精品解析： 广东省惠州市惠台学校2025-2026学年上学期数学开学考试卷（9月）

惠州市惠台学校2025年初三上学期开学考试卷 数学 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，，相交于O点，E为的中点，连接．若，则的长度为（ ） A. B. 5 C. 10 D. 20 5. 三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 6. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 下列命题正确的是（ ） A. 顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形 B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 对角线相等的平行四边形是菱形 8. 如图，一次函数与的图象交于点，则下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象不经过第三象限； ③不等式的解集是； ④其中正确的有（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①②④ D. ②③ 9. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，，则纸条的宽度是（ ） A. B. 5 C. D. 10. 如图①，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，．将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．已知直线在起始位置的解析式为．设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图②所示，则矩形的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是______． 13. 已知一组数据，，…，的方差是5，则数据，，…，的方差是________． 14. 如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是1，，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点（点E位于点A右侧），则点E表示的数为______． 15. 若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为___________． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点E在上，点F在上）． 作法：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点F； ②以B为圆心，长为半径作弧，交于点E； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）证明：四边形是菱形． 18. 如图，某景区的划船观景处位于离水面处高为4米的岸上（处），在处有一艘游船，工作人员用绳子在处（于点）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍．（结果保留根号） （1）求处的游船到岸边的距离（即的长）； （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处，求游船向岸边移动的距离． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校八（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名学生的成绩（满分：100分）如下： 八（1）班：92，86，85，85，77； 八（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名学生成绩的有关统计数据如表： 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 b 85 八（2）班 a 85 c 19.2 请解决下面问题： （1）_______，_______，______． （2）求该校八（1）班前5名学生成绩的方差． （3）两个班中，哪个班前5名学生的整体成绩更好？为什么？ 20. 跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，因此某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为65元；甲种跳绳每根获利3元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳30根、乙种跳绳15根，一共花费1200元． （1）甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？ （2）若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共80根，在费用不超过2250元的情况下，如何进货才能保证利润最大？ 21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏进行实验． 【实验观察】实验小组通过观察，每小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间（小时） 箭尺读数（厘米） 【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②所示，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数； ②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在，请求出直线解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由． 【结论应用】应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为厘米） 五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． （1）操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形； （2）迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数经过点B． （1）求线段的长； （2）动点P从点C出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t（秒）． ①当的面积为6时，请求出t的值； ②在线段上存在点D，点E是坐标平面内一点，以点B，E，P，D为顶点的四边形是正方形时，请求出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市惠台学校2025年初三上学期开学考试卷 数学 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 根据二次根式化简的运算法则逐一运算判断即可． 【详解】解：∵，故A错误； ∵，故B正确； ∵，故C错误： ∵，故D错误； 故选：B． 2. 下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由函数定义知，对于自变量x的每一个取值，都有唯一的y值与之对应，体现在函数图象上，作与x轴垂直的直线与函数图象一定有唯一的交点，而选项C的图象与x轴垂直的直线可以有两个不同的交点，故它不是函数的图象，从而y不是x的函数． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用二次根式的运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在平行四边形中，，相交于O点，E为的中点，连接．若，则的长度为（ ） A. B. 5 C. 10 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．首先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 先由完全平方公式展开，再由勾股定理的逆定理求解． 【详解】解：， ， ． 此三角形为直角三角形． 故选：B． 6. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了统计量的选择，本题需根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义进行分析即可求出正确答案，在解题时要能根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义求出正确答案是本题的关键． 【详解】解：∵有15位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前7名进入决赛，并且知道某同学分数， ∴要判断他能否进入决赛，只需知道这些数据的中位数即可， 故选：B． 