精品解析：湖南省长沙市长沙县城区联考2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题

湖南省长沙市长沙县城区联考2021-2022学年八年级下学期期中考试 数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中的最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 不能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. C. D. 3. 要求加工4个长为、宽为矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不一定能合格的零件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（ ） A. 直线与y轴交点的坐标是 B. 直线经过第一、二、四象限 C. y随x的增大而减小 D. 与坐标轴围成的三角形面积为2 5. 下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 对角线互相垂直 C. 四个角都为直角 D. 对角线互相平分 6. 如图，长方形OABC的边OA长为2，AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）. A. 2.5 B. C. D. 3 7. 如图，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧两点间的距离，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数中，随增大而增大，且，则此函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 10. 如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式＜的解集为( ) A. x＞1 B. x＜1 C. x＞－2 D. x＜－2 12. 如图，A（1，0），B（3，0），M（4，3），动点P从点A出发，以每秒2个单位长的速度向右移动，且经过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒，若直线l与线段BM有公共点，则t的取值范围为（　　） A. 1≤t≤3 B. 2≤t≤4 C. 1≤t≤4 D. 2≤t≤3 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 14. 已知y与x成正比例，且x＝1时，y＝－2，则当x=－1 时，y＝___________． 15. 点A(x1，y1)、B(x2，y2)在一次函数y=-2x+b的图象上，若x1＜x2，则y1______y2(填“＜”或“＞”或“=”)． 16. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为 ______． 17. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____． 18. 我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）．意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长____________尺． 三．解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在中，，点D是外一点，连接，且，． （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 21. 一次函数． （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若函数图象平行于直线，求该函数解析式，并在所给平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）在（1）的条件下，将正比例函数的图象向下平移4个单位，求出平移后的直线解析式． 22. 如图，在平行四边形中，F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接，．求证：四边形是平行四边形． 23. 4月23日是“世界读书日”，甲书店在这一天举行了购书优惠活动． 甲书店：“与书相伴，遇见更好的为自己”，一次购书中标价总额不超过80元的按原价计费，超过80元的部分5折．以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额． （1）文文购买标价总额50元的书需付款 元；购买标价总额100元的书需付款 元； （2）求支付金额y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当天，隔壁的乙书店：“阅读改变生活，共创文明长沙”活动：同样标价的书籍均按标价7折出售；若文文需买250元书，选择哪家书店去购书更省钱？说明你的理由． 24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+8的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． （1）求直线AM的函数解析式． （2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S△AOB，求出点P的坐标． （3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点H的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与“直角距离”． （1）两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； （2）如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； （3）已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市长沙县城区联考2021-2022学年八年级下学期期中考试 数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中的最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】A、不是最简二次根式，错误； B、不是最简二次根式，错误； C、不是最简二次根式，错误； D、是最简二次根式，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 不能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故不能判定四边形为平行四边形，符合题意； B、两组对边分别相等的四边形为平行四边形，故能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，故能判定四边形为平行四边形，不符合题意； D、∵，， ∴， ∴， 故能判定四边形为平行四边形，不符合题意； 故选A． 3. 要求加工4个长为、宽为的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不一定能合格的零件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答即可．熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，能判定矩形，不符合题意； B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，不符合题意； C、一组对角为直角的四边形不一定是矩形，不能判定形状，符合题意； D、一组对边平行且相等，能判定平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则能判定矩形，不符合题意． 故选：C． 4. 下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（ ） A. 直线与y轴交点的坐标是 B. 直线经过第一、二、四象限 C. y随x的增大而减小 D. 与坐标轴围成的三角形面积为2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点、一次函数的图象与性质、一次函数的几何问题，把代入求得即可判断选项A；利用一次函数的图象与性质判断选项B、C；利用三角形的面积公式求解即可判断选项D． 【详解】解：A、∵当时，， ∴直线与y轴交点的坐标是； B、∵，， ∴直线经过第一、二、四象限； C、∵， ∴y随x的增大而减小； D、当时，， ∴直线与y轴交点的坐标为， 当时，， ∴， ∴直线与x轴交点坐标为， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为：． 故选：D． 5. 下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 对角线互相垂直 C. 四个角都为直角 D. 对角线互相平分 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断． 【详解】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分， 矩形的对角相等，对角线相等，互相平分， 所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质等知识，记住正方形、矩形的性质是解题的关键． 6. 如图，长方形OABC的边OA长为2，AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）. A. 2.5 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可得出结论. 【详解】解：设交正半轴与点E，根据题意知OE=OB 在Rt△OAB中，,故 故选C. 【点睛】本题考查了尺规作图和勾股定理的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握利用勾股定理求直角三角形中边长问题. 7. 如图，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧两点间的距离，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，由公路，互相垂直，则，又为的中点，则有，然后代入求值即可，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵公路，互相垂直， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，两点间的距离为， 故选：． 8. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连，根据三角形中位线的性质得到，； ，，即四边形为平行四边形，当和，只能判断四边形为平行四边形；当，能判断四边形为矩形；当，能判断四边形为菱形． 【详解】解：如图所示，连， ∵、、、为四边形各中点， ∴，；，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， 而， ∴． 当和，只能判断四边形为平行四边形，故A、D选项错误； 当，能判断四边形为矩形，故C选项正确； 当，可判断四边形为菱形，故B选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定定理，以及三角形中位线的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 9. 一次函数中，随的增大而增大，且，则此函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数的增减性可得，再根据可得，由此即可得出答案． 【详解】解：一次函数中，随着的增大而增大， ，且可排除选项A和B， 又， ， 函数图象与轴的交点在轴下方， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 10. 如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，然后求得∠OCE=30°，再根据含30°角直角三角形的性质求得OE，最后运用勾股定理求得CE即可解答. 【详解】解：如图：过C作CE⊥OA，垂足为E， ∵菱形OABC， ∴OC=OA=4 ∵， ∴∠OCE=30° ∵OC=4 ∴OE=2 ∴CE= ∴点C的坐标为. 故选A. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，作出辅助线、求出OE、CE的长度是解答本题的关键. 11. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式＜的解集为( ) A. x＞1 B. x＜1 C. x＞－2 D. x＜－2 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集即为函数在函数下方部分的x的取值范围进行求解即可． 【详解】解：由题意得不等式的解集即为函数在函数下方部分的x的取值范围， ∴不等式的解集为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用属性结合的思想求解是解题的关键． 12. 如图，A（1，0），B（3，0），M（4，3），动点P从点A出发，以每秒2个单位长的速度向右移动，且经过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒，若直线l与线段BM有公共点，则t的取值范围为（　　） A 1≤t≤3 B. 2≤t≤4 C. 1≤t≤4 D. 2≤t≤3 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出直线l经过点B、点M时的t值，即可得到t的取值范围． 【详解】解：当直线y＝﹣x+b过点B（3，0）时， 0＝﹣3+b， 解得：b＝3， 0＝﹣（1+2t）+3， 解得t＝1． 当直线y＝﹣x+b过点M（4，3）时， 3＝﹣4+b， 解得：b＝7， 0＝﹣（1+2t）+7， 解得t＝3． 故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：1≤t≤3， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象与几何变换，是一次函数的综合性题目，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，利用数形结合进行求解． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 【答案】x≥－1 【解析】 【详解】由题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 14. 已知y与x成正比例，且x＝1时，y＝－2，则当x=－1 时，y＝___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意设y=kx（k是常数，且k≠0），再把x＝1，y＝－2代入求出正比例函数的解析式，进而代入x=－1即可求得y值． 【详解】解：已知y与x成正比例，设y=kx（k是常数，且k≠0）， 把x＝1时，y＝－2代入，得，即该正比例函数的解析式为：y=-2x， 又把x=－1代入y=-2x，得到 故答案为：2． 【点睛】本题考查正比例函数相关，熟练运用待定系数法建立函数解析式以及熟练掌握待定系数法是解题的关键． 15. 点A(x1，y1)、B(x2，y2)在一次函数y=-2x+b的图象上，若x1＜x2，则y1______y2(填“＜”或“＞”或“=”)． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据一次函数图象的增减性进行答题． 【详解】解：∵一次函数y=-2x+b中的x的系数-2＜0， ∴该一次函数图象是y随x的增大而减小， ∴当x1＜x2时，y1＞y2 故答案是：＞． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的左边特征．此题也可以把点A、B的坐标代入函数解析式，求得相应的y的值，然后再比较大小． 16. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，菱形的性质，由是的中位线得，又四边形是菱形，则，从而求出周长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：． 17. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____． 【答案】5 【解析】 【分析】连接OB，利用勾股定理求出OB的长，即为AC的长． 【详解】如图，连接OB， ∵B的坐标为（4，3）， ∴ ∵四边形OABC是矩形 ∴AC=OB=5 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查求矩形对角线长，解题的关键是熟知矩形对角线相等． 18. 我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）．意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长____________尺． 【答案】13 【解析】 【分析】设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺， 根据题意列方程得：x2+52=（x+1）2， 解得：x=12 ∴OA'=13尺． 故答案为：13． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，根据勾股定理列方程求解． 三．解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键； （1）根据二次根式的乘法与加法可进行求解； （2）根据二次根式的加减运算可进行求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 20. 如图，在中，，点D是外一点，连接，且，． （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 【答案】（1）5； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 21. 一次函数． （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若函数图象平行于直线，求该函数解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）在（1）的条件下，将正比例函数的图象向下平移4个单位，求出平移后的直线解析式． 【答案】（1）3 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，画一次函数图象，熟练掌握平移规则，是解题的关键： （1）根据图象过原点，得到，进行求解即可； （2）根据两直线平行，值相等，得到，进行求解，描点，连线画出函数图象即可； （3）根据平移规则，上加下减，进行求解即可． 【小问1详解】 解：因为函数图象经过原点， 所以， 解得， 故m的值为3． 【小问2详解】 因为函数图象平行于直线， 所以， 解得， 所以一次函数解析式为． 当时，；当时，， 画出函数图象如图所示， 【小问3详解】 由（1）知，正比例函数的解析式为， 所以此函数图象向下平移4个单位所得函数图象的解析式为． 22. 如图，在平行四边形中，F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得，则有和，结合中点得，即可证明，有即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 23. 4月23日是“世界读书日”，甲书店在这一天举行了购书优惠活动． 甲书店：“与书相伴，遇见更好的为自己”，一次购书中标价总额不超过80元的按原价计费，超过80元的部分5折．以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额． （1）文文购买标价总额50元的书需付款 元；购买标价总额100元的书需付款 元； （2）求支付金额y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当天，隔壁的乙书店：“阅读改变生活，共创文明长沙”活动：同样标价的书籍均按标价7折出售；若文文需买250元书，选择哪家书店去购书更省钱？说明你的理由． 【答案】（1）50，90 （2）y关于x的函数解析式为 （3）选择甲书店去购书更省钱，见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用和有理数的混合运算． （1）根据题意结合文文购买标价总额直接求得购书款； （2）根据已知条件分别列出关系式化简即可； （3）根据书店活动分别求出两家书店购书所需费用，从而可判断哪家书店省钱． 【小问1详解】 解：∵， ∴文文购买标价总额50元的书需付款50元； ∵， ∴购买标价总额100元书需付款（元）． 故答案为：50，90． 【小问2详解】 解：当时，； 当时，； ∴y关于x的函数解析式为． 【小问3详解】 解：选择甲书店去购书更省钱．理由如下： 在甲书店购买应支付的金额（元）， 在乙书店购买应支付的金额（元）， ∵， ∴选择甲书店去购书更省钱． 24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得四边形是平行四边形，，结合角平分线得到，利用等腰三角形的性质得，即可判定为菱形； （2）根据菱形的性质得，，，利用勾股定理求得，结合即可求得． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理的应用，解题的关键是熟悉特殊四边形的性质． 25. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+8的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． （1）求直线AM的函数解析式． （2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S△AOB，求出点P的坐标． （3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x+4；（2）点P的坐标为（-12，-8）或（4，8）；（3）存在，（-4，-4），（-4，4）或（4，12）． 【解析】 【分析】（1）通过函数y=2x+8求出A、M两点坐标，由两点坐标求出直线AM的函数解析式； （2）设出P点坐标，按照等量关系“S△ABP=S△AOB”即可求出； （3）设点H的坐标为（m，n），然后分三种情况进行讨论即可. 【详解】（1）当x=0时，y=2x+8=8， ∴点B的坐标为（0，8）； 当y=0时，2x+8=0， 解得：x=-4， ∴点A的坐标为（-4，0）． ∵点M为线段OB的中点， ∴点M的坐标为（0，4）． 设直线AM的函数解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A（-4，0），B（0，4）代入y=kx+b，得：， 解得：， ∴直线AM函数解析式为y=x+4． （2）设点P的坐标为（x，x+4）， ∵S△ABP=S△AOB， ∴BM•|xP-xA|=OA•OB，即×4×|x+4|=×4×8， 解得：x1=-12，x2=4， ∴点P的坐标为（-12，-8）或（4，8）． （3）存在， （-4，-4），（-4，4）或（4，12）． 设点H的坐标为（m，n）． 分三种情况考虑（如图所示）： ①当AM为对角线时，， 解得：， ∴点H1的坐标为（-4，-4）； ②当AB为对角线时， ， 解得：， ∴点H2的坐标为（-4，4）； ③当BM为对角线时，， 解得：， ∴点H3的坐标为（4，12）． 综上所述：在坐标平面内存在点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为（-4，-4），（-4，4）或（4，12）． 【点睛】此题考查一次函数综合题，解题关键在于求出A、M两点坐标，再利用待定系数法求解析式. 26. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． （1）两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； （2）如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； （3）已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 【答案】（1）； （2）或，见解析； （3） 【解析】 【分析】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键． （1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）根据“直角距离”的定义得，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）先根据题意可得点C的坐标为，根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F的直线，代入可得结论． 【小问1详解】 解：∵点、， ∴， ∴与原点的“直角距离”等于1的点是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设， ∵点与原点的“直角距离”， ∴， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或， 如图1所示， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：∵点的坐标为，， 同（2）可得：则点在正方形边上，如图2， ∴，，，， 又∵点在直线， 由图2可知：的最大值是过点的直线，的最小值是过的直线， 把点的坐标代入中，，解得：， 把点的坐标代入中，，解得：， 故的取值范围是：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $