1.4.1充分条件与必要条件学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学学案聚焦充分条件与必要条件的意义及判断方法这一核心知识点，从初中已学的命题概念入手，通过分析“若p则q”形式的真假命题实例，引导学生自然过渡到充分条件与必要条件的学习，搭建新旧知识的衔接支架。 该学案通过结合数学判定定理分析例题，引导学生理解充分条件的不唯一性，培养数学抽象素养。采用举反例判断假命题的方法，提升逻辑推理能力，配套课堂与课后练习层次分明，从基础到综合，帮助学生巩固知识，深化对逻辑关系的理解，有效提升学习效率。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.1 充分条件与必要条件 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、理解充分条件、必要条件的意义 2、掌握判断充分条件、必要条件的方法 提升数学抽象素养，能判断命题的充分条件与必要条件 重点 充分条件、必要条件的意义 难点 充分条件、必要条件的判断方法 新知导入 在初中，我们已经对命题有了初步的认识． 一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 中学数学中的许多命题可以写成“若 ，则 ”“如果 ，那么 ”等形式．其中 称为命题的条件， 称为命题的结论．本节主要讨论这种形式的命题． 下面我们将进一步考察“若 ，则 ”形式的命题中 和 的关系，学习数学中的常用的逻辑用语——充分条件、必要条件． 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 ，则 ； （4）若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则． 在命题（1）（4）中，由条件 通过推理可以得出结论 ，所以它们是真命题． 在命题（2）（3）中，由条件 不能得出结论 ，所以它们是假命题． 一般地，“若 ，则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出 ．这时，我们就说，由 可以推出 ，记作 ，并且说， 是 的充分条件， 是 的必要条件． 如果“若 ，则 ”为假命题，那么由条件 不能推出结论 ，记作 ． 此时，我们就说 不是 的充分条件， 不是 的必要条件． 知识清单 知识点一：充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.由p可以推出q，记作 ，则p是q的充分条件，q是p的 条件. 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作 ，p不是q的 条件，q不是p的必要条件. 例题讲解 例1 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则 为无理数． 说明：举反例是判断一个命题是假命题的重要方法． 思考： 例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”．这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？ 我们说 是 的充分条件，是指由条件 可以推出结论 ，但这并不意味着只能由这个条件 才能推出结论 ．一般来说，对给定结论 ，使得 成立的条件 是不唯一的． 小结：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 例2 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则 为无理数． 小结：一般地，要判断“若 ，则 ”形式的命题中 是否为 的必要条件，只需判断是否有“”，即“若 ，则 ”是否为真命题． 课堂练习 1.两个三角形全等的充分条件是( ) A.两个三角形的两角对应相等 B.两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C.两个三角形的三边对应成比例 D.两个三角形的两边对应相等且夹角相等 2.使不等式成立的一个必要条件是( ) A. B. C. D. 3.设，，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是________. 5.已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____________. 6.判断下列各题中，p是否是q的充分条件，p是否是q的必要条件： （1）p：，q：； （2）p：中，，q：中，. 课后练习 1.的一个充分条件是( ) A. B. C. D. 2.使四边形为菱形的充分条件是( ) A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直平分 3.的一个必要条件是( ) A. B. C. D. 4.（多选）使成立的一个充分条件是( ) A. B. C. D. 5.（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是( ) A. B. C. D. 6.若“或”是“”的必要条件，则a的最大值是_________. 7.已知条件，，p是q的必要条件，则实数k的取值范围是______. 8.判断下列命题中p是q的什么条件. （1），或； （2）有两个角相等，是正三角形. 答案以及解析 知识清单 1. 必要 充分 例题讲解 例题1 解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，，所以 是 的充分条件． （2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以 是 的充分条件． （3）这是一条菱形的性质定理，，所以 是 的充分条件． （4）由于 ，但 ，所以 不是 的充分条件． （5）由等式的性质知，，所以 是 的充分条件． （6） 为无理数，但 为有理数，，所以 不是 的充分条件． 例题2 解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，，所以， 是 的必要条件． （2）这是三角形相似的一条性质定理，，所以， 是 的必要条件． （3）如图，四边形 的对角线互相垂直，但它不是菱形，， 所以， 不是 的必要条件． （4）显然， ，所以， 是 的必要条件． （5）由于 ，但 ，所以， 不是 的必要条件． （6）由于 为无理数，但 不全是无理数，，所以， 不是 的必要条件． 课堂练习 1.答案：D 解析：根据全等三角形的判定定理可得， 当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等. 故选：D. 2.答案：B 解析：， 因此只有B是其必要条件. 故选：B. 3.答案：C 解析：由，，p是q的充分条件， 所以，故. 故选：C. 4.答案： 解析：由题意，“若，则”为真命题， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 5.答案： 解析：因为p是q的充分不必要条件， 所以， 所以. 故答案为：. 6.答案：（1）p是q的充分不必要条件 （2）p是q的充要条件 解析：（1）当时，，故p是q的充分条件； 当时，，故p不是q的必要条件； （2）中，，则，故p是q的充分条件； 中，，则，p是q的必要条件. 课后练习 1.答案：C 解析：由，可得，解得或.故选C. 2.答案：D 解析：由选项可知只有“对角线互相垂直平分”可推断四边形是菱形，所以对角线互相垂直平分是四边形为菱形的充分条件. 3.答案：A 解析：是条件，选项为结论.由推出；当时，B不成立；当时，C不成立；当时，D不成立. 4.答案：AB 解析：根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误. 故选：AB. 5.答案：AB 解析：由得， 所以使 “”成立的必要条件的是或. 故选:AB. 6.答案：-2 解析：因为“或”是“”的必要条件，所以或，或.如图所示，所以，所以a的最大值为-2. 7.答案： 解析：已知条件，， 设集合，， 因为p是q的必要条件，所以， 所以，解得. 故答案为：. 8.解析：（1）因为“”能推出“或”，即， 但“或”推不出“”， 如，即，所以p是q的充分条件. （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即， 但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即， 所以p是q的必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $