2.1等式性质与不等式性质 第2课时导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质（第2课时） 一、学习目标 　　掌握不等式的性质:(1)能类比等式的基本性质,猜想并证明不等式的基本性质;(2)能根据实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明简单的不等式. 二、课前预习 ◆ 知识点一　等式的基本性质 性质1　如果a=b,那么_______  性质2　如果a=b,b=c,那么_______.  性质3　如果a=b,那么a±c=b±c. 性质4　如果a=b,那么ac=bc. 性质5　如果a=b,c≠0,那么=. ◆ 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇒a>c ⇒ 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 4 可乘性 a>b,c>0⇒ac_______bc  c的符号 a>b,c<0⇒ac_______bc  5 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 同向、同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) 同正 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若a-c<b-c,则a<b. (　 ) (2)若a+c>b+d,则a>b,c>d. (　 ) (3)若a>b,c>d,则>. (　 ) (4)若ac2>bc2,则a>b. (　 ) 三、课中探究 ◆ 探究点一　利用不等式性质比较大小　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)已知a,b,c∈R且a>b,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.< B.a2>b2 C.a|c|>b|c| D.> (2)(多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,c>d,则a-c>b-d C.若b>a>0,c>0,则> D.若a>b>0,则a+>b+ ◆ 探究点二　利用不等式的性质证明不等式 例2 设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0; (2)若a>b,证明:a3>b3. ◆ 探究点三　利用不等式的性质求代数式范围 例3 设2<a<7,1<b<2,求a+3b,2a-b,的取值范围. 四、课内练习 1 (多选题)设a,b,c,d∈R,下列说法正确的是 (　 ) A.若a>b,则ac>bc B.若a|c|>b|c|,则a>b C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a>b,则a3>b3 2(多选题)[2025·青岛二中高一月考] 已知a<b<0,c>d,则下列选项正确的是 (　 ) A.a-c<b-d B.> C.> D.a5+b5<a2b3+a3b2 3、 (1)已知a>b>c>d,求证:<. (2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>. 4、 (1)已知1<a<6,3<b<4,则2a-b的取值范围为　　　　,的取值范围为　　　　.  (2)[2025·荆州中学高一月考] 若-1<a+b<3,2<a-b<4,则3a-b的取值范围为　　　　.  1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质（第2课时） 一、学习目标 　　掌握不等式的性质:(1)能类比等式的基本性质,猜想并证明不等式的基本性质;(2)能根据实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明简单的不等式. 二、课前预习 ◆ 知识点一　等式的基本性质 性质1　如果a=b,那么　b=a　.  性质2　如果a=b,b=c,那么　a=c　.  性质3　如果a=b,那么a±c=b±c. 性质4　如果a=b,那么ac=bc. 性质5　如果a=b,c≠0,那么=. ◆ 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇒a>c ⇒ 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 4 可乘性 a>b,c>0⇒ac　>　　bc  c的符号 a>b,c<0⇒ac　　<　bc  5 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 同向、同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) 同正 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若a-c<b-c,则a<b. (　 ) (2)若a+c>b+d,则a>b,c>d. (　 ) (3)若a>b,c>d,则>. (　 ) (4)若ac2>bc2,则a>b. (　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ [解析] (1)不等式a-c<b-c两边同时加上c,可得a<b,所以此说法正确. (2)取a=4,c=5,b=7,d=1,满足a+c>b+d,但不满足a>b,所以此说法错误. (3)取a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,但>不成立,所以此说法错误. (4)若ac2>bc2,则c2>0,所以a>b,所以此说法正确. 三、课中探究 ◆ 探究点一　利用不等式性质比较大小　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)已知a,b,c∈R且a>b,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.< B.a2>b2 C.a|c|>b|c| D.> (2)(多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,c>d,则a-c>b-d C.若b>a>0,c>0,则> D.若a>b>0,则a+>b+ 例1　(1)D　(2)AD　[解析] (1)对于A,当a>0>b时,>,故A不一定成立;对于B,当a=-1,b=-2时,满足a>b,但a2>b2不成立,故B不一定成立;对于C,当c=0时,a|c|=b|c|,故C不一定成立;对于D,由a>b,c2+1>0,得>,故D一定成立.故选D. (2) 对于A,∵ac2>bc2,∴c≠0,∴c2>0,∴>0,∴ac2×>bc2×,∴a>b,故A正确;对于B,当a=2,b=1,c=0,d=-2时,满足a>b,c>d,但此时a-c=2,b-d=3,a-c<b-d,故B错误;对于C,当a=1,b=2,c=1时,满足b>a>0,c>0,但此时=,=2,<,故C错误;对于D,∵a>b>0,∴ab>0,∴>0,∴a×>b×,∴>,由不等式的同向可加性,可得a+>b+,故D正确.故选AD. [素养小结] 解不等式成立问题的常用方法:一是用性质逐个验证;二是用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. ◆ 探究点二　利用不等式的性质证明不等式 例2 设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1. (1)证明:ab+bc+ca<0; (2)若a>b,证明:a3>b3. 例2　证明:(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2). ∵abc=1,∴a,b,c均不为0,则a2+b2+c2>0,∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)<0. (2)由题可知,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),∵a2+ab+b2=+b2>0,a>b,即a-b>0,∴a3-b3>0,即a3>b3. [素养小结] 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式,解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. ◆ 探究点三　利用不等式的性质求代数式范围 例3 设2<a<7,1<b<2,求a+3b,2a-b,的取值范围. 例3　解:∵2<a<7,1<b<2,∴4<2a<14,3<3b<6,-2<-b<-1,<<1,∴5<a+3b<13,2<2a-b<13,1<<7. [素养小结] 求代数式的取值范围需注意两点: (1)严格运用不等式的性质,即两个同方向的不等式可加不可减,可乘(同正)不可除; (2)利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求解范围,防止在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围. 四、课内练习 1 (多选题)设a,b,c,d∈R,下列说法正确的是 (　 ) A.若a>b,则ac>bc B.若a|c|>b|c|,则a>b C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a>b,则a3>b3 [解析] 对于A,当c=0时,ac=bc,故A错误;对于B,若a|c|>b|c|,则|c|≠0,即|c|>0,所以a>b,故B正确;对于C,取a=1,b=c=0,d=-1,满足a>b,c>d,但ac=bd,故C错误;对于D,若a>b,则由不等式的性质可知a3>b3,故D正确.故选BD. 2(多选题)[2025·青岛二中高一月考] 已知a<b<0,c>d,则下列选项正确的是 (　 ) A.a-c<b-d B.> C.> D.a5+b5<a2b3+a3b2 [解析]∵c>d,∴-c<-d,又a<b<0,∴a-c<b-d,故A正确;当c=1,d=-1时,=a,=-b,∵-b>0>a,∴<,故B错误;∵a<b<0,∴-=>0,∴>,故C正确;∵a<b<0,∴a2>b2>0,a3<b3<0,∴a3-b3<0,则a2(a3-b3)<b2(a3-b3),即a5-a2b3<b2a3-b5,即a5+b5<b2a3+a2b3,故D正确.故选ACD. 3、 (1)已知a>b>c>d,求证:<. (2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>. 证明:(1)∵a>b>c>d,即a>b,-d>-c,∴a-d>b-c>0,则<. (2)∵c<d<0,∴-c>-d>0, 又a>b>0,∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,又e<0,∴-===>0,∴>. 4、 (1)已知1<a<6,3<b<4,则2a-b的取值范围为　　　　,的取值范围为　　　　.  (2)[2025·荆州中学高一月考] 若-1<a+b<3,2<a-b<4,则3a-b的取值范围为　　　　.  [解析] (1)由1<a<6,得2<2a<12,由3<b<4,得-4<-b<-3,∴-2<2a-b<9.由3<b<4,得9<3b<12,则0<<<,又0<2<2a<12,∴<<. (2)3a-b=(a+b)+2(a-b),因为-1<a+b<3,2<a-b<4,即4<2(a-b)<8,所以3<(a+b)+2(a-b)<11,故3a-b的取值范围为3<3a-b<11. 1 学科网（北京）股份有限公司 $