2.1等式性质与不等式性质（第2课时）学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学学案以“等式性质与不等式性质”为核心，围绕掌握性质及简单应用的学习目标，通过新知导入（类比等式性质）、知识清单系统梳理、例题讲解与分层练习的递进设计，构建“猜想-验证-应用”的完整学习路径，体现知识建构的系统性。 亮点在于类比探究任务设计，引导学生“梳理等式性质-类比猜想不等式性质-证明验证”，培养推理意识与创新意识。课堂与课后练习分层设置，涵盖选择、填空及证明题，促进深度学习与应用能力提升，为教师单元复习教学提供清晰指导与实用支撑。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质（第2课时） 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 掌握等式性质与不等式性质 2、 能应用不等式性质解决简单的问题 通过教学培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质 重点 不等式性质 难点 不等式性质的探究与应用 新知导入 关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础．那么，不等式到底有哪些性质呢？ 因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发． 请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 等式的基本性质 性质1 如果 ，那么 ； 性质2 如果 ，那么 ； 性质3 如果 ，那么 ； 性质4 如果 ，那么 ； 性质5 如果 ，那么． 可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是 从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性． 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 知识清单 知识点一：等式性质 1.等式性质： 性质1 如果，那么 ； 性质2 如果，，那么 ； 性质3 如果，那么 ； 性质4 如果，那么 ； 性质5 如果，，那么 . 知识点二：不等式性质 2.不等式性质： 性质1 如果，那么；如果，那么.即 . 性质2 如果，，那么.即， . 性质3 如果，那么 . 性质4 如果， ，那么；如果，，那么 . 性质5 如果，，那么 . 性质6 如果，，那么 . 性质7 如果，那么 . 例题讲解 例1已知实数x，y满足，求的取值范围 例2 已知 ，求证． 课堂练习 1.已知，，令，则t的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.若，，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.若，，则有( ) A. B. C. D. 4.若，则下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 5.（多选）下列选项正确的是( ) A.若，则 B.若，，则 C.若，则 D.若，则 6.（多选）已知a，b，c，d均为实数，下列命题正确的是( ) A.若，，则； B.若，，则； C.若，，则. D.以上均不对 7.已知，，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知，，且，则________（填“>”或“<”）. 课后练习 1.若，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 2.若，则下列正确的是( ) A. B. C. D. 3.下列命题正确的是( ) A.若，则 B.若，，则 C.若，则 D.若，则 4.已知a、b、c都是实数，若，则( ) A. B. C. D. 5.下列命题为真命题的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 6.下列命题为真命题的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 7.“”是“”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 8.（多选）对于任意的实数a，b，c，d，下列命题错误的有( ) A.若，则 B.若，，则 C.若，则 D.若，则 9.（多选）下列说法正确的是( ) A.若，，则 B.若，，则 C.若，则 D.若，，则 10.如果实数对满足，则实数对可以为__________（写一对即可）. 11.如果，，那么______(填“>”或“<”). 12.若，则下列结论中正确的序号是____________. (1) (2) (3) (4) 答案以及解析 知识清单 1. 2. 例题讲解 例题1 解析：由，得，，所以. 例题2 分析：要证明，因为 ，所以可以先证明．利用已知 和性质4，即可证明． 证明：因为 ，所以 ，． 于是，即． 由 ，得． 课堂练习 1.答案：B 解析：因为， 所以，又， 所以， 故选：B. 2.答案：D 解析：，， ，， . 故选：D. 3.答案：A 解析：， ，， 所以A选项正确，B选项错误， 又， ，， 所以C选项，D选项错误， 故选：A. 4.答案：D 解析：因为，所以，，所以. 5.答案BC 解析：当，时，，，，，A，D均不正确；由得，结合，可得，故B正确；由，得，则，故C正确.故选BC. 6.答案：ABC 解析：对于A，，，，A正确. 对于B，，，即，，B正确. 对于C，，，即，，C正确. 7.答案：B 解析：因为，所以，所以. 故选：B. 8.答案：< 解析：由题意知，，则， 所以，即. 故答案为：<. 课后练习 1.答案：A 解析：对于AD，因为，故，且，故A成立，D错误; 对于B，取，，则，但，故B错误; 对于C，因为，故，故C错误; 故选：A. 2.答案：A 解析：由，两边同时减去c，有 ，故选项A正确; ，时， 不成立，排除B选项; 当时，由得，排除C选项; ， 时，不成立，排除D选项. 故选：A. 3.答案：B 解析：对于A，取，得，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，取，，满足，而，D错误. 故选：B. 4.答案：A 解析：因为， 对于A，根据不等式的性质知，故A正确; 对于B，当时，;当时，;当时，，故B错误; 对于C，当时，，所以;当时，，所以，故C错误; 对于D，若，，则，故D错误. 故选：A. 5.答案：D 解析：对于A，因，取，，则，，，有，故A是假命题; 对于B，当时，，故B是假命题; 对于C，取，，满足，但，故C是假命题; 对于D，由，由，所以，故D是真命题. 故选：D. 6.答案：B 解析：当且时，，故A错误； 若，则，即，故B正确： 当，时，，，故C错误； 当，时，，，故D错误. 故选：B. 7.答案.B 解析：因为，所以，所以，充分性成立.若，不妨设，，则，，即，必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件. 8.答案：ABD 解析：A选项：，若，则，选项错误; B选项：，，设，，，，则，选项错误; C选项：若，则，选项正确; D选项：，设，，则，选项错误. 故选：ABD. 9.答案：AD 解析：对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确; 对于B选项，例如：，，但是，所以B错误; 对于C选项，当时，，所以C错误; 对于D选项，因为，所以，又，所以，所以D正确. 故选：AD. 10.答案：（答案不唯一） 解析：由不等式性质可得当时，， 可取，，因此实数对可以为. 故答案为：. 11.答案：> 解析：因为，，则，根据不等式的性质可得，， 故答案为：>. 12.答案：(1)(2)(3) 解析：因为，所以， 则，，，，故(1)(2)(3)正确，(4)错误. 故答案为：(1)(2)(3). 学科网（北京）股份有限公司 $