精品解析：贵州省黔南布依族苗族自治州都匀第一中学2025-2026学年高二上学期教学质量监测考试Ⅰ数学试题

2025~2026学年度第一学期教学质量监测考试Ⅰ 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 在开学质检考试后，某小组长对本组6名同学的数学各题得分进行统计，其中6名同学在最后一道解答题的得分按从低到高的顺序排列为：6，7，8，，12，15，已知该组数据的中位数等于这组数据的极差，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 3. 已知是空间中不重合的两个平面，是空间中不重合的两条直线，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某校对学生进行跳绳测试，每个同学测3次．已知甲同学每次测试及格的概率均为，现采用随机模拟的方法估计甲同学在3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次测试的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 138 401 123 235 345 257 704 056 186 213 173 624 618 045 631 386 954 742 721 429 据随机模拟试验估计，甲同学在3次机会里至少及格2次的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 7. 如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一动点（含边界），已知，，则的最大值是（ ） A B. C. D. 8. 在正四棱柱中，，，设四棱柱的外接球的球心为，动点在矩形的边上，射线交球的表面于点，现点从点出发，沿着运动一周，则点经过的路径总长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 一般情况下，随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小 B. 如果将一枚骰子连续投掷10次，结果每次都是6点朝上，那么可以认为这枚骰子质地不均匀 C. 若事件满足，则与一定是对立事件 D. “在区间上任取一数，求这个数大于1的概率．”是古典概型 10. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的有（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. C. 直线这三线交于一点 D. 直线与平面夹角的正切值为 11. 黄金三角形是一种特殊的等腰三角形，其底与腰的长度之比为黄金比例（黄金分割比），这一比例在自然界、艺术及建筑设计中都有着广泛的应用，它象征着和谐与完美．已知在顶角为的黄金中，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比，为边上的中点，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数在复平面内对应向量为（为坐标原点），与实轴正方向的夹角为，且，则___________． 13. 已知点是的重心，点满足，若三点共线，则___________． 14. 如图，在棱长均为4的正四棱锥中，，若过点且垂直于棱的平面分别交棱于点，记的面积为，四边形的面积为，则___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是，且底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积． 16. 某校为了帮助高一学生更好地了解自己是否适合选读物理方向，在预选科之前组织了高一年级物理测试，并从中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）学校建议此次物理测试成绩在年级前学生选报物理方向，其余学生建议选报历史方向，某同学想选报物理方向，根据频率分布直方图估计，他此次物理成绩应不低于多少分才能符合学校的建议？（保留小数点后一位） 17. 已知在中，角所对的边分别为． （1）若，求的取值范围； （2）在（1）的条件下且三角形不为直角三角形，若，求的取值范围． 18. 如图，直四棱柱的所有棱长均为3，且，点是侧棱上靠近点的三等分点，点是线段上的动点（含端点）． （1）若以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立右手空间直角坐标系，请画出轴的位置，并证明； （2）将点与平面内任意一点的连线段，求这些线段长度的最小值； （3）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 定义：非零向量的“伴生函数”为，函数的“源生向量”为（其中为坐标原点）． （1）已知函数，求函数源生向量的坐标； （2）已知向量为函数的源生向量，求的值； （3）已知向量为函数源生向量，若关于的方程在区间上恰有五个不相等的实数根，求实数的取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期教学质量监测考试Ⅰ 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算逐一求解判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2. 在开学质检考试后，某小组长对本组6名同学的数学各题得分进行统计，其中6名同学在最后一道解答题的得分按从低到高的顺序排列为：6，7，8，，12，15，已知该组数据的中位数等于这组数据的极差，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求出这组数据的中位数和极差，列式运算得解. 【详解】由题，该组数据的中位数为，极差为， 所以，得. 故选：B. 3. 已知是空间中不重合的两个平面，是空间中不重合的两条直线，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线、线面关系结合充分条件、必要条件的定义分两方面说明即可. 【详解】先讨论充分性：由，知或， ，，不足以说明，理由如下： 假设且，若， 则，，但此时不成立， 故充分性不成立； 再讨论必要性：由，知或， 则存在使得， 因此可得， 又因为，所以， 故必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4. 某校对学生进行跳绳测试，每个同学测3次．已知甲同学每次测试及格的概率均为，现采用随机模拟的方法估计甲同学在3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次测试的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 138 401 123 235 345 257 704 056 186 213 173 624 618 045 631 386 954 742 721 429 据随机模拟试验估计，甲同学在3次机会里至少及格2次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到20组数据中符合题意的数据个数，然后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】依题意，在每组随机数中，至少有2个数字在4，5，6，7，8，9中， 即代表甲在跳绳测试中3次机会里至少及格2次， 经统计，20组中一共有12组符合要求， 有：345，257，704，056，186，624，618，045，386，954，742，429， 故概率为. 故选：A. 5. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理可求得，根据斜二测画法得到原图形边长即可． 【详解】因为其中轴，轴， 所以，由余弦定理得， ， 即，解得， 由斜二测画法知原为直角三角形，，， ， 所以周长为． 故选：A． 6. 在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，由可得，确定是等边三角形. 【详解】由得， 所以，又，所以. 由，根据正弦定理可得， 又，， 所以，又，所以， 由正弦定理可得.因为，所以是等边三角形. 故选：D. 7. 如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一动点（含边界），已知，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果. 【详解】由题，可知为的中点， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 所以的最大值为. 故选：D. 8. 在正四棱柱中，，，设四棱柱的外接球的球心为，动点在矩形的边上，射线交球的表面于点，现点从点出发，沿着运动一周，则点经过的路径总长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正四棱柱外接球的半径，根据题意，点经过的路径是球上的4段弧，求出圆心角代入公式可得弧长. 【详解】设正四棱柱的外接球的半径为， 因为四边形为矩形，所以正四棱柱为长方体，其外接球的直径为其体对角线的长， 则， 依题意，点的轨迹依次为球上的，，，， 因为， 所以和所对的圆心角为， 则， ，根据勾股定理，， 所以和所对的圆心角为， 则， 因此点经过的路径总长为. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 一般情况下，随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小 B. 如果将一枚骰子连续投掷10次，结果每次都6点朝上，那么可以认为这枚骰子质地不均匀 C. 若事件满足，则与一定是对立事件 D. “在区间上任取一数，求这个数大于1的概率．”是古典概型 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率与概率的关系可判断AB的真假；举反例说明C是错误的；说明概率的类型可判断D的真假. 【详解】对A：在相同条件下，试验次数越多，频率就会稳定在概率附近，故A正确； 对B：如果将一枚骰子连续投掷10次，结果每次都是6点朝上，并不能有足够的理由认为这枚骰子质地不均匀，故B错误； 对C：抛掷一枚骰子，设事件“所得点数不大于4”，事件“所得点数不大于2”，则，，，但与并不对立，故C错误； 对D：“在区间上任取一数，求这个数大于1的概率．”是几何概型，故D错误. 故选：A 10. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的有（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. C. 直线这三线交于一点 D. 直线与平面夹角的正切值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，B，由，，可得，进而判断得解；对C，设与相交于点，可得平面，平面，利用平面性质可得，得解；对D，由题可得是直线与平面所成角，求解判断. 【详解】对于A,B，如图，连接，因为分别是的中点， 所以，，则，所以共面， 故直线与直线是共面的，故A错误，B正确； 对于C，由题，平面，又与不平行， 如图，设与相交于点，又平面，平面， 则平面，平面，而平面平面， ，即直线三线交于一点，故C正确； 对于D，因为平面，所以是直线与平面所成角， 设正方体的棱长为，则，， 所以，即直线与平面所成角的正切值为，故D错误. 故选：BC 11. 黄金三角形是一种特殊的等腰三角形，其底与腰的长度之比为黄金比例（黄金分割比），这一比例在自然界、艺术及建筑设计中都有着广泛的应用，它象征着和谐与完美．已知在顶角为的黄金中，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比，为边上的中点，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意作三角形，然后由三角形内角和定理求得顶角和底角度数，设底边长得到腰长.由等腰三角形三线合一得到对应的角，由锐角三角函数得到，判断A选项；同理求得，然后判断B选项；巧用，利用正切的和差角公式化简，然后判断C选项；由二倍角公式化简，利用A选项/B选项结果结合勾股定理化简，然后代入边长即可求得结果，判断D选项. 【详解】由题意可知：，， 又∵， ∴，， ∵等腰三角形底边上中点， 由三角形三线合一可知：，， 设，则， ∴，∴A选项错误； ，B选项正确； ∵，C选项正确； ∵， 代入边长∴，D选项正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），与实轴正方向的夹角为，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点的坐标，根据已知条件求出点的横坐标，进而求解即可. 【详解】设点的坐标为，则，，， 因为，与实轴正方向的夹角为， 则， 所以. 故答案为：. 13. 已知点是的重心，点满足，若三点共线，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用重心向量公式结合向量的线性运算将用表示，利用向量共线的性质列式求解. 【详解】因为点是的重心，所以， 因为，， 所以， 又若三点共线，则，解得. 故答案为：. 14. 如图，在棱长均为4的正四棱锥中，，若过点且垂直于棱的平面分别交棱于点，记的面积为，四边形的面积为，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，设，连接，由题意可得平面，进而得到为的中点，是的中点，进而再证明是的中点，是的中点，进而求解即可. 【详解】如图，连接，设，连接， 由题，平面，则， 因为，，所以，， 故为的中点，同理，是的中点， 所以，， 又，，故，即， 又因为平面，则，且平面，与平面不垂直， 所以，且为的中点，故是的中点， 同理，是中点，故，，即四边形为平行四边形， 因为平面，平面，故， 又，平面，，故平面， 又平面，所以，又，， 所以，故四边形为矩形，且，， 所以四边形的面积， 又，，中边上的高为， 所以的面积， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是，且底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径. （2）根据三棱柱的体积公式求其体积. 小问1详解】 设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为. 由题意：. 即圆柱的底面半径为3. 【小问2详解】 因为为等边三角形，且其外接圆半径为3， 所以， 又三棱柱的高为6，所以. 16. 某校为了帮助高一学生更好地了解自己是否适合选读物理方向，在预选科之前组织了高一年级物理测试，并从中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）学校建议此次物理测试成绩在年级前的学生选报物理方向，其余学生建议选报历史方向，某同学想选报物理方向，根据频率分布直方图估计，他此次物理成绩应不低于多少分才能符合学校的建议？（保留小数点后一位） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1可求的值. （2）根据频率分布直方图估计数据的第百分位数即可. 【小问1详解】 由频率和为1可得. 【小问2详解】 成绩在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 因为，， 所以数据的第百分位数在内， 设百分位数为， 则,解得. 所以他此次物理成绩应不低于分才能符合学校的建议. 17. 已知在中，角所对的边分别为． （1）若，求的取值范围； （2）在（1）的条件下且三角形不为直角三角形，若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合基本不等式求范围； （2）切化弦，角化边，利用（1）条件求范围. 【小问1详解】 因为， 所以，当且仅当时取等号. 又，所以， 所以的范围是. 【小问2详解】 因为， 所以，化简得， 由正弦定理可化为， 所以， 又由可得，由（1）可得， 所以的取值范围是. 18. 如图，直四棱柱的所有棱长均为3，且，点是侧棱上靠近点的三等分点，点是线段上的动点（含端点）． （1）若以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立右手空间直角坐标系，请画出轴的位置，并证明； （2）将点与平面内任意一点的连线段，求这些线段长度的最小值； （3）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）3； （3）在线段上存在点在靠近的三等分点处，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用底面菱形画轴，证明线面垂直； （2）利用向量法求点到平面距离； （3）假设存在点，由二面角的余弦值列方程，确定点位置. 【小问1详解】 连接，，所以是等边三角形， 取中点，则，因为，所以， 又四棱柱为直四棱柱，所以平面， 因为平面，所以，又， 且平面，所以平面. 【小问2详解】 点与平面内任意一点的连线中，长度最小值是点到平面的距离. 由（1）所建坐标系可得：. 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 所以点到平面的距离， 即这些线段长度的最小值是3. 【小问3详解】 设存在点满足条件，设，则 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 设二面角的大小为，则由图可知为锐角， 所以，解得或（舍） 所以在线段上存在点在靠近的三等分点处，使得二面角的余弦值为. 19. 定义：非零向量的“伴生函数”为，函数的“源生向量”为（其中为坐标原点）． （1）已知函数，求函数的源生向量的坐标； （2）已知向量为函数的源生向量，求的值； （3）已知向量为函数的源生向量，若关于的方程在区间上恰有五个不相等的实数根，求实数的取值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据源生向量的定义求解； （2）由源生向量的定义可得，利用三角函数的性质求解； （3）方程可转化为在区间上恰有五个不相等的实数根，令，，去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得的范围. 【小问1详解】 因为， 由源生向量定义，可得，， 所以函数的源生向量. 【小问2详解】 因为为函数的源生向量，所以， 又，故，即， 所以，又， 所以. 【小问3详解】 由题，可得，方程，即， 整理得，令，， 当时，， 当时，， 所以， 由正弦函数的单调性可得在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，，，，，， 由方程在区间上恰有五个不相等的实数根， 故函数的图象与有且仅有五个不同的交点， 所以，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $