专题五二次函数易错易混问题归类解析(知识点梳理+题型解析+强化拓展)2025-2026学年人教版数学九年级上册大单元教学分层优化练
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内容正文：
2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练
专题五二次函数易错易混问题归类解析(知识点梳理+题型解析+强化拓展)
二次函数是初中数学的核心内容，也是中考的必考点。掌握其易错点和解法技巧非常重要。让我为你梳理一下常见的易错题型和应对方法。
易错1.忽略二次项系数 a ≠ 0
形如 y = ax² + bx + c 的函数是二次函数的前提是 a ≠ 0。
例1．若二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
.
【变式1-1】．如果是二次函数，则的值为 ．
【变式1-2】．若二次函数的图象经过原点，则m的值为 ．
【变式1-3】．已知函数是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
易错2. 二次函数图象与性质
开口方向：由 a 的符号决定。a > 0，开口向上；a < 0，开口向下。|a| 的大小决定开口的“胖瘦”，|a|越大，开口越小。
对称轴：直线 x = -。口诀“左同右异”：对称轴在 y 轴左侧，则 a, b 同号；在右侧，则 a, b 异号。
顶点坐标： 。或将解析式化为顶点式 y = a(x - h)² + k，顶点为 (h, k)。
增减性：以对称轴为界。开口向上时，对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧增大；开口向下时，则相反。
最值：开口向上时，顶点为最小值点；开口向下时，顶点为最大值点。
例2．已知抛物线 （ 且 都是常数）经过点（3，1），且对于符合 ， 的任意实数 ，其对应的函数值 始终满足 ，则拋物线顶点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】．已知关于x的方程 有两个不相等的实数根. 则实数a 的取值范围是( ).
A．-1<a<0
B．a<-1
C．
D．
【变式2-2】．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2-3】．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
易错3.求顶点坐标时符号混淆或计算错误
计算顶点坐标时，符号是关键。顶点横坐标 x = -- 中的负号最易出错。
例3．关于二次函数 下列说法中正确的是( )
A．该函数图象的开口向下
B．该函数图象的顶点坐标是(-1，5)
C．该函数图象有最高点
D．该函数图象的对称轴为直线x=1
【变式3-1】．已知二次函数经过点与．
（1）求b，c的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
【变式3-2】．表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中
7
14
14
7
根据表中提供的信息，有以下四个判断：
①；②；③当时，的值是；④其中判断正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-3】．已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 和 ．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）当 时，请根据图象直接写出 的取值范围．
易错4.图象平移规律混淆
平移遵循 “左加右减（针对 x），上加下减（针对 y）”。
例4．若抛物线平移后经过原点，则抛物线经过了（ ）
A．向上平移个单位 B．向下平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【变式4-1】．请将二次函数化为的形式，并给出一种平移方式，使平移后的图象过原点.
【变式4-2】．已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的值；
（2）先作的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求的最大值和最小值．
【变式4-3】．已知抛物线，当时，最大值与最小值的差为，若将抛物线向左平移4个单位后经过点，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
二次函数 y = ax² + bx + c 的图象与系数 a, b, c 的关系是重难点。
系数
图象特征
判断技巧
a
开口方向与大小：a>0 向上；a<0 向下。|a|越大，开口越小。
看图象开口方向。
b
与a共同决定对称轴位置 x = -b/(2a)。
“左同右异”：看对称轴相对于 y 轴的位置。
c
与y轴交点：图象与 y 轴交于点 (0, c)。
看图象与 y 轴交点的纵坐标。
Δ
与x轴交点个数：Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点；Δ<0 无交点。
看图象与 x 轴的交点个数。
常见结论判断：
a + b + c 的值 → 看当 x=1 时对应的 y 值。
a - b + c 的值 → 看当 x=-1 时对应的 y 值。
4a + 2b + c 的值 → 看当 x=2 时对应的 y 值。
4a - 2b + c 的值 → 看当 x=-2 时对应的 y 值。
易错5 图像位置与系数关系易错
例5．如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：①，②，③，④当时，，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【变式5-1】． 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】．如图，二次函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点为B．有下列结论：①；②；③若，则；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-3】．已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
求解析式时，注意多解情况。
1顶点到 x 轴的距离问题
若顶点到 x 轴的距离为 3，则顶点纵坐标 |k| = 3，可能 k=3 或 k=-3。
2抛物线与坐标轴公共点个数
抛物线与坐标轴有 2 个公共点，可能存在两种情况：
与 x 轴有 1 个交点且与 y 轴有 1 个交点（但交点不是原点）。
与 x 轴有 2 个交点，且经过原点 (此时 c=0)。
易错6 解析式多解易错
例6．若函数的图像经过原点，函数y的最大值为16，且图像形状与抛物线相同，则此函数的表达式为_______________.
【变式6-1】．设抛物线过，C三点，其中点C在直线上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于，则该抛物线对应的函数表达式为____________.
.
【变式6-2】．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线；
乙说：与x轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足
上述全部条件的一条抛物线的解析式：________.
【变式6-3】．设抛物线过三点，其中点C在直线上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的解析式为 .
处理含参数二次函数在给定区间内的最值时，务必考虑顶点横坐标是否落在该区间内。
1.定轴动区间 / 动轴定区间
方法：数形结合，画草图，判断对称轴与区间的位置关系，结合单调性求最值。
易错7 含参问题易错
例7．已知二次函数 .
（1）当 时，函数的最大值与最小值之差为 2，求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【变式7-1】．已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【变式7-2】．在平面直角坐标系中，关于x的函数y＝-x+3a+2和y＝x2-ax的图象相交于点P、Q．
（1）若点P的横坐标为1，则a＝ ．
（2）若P、Q两点都在x轴的上方，且a≠0，则实数a的取值范围是 ．
【变式7-3】．当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ．
2.实际应用中的最值
利润问题、图形面积最大问题等，需注意自变量的实际取值范围（如边长大于0，销售单价范围等）。
易错8 最值问题易错
例8．若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（-1，1）和（1，-7），则当-3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（ ）
A．-8 B．-6 C．-3 D．0
【变式8-1】．二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（ ）
A．3或 B． C．或1 D．3
【变式8-2】．如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，，则四边形周长的最大值为 .
【变式8-3】．已知抛物线与x轴相交于不同的两点．
（1）求的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；
（3）当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值，若有，求出最值及相对应的值；若没有，请说明理由．
1.数形结合思想
养成画草图的习惯，尤其遇到比较系数符号、判断函数值大小、解不等式等问题时，图象能直观辅助分析。
2.分类讨论思想
当问题中的参数取值不同会导致结果不同时（如顶点位置不明确、开口方向需分情况等），要有分类讨论的意识。
3.验证意识
求出答案后，代入原题验证，看是否满足所有条件（如定义域、题设隐含条件等）。
3.巧设解析式
· 已知三点→ 设一般式：y = ax² + bx + c
· 已知顶点或最值→ 设顶点式：y = a(x - h)² + k
· 已知与x轴交点→ 设交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)
1．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围 ．
2．抛物线与轴交于和两点，且以下四个结论：①；②；③点在抛物线上，若，，则；④若，则关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（ ）
A．③④ B．①③ C．①③④ D．①②
3．二次函数 ，当 且 时，y的最小值为 ，最大值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线y＝ x2+bx+3的对称轴为直线x＝ 1．若关于x的一元二次方程 x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A． 12＜t≤3 B． 12＜t＜4 C． 12＜t≤4 D． 12＜t＜3
5．已知二次函数，则下列说法中正确的是（ ）
①当时，则方程有两个不同的实数根；
②若二次函数的图象过点，则该图象的对称轴为直线；
③当时，若二次函数的图象与负半轴交于和，且，方程的解为，若，则有．
④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，且，则．
A．①② B．①④ C．①③ D．③④
6．已知二次函数（为常数），
（1）若，求该二次函数图象的对称轴；
（2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值；
（3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值．
7．二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（ ）
0
1
2
4
2
4.5
5
0
A． B．
C． D．
8．已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ．
9．设二次函数（，是常数，）
（1）判断该二次函数的图象与轴的交点的个数，说明理由；
（2）若二次函数的图象经过点，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
10．如图，有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为 ．
二、
图像与系数关系易错
三、
解析式多解易错
四、
含参问题与最值易错
一、
核心概念和性质易错点
五、
解题技巧与策略归纳
六、
强化拓展
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2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练
专题五二次函数易错易混问题归类解析(知识点梳理+题型解析+强化拓展)(解析版)
二次函数是初中数学的核心内容，也是中考的必考点。掌握其易错点和解法技巧非常重要。让我为你梳理一下常见的易错题型和应对方法。
易错1.忽略二次项系数 a ≠ 0
形如 y = ax² + bx + c 的函数是二次函数的前提是 a ≠ 0。
例1．若二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，可得
∵二次函数的图象与x轴有交点，
∴且
解得：且．
故答案为：且．
【分析】将y=0代入解析式可得关于x的方程，根据图象与x轴有交点，则二次方程有解，则判别式，解不等式，结合二次函数的定义即可求出答案.
【变式1-1】．如果是二次函数，则的值为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：函数是二次函数，
，，
解得：或，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】根据二次函数的定义即可求出答案.
【变式1-2】．若二次函数的图象经过原点，则m的值为 ．
【答案】3
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
∵二次函数中，
∴，
故答案为：3．
【分析】将原点坐标代入二次函数解析式求出的值，然后由二次函数的定义中二次项系数不为0，即可得到答案.
【变式1-3】．已知函数是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
【答案】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得：或．
故答案为：或.
（2）解：∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，
∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∴，解得
∴．
故答案为：.
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】（1）利用二次函数的定义（我们把形如y=ax2+bx+c，且a≠0的解析式称为二次函数）可得：，再求解即可；
（2）利用二次函数的性质与系数的关系（①当二次函数的图象开口向上时，离对称轴越远的点的函数值越大；②当二次函数的图象开口向下时，离对称轴越远的点的函数值越小）可得，再求出m的值即可.
（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得：或．
（2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，
∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∴，解得
∴．
易错2. 二次函数图象与性质
开口方向：由 a 的符号决定。a > 0，开口向上；a < 0，开口向下。|a| 的大小决定开口的“胖瘦”，|a|越大，开口越小。
对称轴：直线 x = -。口诀“左同右异”：对称轴在 y 轴左侧，则 a, b 同号；在右侧，则 a, b 异号。
顶点坐标： 。或将解析式化为顶点式 y = a(x - h)² + k，顶点为 (h, k)。
增减性：以对称轴为界。开口向上时，对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧增大；开口向下时，则相反。
最值：开口向上时，顶点为最小值点；开口向下时，顶点为最大值点。
例2．已知抛物线 （ 且 都是常数）经过点（3，1），且对于符合 ， 的任意实数 ，其对应的函数值 始终满足 ，则拋物线顶点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵该抛物线经过点(3，1)和(0，1)，
∴该抛物线的对称轴为直线
∴点 )关于该对称轴对称的点的坐标是(4，0).
∵对于符合 的任意实数 x2，其对应的函数值y1，y2始终满足
∴该抛物线经过点( 和(4，0).
∴不妨设该抛物线的函数表达式为
代入(0，1)， 得 解得
∴当 时， ，
故答案为： B.
【分析】抛物线经过点(3，1)和(0，1)，则该抛物线的对称轴为直线 .根据题意可知 抛物线经过点( )和(4，0)，不妨设该抛物线的函数表达式为 代入(0，1)求得 进一步即可求得顶点的纵坐标.
【变式2-1】．已知关于x的方程 有两个不相等的实数根. 则实数a 的取值范围是( ).
A．-1<a<0
B．a<-1
C．
D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可知：x1x2=6>0，
∵x1<1<x2，
∴0<x1<1<x2，
设y=ax2+(a+1)x+6a
令x=0代入y=ax2+(a+1)x+6a
可得：y=6a，
令x=1代入y=ax2+(a+1)x+6a
∴可得：y=8a+1，
∴6a(8a+1)<0，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据题意可知：0<x1<1<x2，利用二次函数图象的性质即求出a的范围即可.
【变式2-2】．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：②、∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确；
①、抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
③、∵当时，取得小值，
∴，
当m为任意实数，则，故③正确，
④、∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤、当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故答案为：C．
【分析】
根据开口方向得，根据对称轴可得，与轴的交点位置交于负半轴，则，可判断 ①② ；利用最值当时，取得小值可判断③；根据对称性和图象上的点，可判断④；利用对称性可判断⑤；逐一判断即可解答．
【变式2-3】．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，，是抛物线上的三点，
且，
∴，
故答案为：D．
【分析】由题意，先将抛物线的解析式配成顶点式，根据解析式可知：a=-1＜0，可得抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，然后根据三个点到对称轴的距离即可判断求解．
易错3.求顶点坐标时符号混淆或计算错误
计算顶点坐标时，符号是关键。顶点横坐标 x = -- 中的负号最易出错。
例3．关于二次函数 下列说法中正确的是( )
A．该函数图象的开口向下
B．该函数图象的顶点坐标是(-1，5)
C．该函数图象有最高点
D．该函数图象的对称轴为直线x=1
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=(x-1)2+5中，
x2的系数为1，1>0，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是(1，5)，B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为x=1，D正确.
故答案为：D.
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及对称轴即可求解.
【变式3-1】．已知二次函数经过点与．
（1）求b，c的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
【答案】（1）解：将代入二次函数解析式得：，
解得：；
（2）二次函数解析式为，
则顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可得到b与c的值；
（2）二次函数解析式的一般式转化成化为顶点式，即可得出顶点坐标．
（1）解：将代入二次函数解析式得：，
解得：；
（2）二次函数解析式为，
则顶点坐标为．
【变式3-2】．表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中
7
14
14
7
根据表中提供的信息，有以下四个判断：
①；②；③当时，的值是；④其中判断正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】所以，据此判断即可．
【解答】解：，其对应的函数值是先增大后减小，
抛物线开口向下，
，①符合题意；
，
，②符合题意；
根据图表中的数据知，只有当是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是，故③不符合题意；
，，
，
，④符合题意．
综上，可得判断正确的是：①②④．
故答案为：C．
【分析】首先根据表格函数值的变化，可得抛物线开口向下，所以；然后根据函数值是先增大后减小，可得，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最小值，
【变式3-3】．已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 和 ．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）当 时，请根据图象直接写出 的取值范围．
【答案】（1）解：将 代入二次函数 （ 为常数） 中，
得到 ，解得 ，
∴
，，
∴顶点坐标
（2）解：令，变形为x2-x-2=0，即（x+1）（x-2）=0，
解得x=-1或x=2，
∴ 当 时，。
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）题将A、B两点代入二次函数中，利用待定系数法列出二元一次方程组，求出b、c之后即可得出二次函数的表达式，然后利用顶点坐标公式即可求出顶点坐标；（2）题先求出y=3是对应的x的两个值，因为是 ，因此取x的两个值的中间部分即可。
易错4.图象平移规律混淆
平移遵循 “左加右减（针对 x），上加下减（针对 y）”。
例4．若抛物线平移后经过原点，则抛物线经过了（ ）
A．向上平移个单位 B．向下平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：依题意，得，
A、向上平移个单位，则平移后的函数解析式为，把代入解析式，得，故不经过原点，A不符合题意；
B、向下平移个单位，则平移后的函数解析式为，把代入解析式，得，故经过原点，B符合题意；
C、向左平移个单位，则平移后的函数解析式为，把代入解析式，得，故不经过原点，C不符合题意；
D、向右平移个单位，则平移后的函数解析式为，把代入解析式，得，故不经过原点，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】先把化为顶点式，二次函数的平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，得各选项平移后的解析式，再把代入进行计算，算出时，则平移后经过原点，即可作答．
【变式4-1】．请将二次函数化为的形式，并给出一种平移方式，使平移后的图象过原点.
【答案】解：
，
该抛物线顶点坐标是：
∴向左平移2个单位，向下平移2个单位，图象过原点.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】将一般式y=x2+bx+c通过配方法化为顶点式y=a(x-m)2+k，其顶点为（m，k）；本题y=-2x2+8x-6=-2(x-2)2+2，顶点为（2，2），将其平移后使得平移后的图象经过顶点，有无数种方法，只需要在函数图象上任取一点通过平移到原点即可，本题答案是将顶点平移到原点即向左平移2个单位，向下平移2个单位，图象过原点，便于观察和操作.
【变式4-2】．已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的值；
（2）先作的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求的最大值和最小值．
【答案】解：（1）对于一元二次方程 有实数根． ，
∴△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2≥0，
∴m=1．
（2）
（2）由（1）可知= ，图象如图所示：
平移后的解析式为，即．
（3）由消去y得到，
∵ 当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时
∴△=36﹣4n﹣8≥0，
∴n≤7，
∵n≤m，m=1，
∴1≤n≤7，
令y'=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4，
∴n=2时，y'的值最小，最小值为﹣4，
n=7时，y'的值最大，最大值为21，
∴的最大值为21，最小值为﹣4．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】（1）由关于x的一元二次方程有实数根，可得△≥0，据此解答即可；
（2）由（1）可知= ，先画出此函数图象，再画出翻折．平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式即可；
（3）先令y相等，可得方程，根据当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，可得△≥0，据此确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题.
【变式4-3】．已知抛物线，当时，最大值与最小值的差为，若将抛物线向左平移4个单位后经过点，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向左平移4个单位后经过点，
∴抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点为，
又∵，离对称轴越远，函数的值越小，
当时，且，
∴当时，y有最大值，
当时，y有最小值，
由题意得，即，
∴（舍去），，
故答案为：B．
【分析】先根据平移得到过点，得到b=-2a，即可得到抛物线的解析式为，再根据二次函数的增减性得到时，y有最大值，时，y有最小值解题即可．
二次函数 y = ax² + bx + c 的图象与系数 a, b, c 的关系是重难点。
系数
图象特征
判断技巧
a
开口方向与大小：a>0 向上；a<0 向下。|a|越大，开口越小。
看图象开口方向。
b
与a共同决定对称轴位置 x = -b/(2a)。
“左同右异”：看对称轴相对于 y 轴的位置。
c
与y轴交点：图象与 y 轴交于点 (0, c)。
看图象与 y 轴交点的纵坐标。
Δ
与x轴交点个数：Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点；Δ<0 无交点。
看图象与 x 轴的交点个数。
常见结论判断：
a + b + c 的值 → 看当 x=1 时对应的 y 值。
a - b + c 的值 → 看当 x=-1 时对应的 y 值。
4a + 2b + c 的值 → 看当 x=2 时对应的 y 值。
4a - 2b + c 的值 → 看当 x=-2 时对应的 y 值。
易错5 图像位置与系数关系易错
例5．如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：①，②，③，④当时，，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x==1，
∴b=-2a＞0，即a=
∴ab＜0，故①正确；
∵当x=-1时，y=a-b+1＜0，
∴-b+1＜0，解得b＞，故②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，-a+1） ，
∴把（1，-a+1）代入 中，得-a+1=k+1，
∴，故③正确；
由图象知：当时 ，＞，
即＞，
∴ax+b＞k，故④正确.
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口和对称轴可确定a、b的符号及a、b的等量关系，从而判断①②；求出抛物线的顶点坐标为（1，-a+1） ，把顶点坐标代入直线中可得，据此判断③；由图象知：当时 ，＞，据此判断④.
【变式5-1】． 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴二次函数的的图象开口向下，对称轴为直线，
∴观察图象，可得，选项C符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出a＜0，b＜0，再求出 二次函数的的图象开口向下，对称轴为直线，最后对每个选项逐一判断即可。
【变式5-2】．如图，二次函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点为B．有下列结论：①；②；③若，则；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，故①符合题意；
二次函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，
由图可知抛物线与x轴的另一个交点为，
∴，故②符合题意；
∵抛物线与x轴交于点，
∴，
∴，
由①知，即，
∴．
∵，
∴，
∴，故③符合题意；
由图可知，二次函数的图象开口向下，有最大值，最大值为n，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故④符合题意．
综上所述，正确的有①②③④共4个．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
【变式5-3】．已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵当y> 0时，-1<x<2，
∴函数与x轴的交点为(-1，0)和(2，0)，且开口向下，故A、B、D选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据图象分析即可.
求解析式时，注意多解情况。
1顶点到 x 轴的距离问题
若顶点到 x 轴的距离为 3，则顶点纵坐标 |k| = 3，可能 k=3 或 k=-3。
2抛物线与坐标轴公共点个数
抛物线与坐标轴有 2 个公共点，可能存在两种情况：
与 x 轴有 1 个交点且与 y 轴有 1 个交点（但交点不是原点）。
与 x 轴有 2 个交点，且经过原点 (此时 c=0)。
易错6 解析式多解易错
例6．若函数的图像经过原点，函数y的最大值为16，且图像形状与抛物线相同，则此函数的表达式为_______________.
答案：或
解析：函数的图像经过原点，把代入表达式，得.
函数y的最大值为16，即函数图像的开口向下，
，顶点的纵坐标.
又图像形状与抛物线相同，
二次项系数，把，代入中，得，
函数表达式是或，
即或.
【变式6-1】．设抛物线过，C三点，其中点C在直线上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于，则该抛物线对应的函数表达式为____________.
答案：或
解析：由题意，得抛物线的对称轴为直线或.
当对称轴为直线时，设抛物线对应的函数表达式为，
把点的坐标分别代入，得解得
此时抛物线对应的函数表达式为；
当对称轴为直线时，
设抛物线对应的函数表达式为，
把点的坐标分别代入，得解得
此时抛物线对应的函数表达式为.
【变式6-2】．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线；
乙说：与x轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足
上述全部条件的一条抛物线的解析式：________.
答案：或.
解析：
【变式6-3】．设抛物线过三点，其中点C在直线上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的解析式为 .
答案：或
解析：点C在直线上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，
对称轴为或
①对称轴为直线时，设解析式为
将代入解析式
得，解得
；
②对称轴为直线时，设解析式为
将代入解析式
得，解得
综上，该函数解析式为或.
处理含参数二次函数在给定区间内的最值时，务必考虑顶点横坐标是否落在该区间内。
1.定轴动区间 / 动轴定区间
方法：数形结合，画草图，判断对称轴与区间的位置关系，结合单调性求最值。
易错7 含参问题易错
例7．已知二次函数 .
（1）当 时，函数的最大值与最小值之差为 2，求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）解： ，对称轴 ，
分类讨论： ① 当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 ，
不符合题意， 舍去.
② 当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 ，
不符合题意， 舍去.
③当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 或 不符合题意，舍去.
④当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，
解得 或 不符合题意，舍去.
综上， 或 .
（2）解：分类讨论：
① 当 时，即 ，当 时， ，即 ，解得 ，故 .
② 当 时，即 ，
当 时， ，即 ，解得 ，不符合题意，舍去.
③当 时，即 ，
当 时， ，即 ，解得 ，故 .
综上，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，再分情况讨论：① 当 时，即 ，分别求出当x=-1时y的最小值和x=1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，再作出判断；② 当 时，即 ，分别求出当x=1时y的最小值和x=-1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；③当 时，即 ，分别求出当 时y的最小值和x=1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；④当 时，即 ，分别求出当 时y的最小值和x=-1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；综上所述可得到符合题意的a的值.
（2）分类讨论： 当 时，可求出当x=1时y的最小值，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集；② 当 时，求出当x=2时y的最小值，据此可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集；③当 时，可求出当 时y的最小值，据此可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集，综上所述可得到 恒成立的a的取值范围.
【变式7-1】．已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴，即，
∴，
当时，有最大值，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：或；或；
经检验时，不符合题意；
∴，，
∴．
故答案为：D
【分析】先根据题意求出二次函数的解析式，进而得到当时，有最大值，从而得到，再结合题意即可求解。
【变式7-2】．在平面直角坐标系中，关于x的函数y＝-x+3a+2和y＝x2-ax的图象相交于点P、Q．
（1）若点P的横坐标为1，则a＝ ．
（2）若P、Q两点都在x轴的上方，且a≠0，则实数a的取值范围是 ．
【答案】（1）0
（2）a＞0或＜a＜0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）令 -x+3a+2=x2-ax，
∵点P的横坐标为1，
∴当x=1时，-1+3a+2=1-a，
解得：a=0，
故答案为：0；
（2）∵二次函数 y＝x2-ax ，1＞0，
∴二次函数图象开口向上，令x2-ax=0则，x=0或x=a，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（0，0）和（0，a），
①当a＞0时，P、Q两点都在x轴的上方，
∴当x=a时，y=-x+3a+2=-a+3a+2=2a+2＞0，
解得：a＞-1，
∴a＞0；
②当a＜0时，P、Q两点都在x轴的上方，
∴当x=0时，y=-x+3a+2=3a+2＞0，
解得：，
∴，
综上所述：实数a的取值范围是a＞0或＜a＜0 ，
故答案为： a＞0或＜a＜0 .
【分析】（1）根据题意先求出-1+3a+2=1-a，再计算求解即可；
（2）先求出二次函数图象与x轴的交点坐标为（0，0）和（0，a），再分类讨论求实数a的取值范围即可。
【变式7-3】．当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ．
【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数，
该函数的对称轴是直线，
①当时，即，，
最大值与最小值的差为3，
，
即，
解得；
②当时，即，
最大值与最小值的差为3，
，
即，
解得；
故答案为：或.
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，然后分为和两种情况，利用函数的增减性得到最大值和最小值解题即可．
2.实际应用中的最值
利润问题、图形面积最大问题等，需注意自变量的实际取值范围（如边长大于0，销售单价范围等）。
易错8 最值问题易错
例8．若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（-1，1）和（1，-7），则当-3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（ ）
A．-8 B．-6 C．-3 D．0
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意，∵函数 的图象经过点
和
∴函数为
∴当 时， 当 时，y最大值为1；当 时，y取最小值为
∴函数的最大值与最小值之和是：
故答案为：B.
【分析】依据题意，代入 和 求出b，c的值，即可得到函数解析式，再由二次函数的性质，结合 进而可以判断得解.
【变式8-1】．二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（ ）
A．3或 B． C．或1 D．3
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵a=-1，b=-2
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴二次函数的图象开口向下，在对称轴处取最大值
∴离对称轴越远函数值越小
∵，且，
∴当时，二次函数取最小值，最小值为，
∵在的范围内有最小值为，
∴，
解得：或3．
故选：A
【分析】
根据一般式求对称轴的公式，可求对称轴为直线，根据自变量x的取值范围以及对称轴可得当时，二次函数取最小值，最小值为，从而得到，即可求解．
【变式8-2】．如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，，则四边形周长的最大值为 .
【答案】6
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：当y=0时，-x2+x+2=0
解之：x1=-1，x2=2，
∴当0＜x＜2时y＞0
设点P（x，-x2+x+2），
∴矩形OAPB的周长为2（x-x2+x+2）=-2（x-1）2+6，
∵-2＜0，抛物线的开口向下，
∴当x=1时矩形OAPB的周长最大值为6.
故答案为：6.
【分析】由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到y＞0时x的取值范围；设点P（x，-x2+x+2），可得到矩形OAPB的周长与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质和x的取值范围可得到矩形OAPB的周长的最大值.
【变式8-3】．已知抛物线与x轴相交于不同的两点．
（1）求的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；
（3）当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值，若有，求出最值及相对应的值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）且；（2）（3，4）；（3）m=8时，有最大值，最大值为．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
1.数形结合思想
养成画草图的习惯，尤其遇到比较系数符号、判断函数值大小、解不等式等问题时，图象能直观辅助分析。
2.分类讨论思想
当问题中的参数取值不同会导致结果不同时（如顶点位置不明确、开口方向需分情况等），要有分类讨论的意识。
3.验证意识
求出答案后，代入原题验证，看是否满足所有条件（如定义域、题设隐含条件等）。
3.巧设解析式
· 已知三点→ 设一般式：y = ax² + bx + c
· 已知顶点或最值→ 设顶点式：y = a(x - h)² + k
· 已知与x轴交点→ 设交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)
1．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围 ．
【答案】且
【知识点】解一元一次不等式；二次函数的定义；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵是二次函数，
∴，
∵图象和x轴有交点，
∴，
解得，，
故答案为：且 ．
【分析】
根据二次函数的定义可得，根据图象和x轴有交点，可得，再根据不等式求解集即可解答．
2．抛物线与轴交于和两点，且以下四个结论：①；②；③点在抛物线上，若，，则；④若，则关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（ ）
A．③④ B．①③ C．①③④ D．①②
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；不等式的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由抛物线与x轴的交点可得其交点式为：，
展开得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
由A、B两点坐标可知抛物线对称轴为：，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∵，
∴，
∴，故②错误；
若，则，
∴，
由A、B两点坐标可知抛物线对称轴为：，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，函数值递减，
∴当时，，故③正确；
若，则抛物线为，
由点可得：，
∴，
再由可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵方程可化为，
∴，
∴，
∴时，方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上所述①③④正确，
故选： C．
【分析】利用二次函数对称性的计算方法以及不等式的形式，一元二次方程根的判别式等对每个结论逐一判断求解即可。
3．二次函数 ，当 且 时，y的最小值为 ，最大值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 的大致图象如解图，
∵ ，且 ，
∴ ， ，
①当 时，当 时，y取最小值，即 ，
解得 (舍去)或 ；
当 时，y取最大值，即 ，
解得 (舍去)或 (舍去)；
②当 时，当 时y取最小值，即 ，
解得 (舍去)或 ；
当 时，y取最大值，即 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】由 ，且 ，可得 ， ，分两种情况①当 时，得出当 时，y取最小值，当 时，y取最大值；②当 时，得出当 时y取最小值当 时，y取最大值，据此分别解答即可.
4．抛物线y＝ x2+bx+3的对称轴为直线x＝ 1．若关于x的一元二次方程 x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A． 12＜t≤3 B． 12＜t＜4 C． 12＜t≤4 D． 12＜t＜3
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1，
∴b＝−2，
∴y＝－x2−2x＋3，
∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根可以看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，
∵当x＝−1时，y＝4；当x＝3时，y＝－12，
∴函数y＝－x2−2x＋3在﹣2＜x＜3的范围内－12＜y≤4，
∴－12＜t≤4，
故答案为：C．
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解.
5．已知二次函数，则下列说法中正确的是（ ）
①当时，则方程有两个不同的实数根；
②若二次函数的图象过点，则该图象的对称轴为直线；
③当时，若二次函数的图象与负半轴交于和，且，方程的解为，若，则有．
④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，且，则．
A．①② B．①④ C．①③ D．③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵ac<0，
∴b2-4ac>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根，故正确；
②∵x=0时，y=ax2+bx+c=c，
∴二次函数的图象过点(0，c)，
∵二次函数的图象过点(2，c)，
∴图象的对称轴为直线，故错误；
③当a>0时，二次函数的图象开口向上，
∵二次函数的图象与x轴负半轴交于A(m，0)和B(n，0)，且m<n，方程-3x=ax2+bx+c的解为x1=p，x2=q，且p<q，
∴二次函数的图象与直线y=-3x交点的横坐标为p、q，
如图，
由图象可知p<m<n<q，故c错误；
④若a=-1，则二次函数为y=-x2+bx+c，
∴抛物线开口向下，
又图象与直线y=x有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<2<x2，
∴当x=2时，y=-4+2b+c>0.
∴2b+c>4，故正确.
故答案为：B.
【分析】利用根的判别式即可判断①，利用二次函数的对称性即可判断②；根据题意画出图象，结合图象即可判断③；若a=-1，则二次函数为y=-x2+bx+c，可得抛物线开口向下，又图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<2<x2，从而可得当x=2时，y=-4+2b+c>0，进而可以判断④.
6．已知二次函数（为常数），
（1）若，求该二次函数图象的对称轴；
（2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值；
（3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值．
【答案】（1）解：∵，
∴（为常数），
∴，
∴二次函数的对称轴是．
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴是．
当时，函数有最小值．即，
解得：（舍去）或；
当时，函数有最小值．即，
解得：（舍去）或
综上，或．
（3）解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，．观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大，
当时，恒成立，即时，m的最大值为．
∴，得（舍去）或3．
∴，得或．
∴m的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）先得到解析式，然后根据对称轴公式解题；
（2）先配方得到顶点式，求出对称轴为．再分为和两种情况，根据二次函数的最值列方程解题；
（3）令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，．然后借助图象解答即可．
（1）解：∵，
∴（为常数），
∴，
∴二次函数的对称轴是．
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴是．
当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或；
当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或
综上，或．
（3）解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，．
观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大，
当时，恒成立，即时，m的最大值为．
∴，得（舍去）或3．
∴，得或．
∴m的最大值为．
7．二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（ ）
0
1
2
4
2
4.5
5
0
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：设二次函数解析式为
根据题意得，
解得
∴
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，配方成顶点式求出对称轴即可解题．
8．已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数（m为常数）的图象与轴有交点，
∴．
解得：；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而增大，
∴，
∴m的取值范围是．
故答案为：．
【分析】由题可得判别式，再根据增减性得到，解出m的取值范围即可．
9．设二次函数（，是常数，）
（1）判断该二次函数的图象与轴的交点的个数，说明理由；
（2）若二次函数的图象经过点，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
【答案】解：（1）当时，
二次函数的图象与轴的交点的个数有两个或一个
（2）当时，，
∴二次函数不经过，
把点，分别代入，
得：，解得
抛物线解析式为．
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据根的判别式判断即可解答；
（2）令，则，可判断二次函数不经过，将点，代入函数解析式即可解答．
10．如图，有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为 ．
【答案】32
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16-2x）m，苗圃园面积为y，
根据题意可得：y=x（16-2x）=-2（x-4）2+32，（x<8），
∵墙长为15m，
∴16-2x≤15，
解得：0.5≤x<8，
∴当x=4时，y有最大值为32，
故答案为：32.
【分析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16-2x）m，苗圃园面积为y，再利用矩形的面积公式求出y=x（16-2x）=-2（x-4）2+32，最后利用二次函数的性质分析求解即可.
四、
含参问题与最值易错
五、
解题技巧与策略归纳
六、
强化拓展
二、
图像与系数关系易错
三、
解析式多解易错
一、
核心概念和性质易错点
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