7. 下列命题正确的是（ ） A. 顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形 B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 对角线相等的平行四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊平行四边形的判定与性质，关键是掌握菱形、矩形、正方形的判定和性质定理．根据菱形、矩形、正方形的性质和判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、如图，取菱形四边的中点E、F、G、H，依次连接E、F、G、H，连接，交于M点，    ∵E、F分别为中点， ∵， 又∵G、H分别为中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 同理有， ∵四边形为菱形， ∴， 则， ∴， ∴平行四边形为矩形， ∴顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形，故本选项符合题意； B、对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，如下图所示：    故本选项不符合题意； C、矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形（正方形）对角线才是互相垂直的，反例情况如下图 故本选项不符合题意；  D、对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，故本选项不符合题意； 故选：A． 8. 如图，一次函数与的图象交于点，则下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象不经过第三象限； ③不等式的解集是； ④其中正确的有（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①②④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象与性质等知识点，灵活利用数形结合思想是解题的关键．①由函数图象即可判定函数的增减性，进而判断正误；②根据函数图象进行判断即可；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大，据此判定即可；④根据两直线交点可判定正误． 【详解】解：由图象可得：对于函数来说，y随x的增大而增大，故①说法错误； 函数的图象经过第一，二，四象限，即不经过第三象限，故②说法正确， 由图象可知：当时，一次函数图象在一次函数的图象上方， ∴不等式的解集是，故③说法正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为1， ∴ ∴．故④说法错误； 综上分析可知：正确的有②③． 故选：D． 9. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，，则纸条的宽度是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积的两种计算方式，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 作，垂足为，作，垂足为，设与相交于点，根据菱形的判定与性质可知、，最后利用菱形面积的两种表示方法即可解答． 【详解】解：作，垂足为，作，垂足为，设与相交于点， ∵两张等宽的纸条，，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， 故纸条的宽是； 故选：C． 10. 如图①，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，．将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．已知直线在起始位置的解析式为．设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图②所示，则矩形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题通过分析直线平移过程中与矩形边的相交情况，结合函数图象获取关键信息，进而求出矩形的边长，最终计算出矩形的面积． 【详解】由图象可知，当时，，此时直线平移后过点， 图②中点时，直线平移后过点；点时，直线平移后过点， 当时，，此时直线平移后过点，如图①， ∴当时，平移后的解析式为， 令，则，即， 当从变化到时，直线从点平移到点， ∴， ∵直线从点平移到点，从变化到时， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系，根据平移规律直接得出结论即可． 【详解】解：直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是， 故答案为：． 13. 已知一组数据，，…，的方差是5，则数据，，…，的方差是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求方差，设原数的平均数为，则数据，，…，的平均数为，分别表示出原数的方差和现在数据的方差，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，设原数的平均数为，则数据，，…，的平均数为， ∴原数的方差为， ∴数据，，…，的方差为， 故答案为：． 14. 如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是1，，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点（点E位于点A右侧），则点E表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟记勾股定理是解题的关键．由勾股定理可推出的长，再根据作图得出的长，即可推出结果． 【详解】解：由勾股定理得，， 由勾股定理得，， 以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点点E位于点A右侧， ， 点E表示的数为， 故答案为： 15. 若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 利用正方形的性质得到，进而得到中点D的坐标为，再分当点P在上时、当点P在上时、当点P在上时三种情况，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，点B的坐标是， ∴， ∴中点D的坐标为， 如图所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴，解得． ∴点P的坐标为． 如图2所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为， 如图3所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据负整数指数幂的运算法则、绝对值的意义、二次根式的乘法法则化简，再算加减即可． 【详解】解： ． 17. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点E在上，点F在上）． 作法：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点F； ②以B为圆心，长为半径作弧，交于点E； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）证明：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是正确作出图形，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 18. 如图，某景区的划船观景处位于离水面处高为4米的岸上（处），在处有一艘游船，工作人员用绳子在处（于点）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍．（结果保留根号） （1）求处的游船到岸边的距离（即的长）； （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处，求游船向岸边移动的距离． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的运算，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【小问1详解】 解：在中，，米，米， （米）， 即处的游船到岸边的距离为米． 【小问2详解】 解：工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处， （米）， 在中，（米）， 米， 即游船向岸边移动的距离为米． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校八（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名学生的成绩（满分：100分）如下： 八（1）班：92，86，85，85，77； 八（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名学生成绩的有关统计数据如表： 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 b 85 八（2）班 a 85 c 19.2 请解决下面问题： （1）_______，_______，______． （2）求该校八（1）班前5名学生成绩的方差． （3）两个班中，哪个班前5名学生的整体成绩更好？为什么？ 【答案】（1）86，85，85 （2）八（1）班的方差为22.8； （3）八（2）班前5名的整体成绩较好 八（2）班的方差为：， 八（1）班的平均数小于八（2）班的平均数，且八（2）班的方差小于八（1）班的方差， 八（2）班前5名的整体成绩较好． 【解析】 【分析】本题考查了求平均数、中位数、众数、方差，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的求法及意义是解此题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可； （2）根据方差公式进行计算即可； （3）根据平均数和方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：八（2）班成绩重新排列为：79，85，85，89，92， ∴， 85出现次数最多， ∴， 八（1）班成绩重新排列为：77，85，85，86，92， ， 故答案为：86，85，85； 【小问2详解】 解：由题意得： 八（1）班的方差为：， 八（1）班的方差为22.8； 【小问3详解】 略 20. 跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，因此某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为65元；甲种跳绳每根获利3元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳30根、乙种跳绳15根，一共花费1200元． （1）甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？ （2）若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共80根，在费用不超过2250元的情况下，如何进货才能保证利润最大？ 【答案】（1）甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和50元 （2）当购进甲种跳绳50根，购进乙种跳绳30根，利润最大 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、二元一次方程组、一元一次不等式等知识． （1）设甲、乙两种跳绳的单价各是x元和y元，根据题意列出方程即可解决问题； （2）设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳根，列出函数关系式和不等式即可解决问题． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种跳绳的单价分别是x元和y元，根据题意得， ， 解得：， 答：甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和50元； 【小问2详解】 解：设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳根，由题意得， ， ∵， ∴随a的增大而减小， ∵费用不超过1000元， ∴， 解得：， ∴当时，利润最大， ∴（根）， ∴当购进甲种跳绳50根，购进乙种跳绳30根，利润最大． 21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏进行实验． 【实验观察】实验小组通过观察，每小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间（小时） 箭尺读数（厘米） 【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②所示，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数； ②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在，请求出直线解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由． 【结论应用】应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为厘米） 【答案】[探索发现]①见解答；②；[结论应用]①厘米；②点钟 【解析】 【分析】[探索发现]①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可； ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解； [结论应用]①利用前面求得的函数表达式求出时的值，即可得出箭尺的读数； ②利用前面求得的函数表达式求出时的值，由本次实验记录的开始时间是上午，即可求解； 本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：[探索发现] ①如图②， ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上， 设这条直线所对应的函数表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴； [结论应用] ①当时，， ∴供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米； ②当时，， 解得， ∴供水时间为小时， ∵本次实验记录的开始时间是上午，， ∴当箭尺读数为厘米时是点钟． 五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． （1）操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形； （2）迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】（1）①60，60； ②证明：四边形是矩形， ， 又， 四边形是平行四边形； ， ， 由折叠得， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，是解题的关键． （1）①由折叠得，由得，结合即可求解； ②由，，证明四边形是平行四边形，同①证明，推出，即可证明四边形是菱形； （2）由折叠得，，，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解和，最后用勾股定理解即可． 【小问1详解】 解：①由折叠得， ， ， 矩形中， ， 故答案为：60，60； ②略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 中，，， ， ， 由折叠得，，， ， 又，， ， 如图，过点E作于点G， ， ， ， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数经过点B． （1）求线段的长； （2）动点P从点C出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t（秒）． ①当的面积为6时，请求出t的值； ②在线段上存在点D，点E是坐标平面内一点，以点B，E，P，D为顶点的四边形是正方形时，请求出t的值． 【答案】（1）9 （2） ①当点P在点O的左侧时，；当点P在点O的右侧时，． ②的值为或5 【解析】 【分析】（1）先求出点A，B的坐标，然后求出直线的解析式，再求出点C的坐标解答即可； （2）①分为点P在点O的左侧，点P在点O的右侧两种情况表示长，然后根据三角形的面积公式求出值即可； ②当点P在点O右侧时，过点D作轴，垂足为G，证明，得到解题即可；当点P在点O左侧时，过点D作轴，垂足为点H，同理可得，进而得到，求出长解答即可． 【小问1详解】 解：把代入，， ∴， 把代入，， ∴， 把代入中 ∴，当时，， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴，， 当点P在点O的左侧时，， ∴ 当点P在点O的右侧时，，， ∴． ②∵直线的解析式为， 当点P在点O右侧时，过点D作轴，垂足为G，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 把代入，， ∴， ∴， 即， 当点P在点O左侧时，过点D作轴，垂足为点H，如图， ∵四边形是正方形， 同上可证∴， ∴， 设， ∴， 把代入，， 则，， 则， ， ∴，即． 综上所述，的值为或5． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，正方形的性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $