1.3勾股定理的应用　课件　 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

1.3勾股定理的应用 第一章 勾股定理 学习目标 1.重点:运用勾股定理与逆定理解决实际问题; 2.难点:解决折叠、数形结合与最短距离问题. 勾股定理: 勾股逆定理: 直角三角形 a2+b2=c2 a2+b2=c2 直角三角形 满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数. 旧知回顾 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. C B A a b c 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 情景引入 装修工人李叔想检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于边AB. (1)如果李叔随身只带了卷尺,那么你能替他想办法完成任务吗? (2)李叔测得边AD长30cm,边AB长40cm,点B,D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗? (3)如果李叔随身只带了一把长度为20cm的刻度尺,那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗? 能,利用勾股逆定理即可. ∵302+402=502, ∴∠A=90°,即AD⊥AB. 能,做好记号,分次测量即可. 例题讲解 如图,水面宽10尺,芦苇在水面中央,且高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.请问水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 解: 设OA为x尺,则OC=OB=(x+1)尺, 在Rt△OAC中,由勾股定理得, AC2+OA2=OC2, 即52+x2=(x+1)2, 解得,x=12, ∴x+1=13, 答:水池的深度是12尺,芦苇的长度是13尺. 1.甲,乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8:00,甲先出发,他以6km/h的速度向正东行走.1小时后,乙出发,他以5km/h的速度向正北行走.上午10:00,甲,乙两人相距多远? 解: 如图,点A为甲,乙两人的出发点, 由题可知,甲前进的时间2h,乙前进的时间为1h, 则AB=2×6=12km,AC=1×5=5km, 在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+AB2=BC2, 解得BC=13km, 所以,10点时,两人相距13km. 小试牛刀 如图,正方形纸片ABCD的边长为8cm,点E是AD的中点,将这张纸片翻折,使点C落到点E处,折痕为GF.求DF的长. 例题讲解 解: 设DF为x,则EF=CF=8-x, ∵四边形ABCD是正方形,E是AD的中点, ∴∠D=90°,DE=4, 由勾股定理得,DF2+DE2=EF2, 即x2+42=(8-x)2, 解得DF=3. 题型1 折叠问题 折叠导致相等. 小试牛刀 2. C 如图,是一个滑梯的示意图,若将AC水平放置,则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m.CD=1m,试求滑道AC的长. 解: 设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm, AE的长度为(x-1)m. x x-1 3 1 1 在Rt△ACE中,由勾股定理得AE2+CE2=AC2, 即(x-1)2+32=x2,解得x=5, 所以,滑道AC的长为5m. 例题讲解 题型2 数形结合问题 3.有一个高为1.5m,半径是1m 的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为0.5m,问这根铁棒有多长? 解: 设铁棒伸入油桶中的长度为xm, 则最长时,有x2=1.52+22,解得x=2.5m, 所以,最大长度是2.5+0.5=3m, 最短时,x=1.5m, 所以,最短长度是1.5+0.5=2m, 答:这根铁棒的长度在2-3m之间. 小试牛刀 课堂小结 勾 股 定 理 解 题 步 骤 : 1.设未知数(求啥设啥); 2.列出勾股定理方程; 4.答:注意带单位. 3.解方程; 如图,正方体的棱长为10cm,顶点A处有一只蚂蚁,现要向顶点B处爬行,已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s,且速度保持不变,问蚂蚁能否在20s内从A爬到B? 食物 A B 展开图 A B B 10 10 10 C 例题讲解 题型3 最短距离问题 A B B 解: 不能,理由如下: 10 10 10 C 由题可知,AC=20cm,BC=10cm, ∠C=90°, 由勾股定理得,AC2+BC2=AB2, 所以,AB2=202+102=500, 所以,蚂蚁不能在20s内到达B处. 如图,正方体的棱长为10cm,顶点A处有一只蚂蚁,现要向顶点B处爬行,已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s,且速度保持不变,问蚂蚁能否在20s内从A爬到B? 例题讲解 A B C 如图,长方体的高为3cm,底面是正方形,边长为2cm.动点P从点A出发,沿长方体表面到达B处,则点P经过的最短距离是多少? 小试牛刀 解: 如图,由题意得,AC=4cm, BC=3cm,∠C=90°, 由勾股定理得, AC2+BC2=AB2, 解得,AB=5cm, 所以,点P经过的最短距离是5cm. 1个直角三角形 2个直角三角形 3个直角三角形 11个直角三角形 21个直角三角形 101个直角三角形 从海螺图中发现了什么？ 初始直角边都为1时，第n个 Rt三角形的斜边长为 趣味数学:海螺图 如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1= ；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2= ; 又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3= ；...依次继续作下去，由勾股定理得OP2021= 加餐训练 习题1.3 1.如图(单位:cm),阴影部分是一个长方形,它的面积是多少? 设Rt△的斜边为xcm, 解得x=17cm, ∴S长方形=17×3=51cm2 由勾股定理得,82+152=x2, 解: 习题1.3 2.如图,一座城墙高11.7m,墙外有一条护城河,在护城河外9m处架一架长15m的云梯,该云梯能否抵达城墙的顶端? 能,理由如下: ∵11.7m＜12m, ∴该云梯能抵达城墙的顶端. 由勾股定理得,92+122=152, 解: $