别是和的高，若，，则为（ ） A B. C. D. 12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 13. 下列分解因式正确的是（ ） A B. C. D. 14. 我国古代经典数学著作《九章算术》有一“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边的中点，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）若设水深为尺，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在中，以为直径的交于点，连接．若，，则的长是（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______ ． 17. 写出一个小于的整数是______写出符合条件的一个即可． 18. 计算： ______． 19. 如图1，在某个底面积为盛水容器内，有一个实心圆柱体铁块，现在匀速持续地向容器内注水，容器内水的高度y（）和注水时间x（s）之间的关系满足如图中的图象，则水流速度是______． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： 21. 如图，，点D在边上， 和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 22. 在年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型已知每个“灵巧”模型的进价比“迅捷”模型多元同样花费元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多个． （1）“灵巧”和“迅捷”模型的进价各是多少元？ （2）该机器人模型店计划购进两种模型共个，且每个“灵巧”模型的售价为元，每个“迅捷”模型的售价为元若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，如何规划购买方案，才能使全部销售这批模型后获得最大利润？最大利润是多少？ 23. “石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． （1）用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； （2）你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 24. 如图，已知，，，分别是矩形的边，，，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形菱形． （2）若，，求菱形的面积 25. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球距离地面，球门高为．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）通过计算判断小明此次射门能否射入球门内； （3）守门员扑救的最大高度为，如果守门员正对足球，在足球下降阶段能够封堵住这次射门，那么他出击离球门不能超过多少米？ 26. 如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． （1）求证：是的切线． （2）当，时，求线段的长． 27. 如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； （3）若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $