专题六二次函数与几何图形的综合(题型分类+例题精析+通用策略)2025－2026学年人教版数学九年级上册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 专题六 二次函数与几何图形的综合(题型分类+例题精析+通用策略) 二次函数与几何图形的综合问题是中学数学的核心难点，它要求你不仅能灵活运用二次函数和几何知识，更要掌握数形结合与分类讨论的数学思想。下面梳理了主要的题型分类和解题策略，希望能帮助你更系统地攻克这类问题。 问题类型 核心考查点 关键解题策略 线段与周长问题 线段长度的表示与计算、线段和差的最值（如“将军饮马”模型）、周长的最值 设点坐标表示长度、利用两点间距离公式、垂线段最短、对称转化、将周长问题转化为线段和问题 面积问题 三角形、四边形面积的计算与最值、面积比、等积变换 铅垂高公式（S=½×水平宽×铅垂高）、割补法、平行线法（等积变形）、将面积转化为二次函数求最值 特殊三角形存在性 等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的存在性 两圆一线（等腰）、两线一圆（直角）、勾股定理、K字形相似（直角）、两点间距离公式、分类讨论 特殊四边形存在性 平行四边形、矩形、菱形、正方形的存在性 中点坐标公式（平行四边形、矩形）、对角线性质（菱形、正方形）、邻边垂直且相等（正方形）、设点坐标并列方程求解、分类讨论 相似三角形存在性 寻找使两个三角形相似的点或条件（后续讲） 分类讨论（对应顶点不确定）、相似比列方程、角度相等（利用三角函数或斜率） 其他综合应用 函数与方程的结合、新定义问题、实际应用问题（如拱桥、利润） 理解新定义、建立函数模型、利用函数性质求最值、结合实际意义检验 这类问题常要求求线段长度、证明线段关系或求线段和的最值。 解题要点： 用点的坐标表示线段长度（平行于坐标轴的线段直接相减；一般线段用两点距离公式）。 线段和的最值问题常需利用对称变换（将军饮马模型）转化为两点间距离或点到直线的距离问题。 周长最值通常转化为线段和的最值来解决。 例1．如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求的面积． (2)若P是第四象限内抛物线上任意一点，轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值． 【变式1-1】．已知抛物线交x轴于O，两点，顶点为，点C为的中点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点C为线段的中点，过点C作，垂足为点H，交抛物线于点E；求线段的长 (3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，直接写出的最小值 【变式1-2】．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值． 【变式1-3】．如图1，将放置在平面直角坐标系中，使边与轴重合，点在轴上，已知，过三点画抛物线． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，将此拋物线沿水平方向向左平移个单位长度，得到的新抛物线记为L，L与轴交于点D，E（点在点的左侧），与轴交于点，设的长为d． ①求关于的函数解析式； ②在抛物线平移过程中，是否存在？若存在，求出的所有可能值；若不存在，请说明理由． 求图形面积或其最大值是常见的题型。 核心方法——铅垂高法： 如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解题要点： 先用铅垂高法或割补法表示出面积。 将面积表达式转化为关于动点横坐标的二次函数。 通过求该二次函数的最值来得到面积的最大值或最小值。 例2．如图，抛物线其中为常数且经过点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图，连接，点P在直线下方的抛物线上，求的面积最大时点P的坐标． 【变式2-1】．如图，抛物线与轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由． 【变式2-2】．如图，已知二次函数过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； (3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由． 【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值． 需要根据条件判断或构造等腰三角形、直角三角形等。 解题要点： 等腰三角形：常用“两圆一线”法寻找点，并结合两点间距离公式列方程计算。 直角三角形：常用“两线一圆”法寻找点，并结合勾股定理或其逆定理列方程计算。有时也可利用K字形相似或斜率垂直的条件。 分类讨论是关键！因为腰（等腰）或直角边（直角）不确定，必须考虑所有可能情况。 例3．我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． (1)请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． (2)观察图象，当时，y的范围是________，当时x的范围是________ (3)设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式3-1】．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过，两点，点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点为直线上一点，作点关于轴的对称点连接当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【变式3-2】．已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】．【综合探究】 如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 要求根据条件判断或构造平行四边形、矩形、菱形、正方形。 解题要点： 平行四边形：利用对角线互相平分的性质，即中点坐标公式。若A、B、C、D构成平行四边形，则AC中点与BD中点重合。 矩形：在平行四边形基础上，增加邻边垂直（斜率乘积为-1）或对角线相等的条件。 菱形：在平行四边形基础上，增加邻边相等的条件。 正方形：同时满足菱形和矩形的条件。 核心是设未知点坐标，根据上述条件列方程求解 例4．如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式4-1】．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点A，若点A关于x轴的对称点D在一次函数的图象上． (1)求b的值； (2)若一次函数与一次函数交于B，且点B关于原点的对称点为点C．求过A，B，C三点对应的二次函数表达式； (3)在（2）的条件下P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．当四边形为菱形时，求点P的坐标． 【变式4-2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标． 1.数形结合思想：这是解决此类问题的根本。一定要养成画草图的习惯，将抽象的代数条件转化为直观的几何关系，帮助理解题意和寻找思路 2.分类讨论思想：当点的位置、图形形状不确定时（如等腰三角形的腰、直角三角形的直角顶点），必须分类讨论，做到不重不漏 2.方程与函数思想：几何条件（如线段相等、角相等、面积关系）最终都需要转化为方程来求解未知数。动点问题中，要善于将所求量表示为二次函数，利用函数性质求最值 掌握常用几何模型与工具： 将军饮马模型：求两定点到直线上一点距离和的最小值。 铅垂高模型：快速计算三角形面积。 中点坐标公式：处理平行四边形存在性问题和中点相关问题的利器。 两点间距离公式：计算线段长度，证明线段相等。 斜率公式：判断两直线是否平行或垂直。 解题步骤建议 面对一道复杂的综合题，你可以尝试按以下步骤思考： 1.审题与画图：仔细读题，明确已知条件、动点和所求结论。在坐标系中画出大致图象，标注关键点。 2.设定解析式与点坐标： 根据已知点，用待定系数法求出二次函数解析式（优先选择顶点式或交点式） 设出动点的坐标。如果点在抛物线上，可设为 (x, ax²+bx+c)；如果点在直线上，可设为 (x, kx+b)。 3..转化几何条件：将题目中的几何语言（如“面积最大”、“等腰三角形”、“平行”）转化为代数语言（方程或函数）。 4.求解与讨论： 解方程求点的坐标。 求函数表达式并确定其最值。 根据情况进行分类讨论。 5.检验与总结：将所得结果代入原题验证，看是否满足所有条件，并最终确定答案。 类型二、 面积问题 类型一、 线段与周长问题 类型三、 特殊三角形存在性 类型四、 特殊四边形存在性 通用解题策略与思想 一、 题型分类及解题策略 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 专题六二次函数与几何图形的综合(题型分类+例题精析+通用策略)(解析版) 二次函数与几何图形的综合问题是中学数学的核心难点，它要求你不仅能灵活运用二次函数和几何知识，更要掌握数形结合与分类讨论的数学思想。下面梳理了主要的题型分类和解题策略，希望能帮助你更系统地攻克这类问题。 问题类型 核心考查点 关键解题策略 线段与周长问题 线段长度的表示与计算、线段和差的最值（如“将军饮马”模型）、周长的最值 设点坐标表示长度、利用两点间距离公式、垂线段最短、对称转化、将周长问题转化为线段和问题 面积问题 三角形、四边形面积的计算与最值、面积比、等积变换 铅垂高公式（S=½×水平宽×铅垂高）、割补法、平行线法（等积变形）、将面积转化为二次函数求最值 特殊三角形存在性 等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的存在性 两圆一线（等腰）、两线一圆（直角）、勾股定理、K字形相似（直角）、两点间距离公式、分类讨论 特殊四边形存在性 平行四边形、矩形、菱形、正方形的存在性 中点坐标公式（平行四边形、矩形）、对角线性质（菱形、正方形）、邻边垂直且相等（正方形）、设点坐标并列方程求解、分类讨论 相似三角形存在性 寻找使两个三角形相似的点或条件（后续讲） 分类讨论（对应顶点不确定）、相似比列方程、角度相等（利用三角函数或斜率） 其他综合应用 函数与方程的结合、新定义问题、实际应用问题（如拱桥、利润） 理解新定义、建立函数模型、利用函数性质求最值、结合实际意义检验 这类问题常要求求线段长度、证明线段关系或求线段和的最值。 解题要点： 用点的坐标表示线段长度（平行于坐标轴的线段直接相减；一般线段用两点距离公式）。 线段和的最值问题常需利用对称变换（将军饮马模型）转化为两点间距离或点到直线的距离问题。 周长最值通常转化为线段和的最值来解决。 例1．如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求的面积． (2)若P是第四象限内抛物线上任意一点，轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值． 【答案】(1)的面积为 (2)线段的最大值为 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了待定系数法确定函数关系式、三角形面积的计算以及线段最大值的求法，解题的关键是利用函数性质求线段最大值． （1）将代入可求得抛物线的解析式，进而根据抛物线解析式求得点的坐标，易得线段，的长度，所以由三角形面积公式解答即可； （2）根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，再根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得 抛物线解析式为， ， ． 由可知，， ， 故答案为：的面积是． （2）（2）设直线的解析式为． 将点、的坐标代入函数解析式，得 解得 直线的解析式为． 设，则， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 故答案为：线段的最大值为. 【变式1-1】．已知抛物线交x轴于O，两点，顶点为，点C为的中点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点C为线段的中点，过点C作，垂足为点H，交抛物线于点E；求线段的长 (3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，直接写出的最小值 【答案】(1)； (2) (3)①点；②最小值为 【知识点】利用平行四边形的性质求解、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）根据顶点为，设抛物线，把代入解析式，计算求解即可； （2）根据顶点为．点为的中点，得到，当时，，得到，结合，垂足为，得到． （3）①根据题意，得，结合四边形是平行四边形，，所以点的纵坐标和点相同，结合点落在抛物线上，得到，解得即可； ②设点，则点，过点作直线轴，作点F关于直线l的对称点，连接，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 将点的坐标代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 即； （2）解：如图1，∵，，点是的中点， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点， ∵点的坐标为， 则； （3）解：①如图2，∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点， ∴当时，， 解得：，（舍）， ∴点； ②设点，则点， 如图3，过点作直线轴， 作点F关于直线l的对称点，连接， 则， 当，，三点共线时，为最小， 由定点，的坐标得，直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得，， 则点，点， 则最小值为：， 即最小值为． 【变式1-2】．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求一次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD周长确定最小值时，三点共线，进而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值，再求解直线的解析式即可得到的坐标． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上， 解得 抛物线的解析式为； （2）解： 对称轴为 如图，连接， 关于轴对称 的周长等于， 当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为 由抛物线解析式， 令，即， 解得， ， ， ∴，， 的周长的最小值为， ， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数，勾股定理的应用，一次函数的解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【变式1-3】．如图1，将放置在平面直角坐标系中，使边与轴重合，点在轴上，已知，过三点画抛物线． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，将此拋物线沿水平方向向左平移个单位长度，得到的新抛物线记为L，L与轴交于点D，E（点在点的左侧），与轴交于点，设的长为d． ①求关于的函数解析式； ②在抛物线平移过程中，是否存在？若存在，求出的所有可能值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①②存在， 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，熟练掌握平移规则，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，进而求出的坐标即可； （2）①求出平移后的解析式，进而求出点的坐标，利用两点间的距离列出函数关系式即可；②先求出点坐标，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∴当时，解得：，当时，， ∴，； （2）①∵， ∴平移后的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∵， ∴，即：； ②存在，由题意，点为点向左平移个单位得到， ∴， ∴， 当时，则：， 解得：或（舍去）． 故． 求图形面积或其最大值是常见的题型。 核心方法——铅垂高法： 如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解题要点： 先用铅垂高法或割补法表示出面积。 将面积表达式转化为关于动点横坐标的二次函数。 通过求该二次函数的最值来得到面积的最大值或最小值。 例2．如图，抛物线其中为常数且经过点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图，连接，点P在直线下方的抛物线上，求的面积最大时点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、三角形面积，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据抛物线与轴的交点和，设抛物线的解析式为，再把点坐标代入，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点P作轴于点D，交于点E．设点P的坐标为，则点E的坐标为，则，然后根据三角形面积公式计算即可． 【小题1】解：根据题意知抛物线与轴的交点为和， ∴设抛物线的函数解析式为． 把代入，得，解得， ∴抛物线的函数解析式为． 故答案为：抛物线的函数解析式为． 【小题2】解：如图，连接，过点P作轴于点D，交于点E． 设直线的解析式为．将代入，得 解得 直线的解析式为． 设点P的坐标为，则点E的坐标为， ， ． ，开口向下 当时，有最大值，此时点P的坐标为． 故答案为： ． 【变式2-1】．如图，抛物线与轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)存在，点的坐标为 (3)存在，最大值为 【分析】（1）根据题意可知，将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值，求得函数解析式； （2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求； （3）设，过点作轴交于点，连接、、，根据，将表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得的最大值． 【详解】（1）解：将，代入中， 可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 如图， ∵、两点关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、， ∵点是抛物线与轴的交点， ∴的坐标为， 又∵， ∴直线解析式为：， ∴点坐标即为， 解得：， ∴； （3）解：存在，理由如下： 如图，设，过点作轴交于点，连接、、， ∵， 若有最大值，则就最大， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大值为． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用． 【变式2-2】．如图，已知二次函数过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； (3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由． 【答案】(1)平移后的解析式为， (2)平移后的解析式为，顶点为； (3)存在，或 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，正确求出函数解析式是解题的关键： （1）将点，代入，求解即可得出答案； （2）先将解析式变形为，再根据二次函数的平移即可得出答案； （3）当时，，求出，，根据，得出，再得出，求解即可得出答案． 【详解】（1）将点，代入 得，， 解得，， ∴二次函数的解析式为； （2）， 由平移规律得平移后的解析式为， ∴顶点为； （3）当时，， 解得：，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵顶点为， ∴点P在x轴的上方，纵坐标为4， ∴， 解得，或， ∴或． 【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，四边形面积的最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质求出点的纵坐标是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意求出以及二次函数的对称轴，由题意可知，点和点关于对称，当点在上时，的周长最小，即可得到答案； （3）根据面积的和差，得到二次函数，根据二次函数的性质和自变量与函数值的对应关系，求出点的坐标． 【详解】（1）解：将两点坐标代入， 得， 解得， ； （2）解：设， 将，代入， ， 解得 故， ， 对称轴， 设点， 由题意可知，点和点关于对称， 当点在上时，的周长最小， 此时点， （3）解：过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设点的横坐标为，则，， 由（2）得， 则点的坐标为， ， ， 当时，四边形的面积最大， 此时点的坐标为，四边形的面积最大为． 需要根据条件判断或构造等腰三角形、直角三角形等。 解题要点： 等腰三角形：常用“两圆一线”法寻找点，并结合两点间距离公式列方程计算。 直角三角形：常用“两线一圆”法寻找点，并结合勾股定理或其逆定理列方程计算。有时也可利用K字形相似或斜率垂直的条件。 分类讨论是关键！因为腰（等腰）或直角边（直角）不确定，必须考虑所有可能情况。 例3．我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． (1)请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． (2)观察图象，当时，y的范围是________，当时x的范围是________ (3)设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)存在，或或或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合)、已知两点坐标求两点距离、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】（1）取点描点连线即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式知，其顶点为：， 抛物线和轴的交点坐标为，， 当时，，当时，， 根据上述 5 个点描点连线绘制图形如下： （2）解：∵，则或 ， ∴当时，， 当时，， 故答案为：； （3）解：存在，理由： ， ， 由点的坐标得，， 当时， 则，则，则点； 当或时， 同理可得：或， 则或， 即点或或， 综上，或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，函数作图，解不等式等，分类求解是解题的关键． 【变式3-1】．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过，两点，点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点为直线上一点，作点关于轴的对称点连接当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为 (3)当是直角三角形时，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出，两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式； （2）过点P作轴交BC于点G，设，则)，表示长，进而表示面积求最大值； （3）先求得，根据勾股定理分别表示出，根据是直角三角形时，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）对于直线，令则， ， 令则， ， ， 将点，坐标代入抛物线，得 ， ， 抛物线的解析式为：； （2）解：过点P作轴交于点G， 设，则)， ， ， 当时，的值最大，最大值为； （3）解：对应， 当时，，解得： ∴， ∵是关于轴的对称点 ∴， 如图所示， 设， ∵，， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或，则 当时， ∴ 解得：，则 综上所述，当是直角三角形时，或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理；三角形的面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想考虑问题． 【变式3-2】．已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—特殊三角形问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将解析式化为顶点式可得，再结合抛物线开口向上，与y轴交于B点，即可得解； （2）求出抛物线的解析式为，设，则，，再由勾股定理分情况计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点为， ∴， ∵抛物线开口向上，与y轴交于B点，， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， 设，则，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或． 【变式3-3】．【综合探究】 如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（）把点， 点代入即可求解； （）由抛物线的解析式为，求出，再利用待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故有，，再通过列出方程，然后解方程即可； （）分当时和当时两种情况分析即可； 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由（）得：抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：存在，理由： ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 要求根据条件判断或构造平行四边形、矩形、菱形、正方形。 解题要点： 平行四边形：利用对角线互相平分的性质，即中点坐标公式。若A、B、C、D构成平行四边形，则AC中点与BD中点重合。 矩形：在平行四边形基础上，增加邻边垂直（斜率乘积为-1）或对角线相等的条件。 菱形：在平行四边形基础上，增加邻边相等的条件。 正方形：同时满足菱形和矩形的条件。 核心是设未知点坐标，根据上述条件列方程求解 例4．如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)存在，点的坐标为或或． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（）由，，，求出，，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出直线解析式为，设，，则分当为边时，四边形为平行四边形时；当为边时，四边形为平行四边形时；当为对角线时，四边形为平行四边形时三种情况，然后根据中点坐标即可求解； 本题考查了二次函数和一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与平行四边形的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线，与轴交于，两点与轴交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在点，理由如下， ∵，， ∴设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵点在直线上， ∴设， ∵点为直线右侧抛物线上一点， 设， 由抛物线的函数表达式为， ∴， ∴当时，， ∴， 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为对角线时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点，此时与点重合； 综上可知：点的坐标为或或． 【变式4-1】．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点A，若点A关于x轴的对称点D在一次函数的图象上． (1)求b的值； (2)若一次函数与一次函数交于B，且点B关于原点的对称点为点C．求过A，B，C三点对应的二次函数表达式； (3)在（2）的条件下P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．当四边形为菱形时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或； 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题考查二次函数和一次函数综合题，准确求出二次函数表达式是解题的关键． （1）由一次函数与轴交于点，得，则，再把点代入求出值； （2）通过由两个一次函数组成方程组求出点的坐标，再由对称知识求出点的坐标，后将、、三点坐标代入即可； （3）求出直线、的解析式，再联立解得点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，点关于轴的对称点在一次函数的图象上， 点坐标为， 点坐标为， 点在一次函数的图象上， ， ； （2）解：由方程组，解得， 点坐标为， 又点为点关于原点的对称点， 点坐标为， 一次函数与轴交于点， 点坐标为， 设二次函数对应的函数表达式为， 把，，三点的坐标分别代入，得，解得， 二次函数对应的函数表达式为； （3）当四边形为菱形时，， 直线对应的函数表达式为， 直线对应的函数表达式为． 联立方程组． 解得或， 点坐标为或； 【变式4-2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的横坐标为或或或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、矩形性质理解 【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标列出关于的方程组，求解即可； （2）分三种情况：①若是斜边，则；②若是斜边，则；③若是斜边，则，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线交轴于、两点， 当时，得， 解得：或， ∴，， 设，则， ，， ∵构成的四边形是矩形， ∴是直角三角形， ①若是斜边，则， ∴， 解得：，（舍去），（舍去），此时点的横坐标为或； ②若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去），此时点的横坐标是； ③若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去），此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与几何图形的综合，矩形的性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握二次函数与几何图形的综合运用，矩形的性质是解题的关键． 【变式4-3】．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)存在，， 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质： （1）令，时，分别代入，求得点，，的坐标，设抛物线的表达式为，将代入，即可求得答案； （2）作于点，交于，可得，可得，根据二次函数的图像和性质，即可求得答案； （3）设，可得，，根据，可求得，结合， 即可就得答案． 【详解】（1）解：令时，代入， ∴ ． ∴． 令时，代入， ∴ ． ∴ ． ∵对称轴为直线， ∴． 设抛物线的表达式：，将代入，得 ． ∴． ∴抛物线的表达式为：． （2）如图所示， 作于点，交于． ∴，．     ∴． ∴． ∴当时， ． ∴． （3）存在，理由如下： 设． ∵，， ∴，． ∵以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，即． ∴． ∴． ∴． ∵， ， ∴，． ∴． 1.数形结合思想：这是解决此类问题的根本。一定要养成画草图的习惯，将抽象的代数条件转化为直观的几何关系，帮助理解题意和寻找思路 2.分类讨论思想：当点的位置、图形形状不确定时（如等腰三角形的腰、直角三角形的直角顶点），必须分类讨论，做到不重不漏 2.方程与函数思想：几何条件（如线段相等、角相等、面积关系）最终都需要转化为方程来求解未知数。动点问题中，要善于将所求量表示为二次函数，利用函数性质求最值 掌握常用几何模型与工具： 将军饮马模型：求两定点到直线上一点距离和的最小值。 铅垂高模型：快速计算三角形面积。 中点坐标公式：处理平行四边形存在性问题和中点相关问题的利器。 两点间距离公式：计算线段长度，证明线段相等。 斜率公式：判断两直线是否平行或垂直。 解题步骤建议 面对一道复杂的综合题，你可以尝试按以下步骤思考： 1.审题与画图：仔细读题，明确已知条件、动点和所求结论。在坐标系中画出大致图象，标注关键点。 2.设定解析式与点坐标： 根据已知点，用待定系数法求出二次函数解析式（优先选择顶点式或交点式） 设出动点的坐标。如果点在抛物线上，可设为 (x, ax²+bx+c)；如果点在直线上，可设为 (x, kx+b)。 3..转化几何条件：将题目中的几何语言（如“面积最大”、“等腰三角形”、“平行”）转化为代数语言（方程或函数）。 4.求解与讨论： 解方程求点的坐标。 求函数表达式并确定其最值。 根据情况进行分类讨论。 5.检验与总结：将所得结果代入原题验证，看是否满足所有条件，并最终确定答案。 类型一、 线段与周长问题 类型四、 特殊四边形存在性 通用解题策略与思想 类型二、 面积问题 一、 题型分类及解题策略 类型三、 特殊三角形存在性 学科网（北京）股份有限公司 $