第2章 一元二次方程 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

小结与复习 第二章 一元二次方程 优翼数学教学课件（XJ）九上 一、一元二次方程的基本概念 1.定义： 如果一个方程通过整理可以使右边为 0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程. 2.一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为已知数，a ≠ 0) 要点梳理 3.项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 中， 一次项：ax2 一次项系数：a 二次项：bx 二次项系数：b 常数项：c 4.注意事项： (1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为 2； (3) 二次项系数不为 0； (4) 整式方程． 二、解一元二次方程的方法 一元二次方程的各种解法及适用类型 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) (ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0) ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 三、一元二次方程的实际应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系； （2）设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法； （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节至关重要，决定着能否顺利解决实际问题； （4）解方程：用适当的方法求出方程的根； （5）检验：一验所得根是否方程的根，二验是否符合题意和实际； （6）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 考点一 一元二次方程的定义 例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ） A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0 解析：本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须有二次项 (二次项系数不为 0)，因此它的系数 m - 1 ≠ 0. A 1. 方程 5x2 - x - 3 = x2 - 3 + x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 4 -2 0 针对训练 考点讲练 考点二 一元二次方程的根的定义的应用 解析：根据一元二次方程根的定义可知，将 x = 0 代入原方程，左右两边相等，则有 m2 - 1 = 0，解得 m = ±1.舍去 1，应填 -1. 这种解题方法我们称之为“有根必代”. 例2 若关于 x 的一元二次方程 (m - 1)x2 + x + m2 - 1 = 0 有一个根为 0，则 m = . 【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意. -1 2. 一元二次方程 x2 + px - 2 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为 . -1 针对训练 【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是 1；(a - b)2 与 (a + b)2 要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将所得边长相加，而应养成检验三边长能否构成三角形的好习惯. 解析：(1) 配方法的关键是配上一次项系数一半的平方； (2) 先求出方程 x2﹣13x + 36 = 0 的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长. 考点三 一元二次方程的解法 例3 (1) 用配方法解方程 x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变为（ ） A.(x - 1)2 = 6 B.(x + 2)2 = 9 C.(x + 1)2 = 6 D.(x - 2)2 = 9 (2) (易错题) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣13x + 36 = 0 的根，则该三角形的周长为（　 ） A．13 B． 15 C．18 D．13 或 18 A A 3. 用公式法和配方法分别解方程：x2 - 4x - 1 = 0（要求写出必要解题步骤）. 解1： 3. 用公式法和配方法分别解方程：x2 - 4x - 1 = 0（要求写出必要解题步骤）. 解2： 考点四 一元二次方程的根的判别式的应用 例4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 3m = 4x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. B. m < 2 C. m≥0 D. m < 0 A 【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定 a，b，c 的值. 解析：根据方程根的情况可知，判别式 Δ > 0，即 42 - 4×1×(-3m) = 16 + 12m > 0，解得 . 4. 下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. x2 + x = 0 B. 5x2 - 4x - 1 = 0 C. 3x2 - 4x + 1 = 0 D. 4x2 - 5x + 2 = 0 5.（开放题）若关于 x 的一元二次方程 x2 - x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是　　（写出一个即可）． D 0 针对训练 考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程 x2 - 4x - 3 = 0 的两根为 m，n，则 m2 - mn + n2 = ． 25 解析：由根与系数的关系可知 m + n = 4，mn = -3，故 m2 - mn + n2 = (m + n)2 - 3mn = 16 + 9 = 25. 【重要变形式】 6. 已知方程 2x2 + 4x - 3 = 0 的两根分别为 x1 和 x2，则 x12 + x22 的值等于（ ） A. 7 B. -2 C. D. A 针对训练 考点六 一元二次方程的实际应用 例 6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24 元时，平均每天能售出 32 件；而当销售价每上涨 2 元时，平均每天就少售出 4 件. (1) 若公司每天的销售价为 x 元，求每天的销售量； (2) 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？ 销售问题 解析：本题为销售中的利润问题，设公司每天的销售价为 x 元. 则其基本数量关系列表分析如下： 单件利润(元) 销售量(件) 每天利润(元) 正常销售 涨价销售 4 32 x - 20 32 - 2(x - 24) 150 其等量关系是：总利润 = 单件利润×销售量. 解：(1) 32 - (x - 24) ÷2×4 = 80 - 2x (件). (2) 由题意可得 (x - 20)(80 - 2x) = 150. 解得 x1 = 25，x2 = 35. ∵ x≤28，∴ x = 25，即销售价应当为 25 元. 【易错提示】销售量是在正常销售的基础上减少.要注意验根. 128 例7 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售. 由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销. 小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售. 求平均每次下调的百分率是多少. 解：设平均每次下调的百分率是 x，根据题意得 5(1 - x)2 = 3.2. 解得 x1 = 1.8 (舍去)，x2 = 0.2 = 20%. 答：平均每次下调的百分率是 20%. 平均变化率问题 例8 某单位准备将院内一个长为 30 m，宽为 20 m 的矩形空地建成一个花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为 532 m2，那么小道的宽度应为多少米？(所有小道的进出口宽度相等，且每段小道为平行四边形) 解：设小道进出口的宽为 x m， 根据题意得 (30 − 2x)(20 − x) = 532， 解得 x1 = 1，x2 = 34. 答：小道进出口的宽度应为 1 m. ∵30 − 2x＞0，20 − x＞0， ∴x＜15. ∴x = 1. 解决有关图形面积问题时，除了掌握所学面积公式，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解. （注：这里的横坚斜小路的的水平宽度都相等） 平移转化 方法总结 一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念：①整式方程；②一元；③二次 一般形式：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 课堂小结 根的判别式及 根与系数的关系 根的判别式：Δ = b2 - 4ac 根与系数的关系 一元二次方程的应用 营销问题、平均变化率问题 几何问题、行程问题 一元二次方程 一元二次方程的定义 一元二次方程的解法 课堂小结 见教材章末练习 课后作业 $