精品解析：广东省深圳市深圳中学龙岗学校2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷

深圳中学龙岗学校2025-2026九年级数学开学考试 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2. 如图，已知，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 3. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转角的求解，由旋转可知：，求出即可求解； 【详解】解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， 故选：A 4. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得. 【详解】设花带的宽度为，则可列方程为， 故选D． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系. 5. 如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用矩形的性质得出BD＝AC，求得线段AC的长即可得出BD的长． 【详解】解：连接AC，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC， ∵点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4）， ∴AC＝＝5， ∴BD＝AC＝5， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、两点间的距离，能够求得对角线AC的长是解答本题的关键． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其正负来判断根的情况． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 7. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 8. 如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，将正方形沿折叠，对应点恰好落在边上，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，构造矩形和全等三角形，利用勾股定理求出相关线段长度，进而求得． 【详解】解：过点作于， ∵ 四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ 四边形是矩形， ∴ ，． 由折叠可知，， ∵ ， ∴ ． 设，则， 在中，， 即， 解得，即． 在中，． ∵ 正方形沿折叠，点对应点， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 10. 如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE． 【答案】∠D=∠B（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可． 【详解】解：∵∠DAB=∠CAE ∴∠DAE=∠BAC ∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时△ABC∽△ADE． 故答案为：∠D=∠B（答案不唯一）． 11. 已知，是一元二次方程的两个根，则__． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，代入计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，． ∴． 故答案为：1． 12. 如图，在菱形中，对角线、交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可知，O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易知BD＝2OE＝2；在Rt△AOB中，根据勾股定理可求出AC＝2，最后根据菱形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC ∵DE⊥AB， ∴OE＝BD， ∴OB＝OE＝，BD＝2， 在Rt△AOB中，OA＝ ∴AC＝2 ∴菱形的面积为：＝＝ 2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质和菱形的面积计算．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，找出OE＝BD这一条件是解决此题的关键． 13. 如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ，，，． ． ，， ． ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为的长． 最小值为． ， ， 在中，，， ， 最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形三边关系等，关键是矩形性质的应用． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握基本解法是解题的关键． （1）开平方法求解； （2）公式法求解． 【小问1详解】 解： 或， 解得或， ∴原方程的解为：，； 【小问2详解】 解： ， ， ， ∴， ∴或， ∴原方程的解为：，． 15. 先化简，再求值：．其中是方程的根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解： ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 16. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到，请画出（其中的对应点分别为，，）； （2）再将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段； （3）在网格内描出两个格点，请画出直线，使得直线垂直平分线段． 【答案】（1） 如图，即为所作， ； （2） 如图，即为所作， ； （3） 如图，直线即为所作， ． 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，线段垂直平分线的性质，熟练掌握平移变换的性质、旋转变换的性质是解此题的关键． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，，，再顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，即可得出答案； （3）根据线段垂直平分线的性质画出得直线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ （2） 选择条件①，四边形为矩形， 证明：∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形， 证明：∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价0.1元，其销售量就减少1个，若设这种商品每个涨价x元． （1）用含x的代数式表示． ①每个商品的实际利润是 元； ②实际的销售量是 个． （2）为了赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，每个售价应定为多少？ 【答案】（1）①，； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握利润问题中总利润、单个利润、销售量之间的关系是解题的关键． （1）①根据利润 = 售价 进价，结合涨价金额，得出每个商品的实际利润表达式；②根据每个涨价元销售量减少个，计算出涨价元时销售量的减少量，进得出实际销售量表达式． （2）根据总利润 = 单个利润×销售量，列出方程，求解后根据尽量兼顾顾客利益的条件确定售价． 【小问1详解】 解：①∵ 进货单价为元，原售价元，涨价元， ∴ 每个商品的实际利润是元，即元． ②∵ 每个涨价元，销售量就减少个，涨价元， ∴ 销售量减少个， 又∵ 原销售量为个， ∴ 实际的销售量是个，即个． 【小问2详解】 解：根据题意得 ， 展开得：， 移项整理得：， 因式分解得：， 解得，． ∵ 要尽量兼顾顾客的利益，即售价应尽量低， ∴取，此时售价为（元）． 答：每个售价应定为元． 19. 请认真阅读，并根据理解，完成相应任务： 阅读材料： 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”，例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． 任务一： （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③． 任务二： （2）关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； 任务三： （3）若关于的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【答案】（1）①②；（2）1或；（3）或． 【解析】 【分析】（1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的新定义列出有关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出的值． 【详解】解：（1）① 解得：，， ②， 解得：， ③， 解得， 所以，属于“同伴方程”的有①② 故答案为：①②； （2）一元二次方程的解为， 当相同的根是时，则，解得； 当相同的根是时，则，解得； 综上，的值为1或； （3）∵关于的一元二次方程（） 同时满足和， ∴关于的一元二次方程的两个根是， ∵的两个根是， ∵关于的一元二次方程（）与互为“同伴方程”， ∴或． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，根的判别式，熟练掌握新定义是解题的关键． 20. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，． 【操作发现】（1）如图，固定，使绕点旋转，点恰好落在边上时，填空： ① ； ②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是 ． 【猜想论证】（2）当在如图所示的位置时，小明猜想（）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想． 【拓展探究】（3）已知，点是角平分线上一点，，交于点（如图），若在射线上存在点，使，请求出的度数． 【答案】（1）①；②； （2）证明：如图，过点D作于点M，过点A作交延长线于点， 是由绕点C旋转得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 的面积和的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）①在中，已知，，可求出．当绕点旋转，点落在上时，，进而求出； ②根据旋转的性质可得，然后得出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后证明；根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，则；由，的面积和的面积相等，从而得到与的数量关系为相等； （2）根据旋转的性质可得，，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等底等高的三角形的面积相等即可证明； （3）过点D作，连接，证明，得出此时点符合题意，求出；过点作，证明，得出，说明，点也是所求的点，求出结果即可． 【详解】解：（1）①在中，，， ． ∵， 是等边三角形， ． 故答案为：； ②∵，， ∴； 绕点旋转，点恰好落在边上， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ∴， ，， ， ， ∴； ∵， ∴的面积和的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， 的面积和的面积相等， ； 故答案为：相等； （2）略 （3）如图，过点D作，连接， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴、上的高相等， ∴， ∴此时点符合题意， 是的平分线， ， ∵， ∴； 如上图，过点作， ，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， 点也是所求的点， 此时； 综上，的度数为或． 【点晴】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳中学龙岗学校2025-2026九年级数学开学考试 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 4 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 8. 如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，将正方形沿折叠，对应点恰好落在边上，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 10. 如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE． 11. 已知，是一元二次方程的两个根，则__． 12. 如图，在菱形中，对角线、交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则菱形的面积为______． 13. 如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为______． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：．其中是方程的根． 16. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到，请画出（其中的对应点分别为，，）； （2）再将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段； （3）在网格内描出两个格点，请画出直线，使得直线垂直平分线段． 17. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 18. 将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价0.1元，其销售量就减少1个，若设这种商品每个涨价x元． （1）用含x的代数式表示． ①每个商品的实际利润是 元； ②实际的销售量是 个． （2）为了赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，每个售价应定为多少？ 19. 请认真阅读，并根据理解，完成相应任务： 阅读材料： 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”，例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． 任务一： （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③． 任务二： （2）关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； 任务三： （3）若关于的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 20. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，． 【操作发现】（1）如图，固定，使绕点旋转，点恰好落在边上时，填空： ① ； ②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是 ． 【猜想论证】（2）当在如图所示的位置时，小明猜想（）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想． 【拓展探究】（3）已知，点是角平分线上一点，，交于点（如图），若在射线上存在点，使，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $