专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（5个知识点+8大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训 （5个知识点+8大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 因式分解法解一元二次方程 题型四 换元法解一元二次方程 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 配方法的应用 拓展训练一 配方法求最值 拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算 拓展训练三 一元二次方程的解含参综合 拓展训练四 换元法综合 拓展训练五 一元二次方程解法与几何问题 知识点一、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）方程的根是（     ） A．x1＝，x2＝ B．x1＝1，x2＝ C．x1＝x2＝ D．x1＝，x2＝5 【答案】A 【分析】由，利用直接开平方法可得：或，从而可得答案． 【详解】解： 或， 故选： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 2．（24-25九年级上·湖南常德·课后作业）已知，则 ． 【答案】1 【分析】利用直接开方法即可得． 【详解】，即， 直接开方法得：， 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解方程，将作为一个整体，看成未知数是解题关键． 知识点二、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键．将常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选C． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）如果方程可以配方成，那么 ． 【答案】 【分析】先将方程进行配方，求出m和n的值，再代入求解即可． 【详解】解：， 移项得，， 两边同时加上4得，， 写成完全平方形式，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了将一元二次方程进行配方，解题的关键是熟练掌握配方的方法和步骤． 知识点三、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先化为一元二次方程的一般形式，将的值代入，即可求解． 【详解】解：，即 ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）用公式法解方程，其中的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查判别式的计算，由一般式得到的值，代入计算即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 知识点四、用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）方程 的解是（   ） A．， B． C．， D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法，由题意可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：， 或， 解得：，， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 知识点五、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解答此题的关键． 根据一元二次方程有实数根，列不等式求解即可． 【详解】解析：关于x的方程有实数根， ， 解得， 故选C． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，根据一元二次方程判别式公式，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程的判别式是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程， ， ， 故答案为：． 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，题目比较简单，要注意正数有2个平方根． 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，是一个简单的数值运算程序，则输入的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据数值运算程序可得一个关于x的一元二次方程，再利用直接开平方法解方程即可得． 【详解】由题意得：， ， ， ， 即或， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据数值运算程序正确建立方程是解题关键． 2．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）已知，则 ． 【答案】8 【分析】将等号两边同时开平方，解出的值，再根据的非负性进行取舍即可． 【详解】， ， =8或－10， ≥0， =8．         故答案为：8． 【点睛】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的步骤，方程若能化为形如的形式，那么可得，需要注意的是两数平方的和的非负性． 3．（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）小刚在解关于的方程时，只抄对了，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的值比原方程的值小1．则原方程的根为 ． 【答案】 【分析】先根据题意求出c的值，从而可得原方程，再利用直接开方法解方程即可得． 【详解】由题意得：是关于x的方程的一个根， 则， 解得， 所以原方程为， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程的根的定义、利用直接开方法解一元二次方程，依据方程的根的定义求出c的值是解题关键． 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）按要求解下列关于的一元二次方程． (1)；（用直接开平方法） (2)；（配方法） (3)．（公式法） 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了直接开平方法、配方法、公式法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得，，； （2）解：， ， ， ， 解得，，； （3）解：， ， ∴， 解得，． 【经典例题二 配方法解一元二次方程】 【例2】（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）将一元二次方程配方后，可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 先把常数项移到方程右侧，再将二次项的系数化为1，然后把方程左边写成完全平方形式，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 则， 故， ∴． 故选：B． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）将一元二次方程化成的形式，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法，先移项得，配方得，即，即可求解，掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：方程移项得，， 配方得，， 即， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）将改写成的形式为 ． 【答案】 【分析】先移项得到x2+6x=-1，再把方程两边加上9，然后利用完全平方公式即可得到（x+3）2=8． 【详解】解：方程， 移项：， 配方得：x2+6x+9=-1+9=8，即（x+3）2=8， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．注意方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 3．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是 ． 【答案】-4，21 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：∵x2-8x-5=0， ∴x2-8x=5， 则x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21， ∴a=-4，b=21， 故答案为：-4，21． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 4．（24-25九年级上·湖南常德·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【答案】；；； ；（1）；；（2） ；；（3）此方程无实数根 【分析】利用配方法得，然后分三种情况讨论：（1）当时，（2）当时，（3）当时，分别求解即可． 本题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的过程，并进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ，； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为：，； （3）当时，此方程无实数根． 故答案为：；；； ；（1）；；（2） ；． 【经典例题三 因式分解法解一元二次方程】 【例3】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：C． 1．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程的应用．由，可得，代入原方程可得，因式分解后得，可知一定是关于x的方程的根． 【详解】解：， ， 可变形为， ， ，， 故一定是关于x的方程的根， 故选A． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了非负数的性质、解一元二次方程，由非负数的性质可得，，再解一元二次方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解可得或， 解得或， 综上所述，， 故答案为：． 3．（2025·湖南常德·模拟预测）代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程，这是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为，请你运用代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根 和 ，并在解题过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用． 【答案】 【分析】本题考查了代数基本定理解高次方程，解一元二次方程． 设另外两根是的根，由其中一个根为，则可化为，求出，，得到，求解即可． 【详解】设另外两根是的根， ∵已知其中一个根为， ∴可化为， 即， 计算得， 可得，， ∴， 解得，， 故答案为：，． 4．（24-25九年级上·广东东莞·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把原方程两边同时除以2，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ，即， ， 解得：，． 【经典例题四 换元法解一元二次方程】 【例4】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用换元法解方程是解题的关键． 设，则方程可化为，，是方程的解；方程可化为，得或，从而求出的值即可． 【详解】解：设，则方程可化为， ∴，是方程的解， 则方程可化为， ∴或，即或， ∴或，即，． 故选：． 1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）【问题背景】“整体替换法”是数学里的一种常用计算方法．利用式子的特征进行整体代换，往往能解决许多看似复杂的问题． 【迁移运用】计算的值 解：设原式，则可分析得： 根据上述方程解得：， 而原式，故：原式 【联系拓展】___________ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目呈现的“整体替换法”，令，，作差即可求解． 【详解】解：设，， 则， 故选：B． 【点睛】本题为新定义类型问题的考查，解题的关键是读懂题目中“整体替换法”的概念，应用到解题当中． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）方程的解是，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】根据方程的解是，可知方程的解比方程的解小2，从而可以得到方程的解． 【详解】解：∵方程的解是， ∴方程的两个解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出所求方程的解． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在利用方程，求时，嘉琪令则原方程转化为 ，聪明又谨慎的你可以利用得到的值为 ． 【答案】 【分析】先用换元法得到一元二次方程，注意，然后用因式分解法解一元二次方程，保留有意义的根，舍去不符合题意的根 【详解】∵， ∴令，则， ∴， ∴， ∴或， ∴（舍）或， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，注意隐含条件的判断是解决问题的关键 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【答案】(1)， (2)，； 【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可； （2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 故原方程的解为：，， 故答案为：，． （2）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得：，； 当时，，即， ， 方程无解； 故原方程的解为：，． 【经典例题五 公式法解一元二次方程】 【例5】（24-25九年级·湖南湘潭·阶段练习）已知正数x，y满足方程，求（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】由，得出x和的值，再代入求解即可． 【详解】解：解方程得：，（舍）， 解方程得：，（舍）， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是求出x和的值． 1．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a2），BC＝2．以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F．下列哪条线段的长度是方程的一个根（  ） A．线段AE的长 B．线段BF的长 C．线段BD的长 D．线段DF的长 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出BF，利用求根公式解方程，比较即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴CD=AB=a 在Rt△BCD中，由勾股定理得，， ∴BF=， 解方程得， ∴线段BF的长是方程的一个根． 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 2．（24-25九年级·湖南湘潭·阶段练习）若 个连续正整数之和为 2010 ， 则 的最大值为 ． 【答案】60 【分析】本题考查利用公式法求解一元二次方程，此题中涉及的公式有：．设第一个正整数是，则第个正整数是．根据进行分析求解． 【详解】设第一个正整数是，则第个正整数是，则越小，越大， 根据题意，得， ∴， 整理得， ， 解得 ∵，都是正整数， ∴，且为最小的平方数， ∵， ∴， 解得（只求正整数）， 此时， 故答案为：60． 3．（2025·湖南娄底·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式（其中a，r是有理数）得到二次根式的近似值．例如求的近似值的具体算法是：因，应用近似公式求得；再因，应用近似公式求得；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．类似的，当取得近似值时，近似公式中的 ， ． 【答案】 或 或 【分析】由题目可知，取得近似值，根据近似公式，可得，求解即可．本题考查的是估算无理数的大小和二次根式的性质与化简，熟练掌握上述近似公式的求解方法是解题的关键． 【详解】解：取得近似值， 根据近似公式，可得， 解得：或， 或，或， 故答案为：或，或． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）（1）用公式法解方程：； （2）用配方法解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、公式法是解答本题的关键． （1）先求出，然后代入公式即可； （2）先把8移到方程的右边，然后方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 即． （2）原方程变形为， 配方，得， 即， ∴或， ∴． 【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例6】（2025·湖南株洲·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．实数根的个数由的值确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：关于的一元二次方程根的判别式为， 则这个方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 1．（2025·湖南常德·模拟预测）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）已知，，是整数，满足，，，若关于的方程的解只有一个值，则的值是 ． 【答案】或或 【分析】由结合，为整数可求出将其代入中可求出的值，结合可确定的值，将，的值代入中，分二次项系数为零及非零两种情况找出的值，此题得解． 【详解】解：，即， ， ，同号， ， ，只能同时为正数， ，只可能一个是，一个是， ， 将代入， 得， 或， ， ， 方程可变为， 当时，原方程为， 解得：， 符合题意， 当时，， 解得：或， 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，依照已知条件求出，的值是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）关于x的一元二次方程；给出下列说法：①若，则方程必有实数根；②若，则方程必有两个不相等的实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】利用可判断，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用得到，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用得到，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于，不能判断与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断． 【详解】解：当，即，则，方程必有两个不相等的实数根，所以①符合题意； 当，即，则，方程必有两实数根，所以②不符合题意； 当，则，方程必有两个不相等的实数根，所以③符合题意； 当时，可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④不符合题意． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 4．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 【答案】(1)①是；②当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根 (2)见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用、一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）①依据题意，将代入方程的左边，右边，进而可以判断得解； ②依据题意，由，从而，进而可得或，故可判断得解； （2）依据题意，当时，，又，则，从而，即，最后可以判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，当时， 左边，右边． 左边右边． 是方程的解． ②由题意，， ． 或． 令，则， 当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根． （2）证明：由题意，当时，． ， ． ． ． ． 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例7】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可， 【详解】解：：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，即：， 解得：， ∵关于x的一元二次方程中， ∴k的取值范围是且， 故选：A． 1．（2025·湖南怀化·模拟预测）已知关于的一元二次方程为常数，且，下列说法： ①若，则； ②若，则方程必有一个根为0； ③若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则关于的一元二次方程有两个不相等的实根； 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及性质，根据一元二次方程根与判别式的关系以及性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：①若，则是方程的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知，故①正确； ②若，则，即，所以或，所以方程必有一个根为0，故②正确； ③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，则，当且时，关于x的一元二次方程才有两个不相等的实根，故③错误， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 3．（2025·湖南株洲·模拟预测）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 故答案为①④． 4．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）已知实数a，b，c满足：． (1)求a，b，c中的最小者的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了代数式的求值，绝对值的意义，一元二次方程的解，根的判别式等知识，根据题意列出等式是解题的关键． （1）不妨设a是a，b，c中的最小者，即，由题设知，且，，于是b，c是一元二次方程的两实根，由根的判别式进行判断即可； （2）用分类讨论的思想，解决问题即可． 【详解】（1）解：不妨设a是a，b，c中的最小者，即，由题设知， 且，，于是b，c是一元二次方程的两实根， 即△， 则 ∴， 所以； 又当时，满足题意． 故a，b，c中最小者的最大值． （2）因为，所以a，b，c为全小于0或二正一负． ①当a，b，c为全小于0，则由（1）知，a，b，c中的最小者不大于，这与矛盾． ②若a，b，c为二正一负，设，则， 当时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故的最小值为6 【经典例题八 配方法的应用】 【例8】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）无论x为何值，关于x的多项式﹣x2+3x+m的值都为负数，则常数m的取值范围是（　　） A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜ 【答案】B 【分析】首先判断出：﹣x2+3x+m＝﹣（x﹣3）2+m+，然后根据偶次方的非负性质，可得-（x﹣3）2+m+≤m+，再根据无论x为何值，﹣x2+3x+m＜0，推得m+＜0，据此判断出常数m的取值范围即可． 【详解】解：∵﹣x2+3x+m＝﹣（x2﹣6x+9）+m+＝﹣（x﹣3）2+m+ ∵﹣（x﹣3）2≤0， ∴﹣（x﹣3）2+m+≤m+， ∵无论x为何值，﹣x2+3x+m＜0， ∴m+＜0， 解得m＜﹣． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是配方法的应用，将多项式进行配方是解此题的关键． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．首先根据题意可得，然后根据图形写出剩下的钢板面积，然后利用配方法可把代数式配成的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案． 【详解】解：∵， ∴，则， 根据图形可得：剩下的钢板面积 ； ∵， ∴，即剩下的钢板面积， ∴剩下的钢板面积的最大值为，只有选项B符合； 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】把已知条件式相加得到，利用非负数的性质求出a、b、c的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确根据已知条件式推出是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖南常德·期中）新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为2023． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）“题载思想”，马明同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自他的一篇究错日记，请你对马明所编的习题进行解答． 【错题日期】 9月18日 【错题来源】 当堂测验 【错题重现】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值很小，最小值是多少？ 【所属考点】 配方法的应用 【错因分析】 误把代数式变形等同于方程变形，把二次项系数化为1时，直接除以二次项系数，导致本题错误． 【马明编题】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？ 【答案】证明见解析；当x取1时，这个代数式的值最大，最大值是 【分析】本题考查了配方法的应用：配方法的理论依据是公式．二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．首先将代数式变形为，根据非负数的意义即可得到结论．首先将代数式变形为，根据非负数的意义即可得到结论． 【详解】解：， 不论取何值，这个代数式的值总是正数；当取1时，这个代数式的值很小，最小值是5； ， 不论取何值，这个代数式的值总是负数；当取1时，这个代数式的值最大，最大值是． 【拓展训练一 配方法求最值】 1．（24-25九年级上·湖南常德·期中）定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．则代数式的最大值是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，先将变形为，再利用“同族二次方程”定义列出关系式，得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定代数式的最小值．理解“同族二次方程”的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 即， ∵与是“同族二次方程”， ∴与是“同族二次方程”， ∴，， 解得：，， 则 ， 当时，取最大值2024， 故选A． 2．（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数、满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了配方法的应用，不等式的性质，由已知式子表示出y，代入中，配方后再利用非负数的性质以及不等式的性质求出最大值即可． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， ∴当时，有最大值，最大值为：2． 故答案为：2． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： (1)请用上述方法把分解因式； (2)求多项式的最小值； (3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法的应用是解题的关键：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． （1）按照题干中所给的方法，利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法将多项式变形为，然后利用完全平方式的非负性即可求出多项式的最小值； （3）利用配方法将多项式变形为，然后利用完全平方式的非负性即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为1； （3）解：∵ ， 又∵，， ∴， ∴无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算】 1．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴， ∴， ， 解得：， ， ∵， ∴， 当时，能取的最小值是2024， 故选：． 2．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”． 如与是“同类方程”． （1）若与是“同类方程”，则 ． （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 【答案】 2026 【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． ∴当时，取得最大值为2026． 故答案为：2026． 3．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 【答案】(1)①，；②， (2)2或 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）①利用公式法解一元二次方程即可； ②利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后分别列出方程求解即可． 【详解】（1）（1）① ，， ∴ 解得，； ② ， 解得，； （2）根据题意得， 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 综上所述，的值为2或． 【拓展训练三 一元二次方程的解含参综合】 1．（24-25九年级上·湖南张家界汉·阶段练习）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小豪设计了一个数学探究活动，对正奇数从小到大按如下规律进行操作：，，，……其操作规则为：正奇数在第个括号中从左到右的第个数，记为，正奇数在第个括号中从左到右的第个数，记为，按此规律：正奇数记为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，利用公式法解一元二次方程，代数式求值，找出数字之间的运算规律是解题关键． 设为序号，求得是第个奇数，设第组包含个奇数，令，解得正奇数在第组的第个数，代入代数式即可求解． 【详解】解：正奇数为，，，，，……，， 设为序号，则每个奇数可表示为， ，解得：，即是第个奇数， 根据题意，第组有个奇数，第组有个奇数，第组有个奇数， 依此类推，设第组包含个奇数，则前组一共有个奇数， 令，解得：（负值舍去）， ， 当时，前组共有个奇数， 当时，前组共有个奇数， ， 正奇数在第组，即， ， 正奇数在第组的第个，即， ． 故选：D． 2．（2025·湖南岳阳·模拟预测）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于的方程是邻根方程，则 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是求出的两个根，再根据邻根方程的定义列出方程，求出字母的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵关于的方程是邻根方程， ∴或， 解得，或3， 故答案为：1或3． 3．（24-25九年级上·湖南常德·期末）下面是爱思考的小颖同学在学习了一元二次方程的解法之后，又探索发现了一元二次方程的另一种解法．请认真阅读小颖同学的解法，并完成下面的相关任务． 【阅读材料】 解方程：． 小颖同学的解法：将原方程变形，得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． 【用以致学】 请运用小颖同学的解法解下列方程： （1）； （2）． 【总结感悟】 （3）若在用小颖的方法解关于的方程（，，是常数）时，可将其变形为（也是常数），则_____，_____．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）由材料中的解法求解即可得到答案； （2）由材料中的解法求解即可得到答案； （3）由材料中的解法，列方程组求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， 则令，解得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． （2）， 则令，解得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． （3）将关于的方程（，，是常数）变形为（也是常数）， ，解得， 故答案为：；． 【点睛】本题考查阅读理解，探究一元二次方程的新解法，涉及构造二元一次方程组解决问题、解二元一次方程组、平方差公式、直接开平方法、开方运算等知识，读懂题意，理解阅读材料中的解法是解决问题的关键． 【拓展训练四 换元法综合】 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中求解方法是解答的关键．设，则原方程可化为，解方程得，，再解方程和，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根，舍去； 当时， ，即， 解得，， ∴原方程的解为，． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程的根为； (2)故原方程的根为． 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程和分式方程等知识点， (1)设，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案； (2)设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可； 熟练掌握通过阅读掌握换元法的一般步骤是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 解得, 当时，,即, ∵， ∴方程无解， 当时，,即, 解得，, 故原方程的根为； （2）解：设,原方程可化为，即, 解得, 当时，, 解得,经检验是原方程的解， 当,时，, 解得,经检验是原方程的解， 故原方程的根为． 3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）一般解方程的方法是消元或降次，请同学们认真阅读下面的材料，然后回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为． 解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，．我们把这种方法叫做换元法． 请同学们仿照上面阅读材料中的方法解方程 【答案】方程的根为， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，根据题目中的例子和换元法解方程的方法即可解答，解答本题的关键是理解题意，熟练掌握换元法． 【详解】解：设，原方程可变为， 解得：，， 当时，，解得，， 当时，，即， ∵， ∴此时方程无实根， ∴方程的根为，． 【拓展训练五 一元二次方程解法与几何问题】 1．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，甲、乙两个图形都由长方形或正方形拼成，边长数据如图所示． (1)若甲、乙两图的外轮廓周长相等，求x的值； (2)求甲图的面积（用含x的代数式表示）； (3)若甲图的面积比乙图的面积大1，求乙图的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求长方形的周长和面积、整式的乘法运算、解一元二次方程．核心素养表现为抽象能力和运算能力． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可求解； （2）利用长方形的面积公式列式即可； （3）根据，得到，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：； （3）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）我们知道：；，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： (1)探究：当a取不同的实数时，求代数式的最小值． (2)应用：如图．已知线段，M是上的一个动点，设，再以、为一组邻边作长方形．问：当点M在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；否则请说明理由． 【答案】(1)当时，代数式存在最小值为 (2)当时，存在最大值，最大值为 【分析】（1）仿照题干，配方后利用非负数的性质确定出结果即可； （2）设长方形的面积为S，根据题意列出S与x的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， 而， ∴当时，代数式存在最小值为； （2）设长方形的面积为S， 根据题意得：， 而， ∴当时，S存在最大值9． 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； (2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 【答案】(1)；， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程—配方法，数形结合是关键 （1）根据赵爽的解法变形一元二次方程，画出大正方形，构造新方程，求出方程的一个正解即可； （2）仿照赵爽的解法变形一元二次方程，构造新的关于x的方程，解出正数解即可． 【详解】（1）解：第一步，将原方程变为，变形得：， 第二步，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图： 第三步，根据大正方形的面积可得新的方程：， 解得原方程的一个根为． 故答案为：；，； （2）解：方程变形为：， 根据赵爽的解法可造方程为：， ∵，， ∴（舍去负值）， ∴， ∴原方程的一个正数解为：． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知关于x的一元二次方程（x+3）2＝4的根是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣7 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝﹣1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣1，x2＝5 【答案】C 【分析】方程两边直接开平方，即可得到x+3=±2，由此即可求解． 【详解】解：由题意可知，方程两边同时开平方得到：x+3=2或x+3=-2， 解得：x1＝-1，x2＝-5， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程中的直接开平方法，属于基础题，计算过程细心即可． 2．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A．±2 B．±6 C．±4 D．±3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根求解即可． 【详解】方程的判别式为 ． 当时，方程有两个相等的实数根， 即：， 解得 故选A． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键在于熟知关于一元二次方程若有解，则其解为． 【详解】解：由题意得：，，， ∴该方程为， 故选：． 4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， 移项得， 整理得， ∴ ∴， ∴ ∴． 观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的， 故选：B 5．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了配方法和完全平方公式的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．运用题中的新定义结合配方的方法确定出所求即可． 【详解】解：，且为“完美数”， ， ； 故选：C． 6．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， 解得：． 7．（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）将方程化为的形式，其中，是常数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，以及求代数式的值，根据配方法得到，的值，将，代入式子求解，即可解题． 【详解】解： ， ，， ． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为： . 【答案】 【分析】根据换元法，设，代入原方程即可求解． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，整体代入是解题的关键． 9．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）已知关于x的方程．对于以下三个命题： ①当时，方程只有一个实数解； ②当时，方程有两个实数解； ③无论m取何值，方程都有一个负数解． 正确的命题是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x-m+1=0根的情况，进而填空． 【详解】解：①当m=0时，x=-1，方程只有一个解，故此答案正确，符合题意； ②当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，b2-4ac=1-4m（1-m）=1-4m+4m2=（2m-1）2≥0，方程有两个实数解，故此答案正确，符合题意； ③把mx2+x-m+1=0分解为（x+1）（mx-m+1）=0， 当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，故此答案正确，符合题意； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想． 10．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是，若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据题意正确找出等量关系列式计算是解决本题的关键． 根据“百位数字使得一元二次方程有实数根”，得到列出关于的不等式，解之得到的取值范围，根据“各位数字之和大于小于得出各位数字之和为或，集合“勤劳数”的定义，分情况讨论可能的数，从而得到对应的“勤劳数”． 【详解】解：根据题意得：， 解得： ∵各位数字之和大于小于， 或， 又∵， (舍去)或， 若则，该数为， 若则，该数为， 答： 这个“勤劳数” 432或630， 满足条件的所有“勤劳数”的和是， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用直接开平方法求解． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 12．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的范围； (2)设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解， （1）根据方程的根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围；（2）根据一元二次方程的解，可得出，，将其代入，可得出，再结合（1）中的取值范围即可得到的取值范围； 解题的关键：（1）利用根的判别式可确定的取值范围；（2）利用一元二次方程的解得出，． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根， ∴， ∴解得：， ∴的范围是； （2）∵，是方程的两个实数根 ∴，， ∴ ∵， ∴． 13．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）阅读：小明用下面的方法求的解． 解法 1：令，则x=t2，原方程化为t -3t2=0，解方程t -3t2=0，得t1=0，t2=， 所以或，将方程或两边平方，得x=0或． 经检验：x=0或都是原方程的解，所以原方程的解为x=0或． 解法 2：移项，得 ，方程两边同时平方，得x=9x2，解方程x=9x2，得x=0或． 经检验：x=0或都是原方程的解，所以原方程的解为x=0或． （1）定义，根据定义写出符合条件的方程； （2）求出（1）中写出的方程的解． 【答案】（1）；（2）x1=3，x2=-1 【分析】（1）利用定义的新运算，代入相应位置的数或式子即可得到方程； （2）参照题目中给出的方法，任选其一解方程即可． 【详解】（1）∵， ∴． （2）移项，得， 方程两边同时平方，得 ， 整理得， ， 解得 ． 将检验，都是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题主要考查定义新运算和解一元二次方程，掌握题中的解题思路是关键． 14．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知长方形甲的长、宽、周长C 和面积S分别如图1所示 (1)长方形乙的长为x，宽为y，它的周长和面积分别是甲长方形的周长和面积的一半，即，请求出x，y的值． (2)是否存在长方形丙，周长和面积分别是长方形乙的一半，即满足若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)不存在符合条件的长方形丙，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设长方形乙的长为x，宽为y，则，，整理得到，在求解一元二次方程即可； （2）设长方形丙两条邻边长分别为x和，，由于，则不存在． 【详解】（1）解∵， ∴， ∵设长方形乙的长为x，宽为y， ∴， ∴，即 代入得， 解得，或（因y是宽小于长，故舍去） ∴，； （2）解：不存在符合条件的长方形丙，理由如下： 要使成立 则， ∴设长方形丙两条邻边长分别为x和， ， ， ∴方程无解   不存在符合条件的长方形丙． 15．（24-25九年级上·湖南常德·期中）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是_____； (3)小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． (4)用配方法完整解方程 【答案】(1)降次；完全平方公式 (2)等式的基本性质 (3)三 (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． （1）根据降次思想，完全平方公式解答； （2）根据移项的依据是等式的性质解答； （3）由完全平方公式判断即可解答； （4）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次， 其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次，完全平方公式； （2）解：“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； （3）解：小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 故答案为：三； （4）解：二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得，即． 由此，可得． 所以，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训 （5个知识点+8大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 因式分解法解一元二次方程 题型四 换元法解一元二次方程 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 配方法的应用 拓展训练一 配方法求最值 拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算 拓展训练三 一元二次方程的解含参综合 拓展训练四 换元法综合 拓展训练五 一元二次方程解法与几何问题 知识点一、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）方程的根是（     ） A．x1＝，x2＝ B．x1＝1，x2＝ C．x1＝x2＝ D．x1＝，x2＝5 2．（24-25九年级上·湖南常德·课后作业）已知，则 ． 知识点二、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）如果方程可以配方成，那么 ． 知识点三、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）用公式法解方程，其中的值是 ． 知识点四、用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）方程 的解是（   ） A．， B． C．， D． 2．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）一元二次方程的解是 ． 知识点五、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，是一个简单的数值运算程序，则输入的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 2．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）已知，则 ． 3．（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）小刚在解关于的方程时，只抄对了，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的值比原方程的值小1．则原方程的根为 ． 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）按要求解下列关于的一元二次方程． (1)；（用直接开平方法） (2)；（配方法） (3)．（公式法） 【经典例题二 配方法解一元二次方程】 【例2】（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）将一元二次方程配方后，可化为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）将一元二次方程化成的形式，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）将改写成的形式为 ． 3．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是 ． 4．（24-25九年级上·湖南常德·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【经典例题三 因式分解法解一元二次方程】 【例3】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）若，则 ． 3．（2025·湖南常德·模拟预测）代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程，这是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为，请你运用代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根 和 ，并在解题过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用． 4．（24-25九年级上·广东东莞·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【经典例题四 换元法解一元二次方程】 【例4】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）【问题背景】“整体替换法”是数学里的一种常用计算方法．利用式子的特征进行整体代换，往往能解决许多看似复杂的问题． 【迁移运用】计算的值 解：设原式，则可分析得： 根据上述方程解得：， 而原式，故：原式 【联系拓展】___________ A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）方程的解是，则方程的解是 ． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在利用方程，求时，嘉琪令则原方程转化为 ，聪明又谨慎的你可以利用得到的值为 ． 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【经典例题五 公式法解一元二次方程】 【例5】（24-25九年级·湖南湘潭·阶段练习）已知正数x，y满足方程，求（    ） A． B． C．0 D．1 1．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a2），BC＝2．以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F．下列哪条线段的长度是方程的一个根（  ） A．线段AE的长 B．线段BF的长 C．线段BD的长 D．线段DF的长 2．（24-25九年级·湖南湘潭·阶段练习）若 个连续正整数之和为 2010 ， 则 的最大值为 ． 3．（2025·湖南娄底·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式（其中a，r是有理数）得到二次根式的近似值．例如求的近似值的具体算法是：因，应用近似公式求得；再因，应用近似公式求得；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．类似的，当取得近似值时，近似公式中的 ， ． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）（1）用公式法解方程：； （2）用配方法解方程：． 【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例6】（2025·湖南株洲·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．实数根的个数由的值确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 1．（2025·湖南常德·模拟预测）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 2．（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）已知，，是整数，满足，，，若关于的方程的解只有一个值，则的值是 ． 3．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）关于x的一元二次方程；给出下列说法：①若，则方程必有实数根；②若，则方程必有两个不相等的实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是 ． 4．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例7】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 1．（2025·湖南怀化·模拟预测）已知关于的一元二次方程为常数，且，下列说法： ①若，则； ②若，则方程必有一个根为0； ③若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则关于的一元二次方程有两个不相等的实根； 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 3．（2025·湖南株洲·模拟预测）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ． 4．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）已知实数a，b，c满足：． (1)求a，b，c中的最小者的最大值； (2)求的最小值． 【经典例题八 配方法的应用】 【例8】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）无论x为何值，关于x的多项式﹣x2+3x+m的值都为负数，则常数m的取值范围是（　　） A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜ 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）已知，则的值是 ． 3．（24-25九年级上·湖南常德·期中）新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）“题载思想”，马明同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自他的一篇究错日记，请你对马明所编的习题进行解答． 【错题日期】 9月18日 【错题来源】 当堂测验 【错题重现】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值很小，最小值是多少？ 【所属考点】 配方法的应用 【错因分析】 误把代数式变形等同于方程变形，把二次项系数化为1时，直接除以二次项系数，导致本题错误． 【马明编题】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？ 【拓展训练一 配方法求最值】 1．（24-25九年级上·湖南常德·期中）定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．则代数式的最大值是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 2．（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数、满足，则的最大值为 ． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： (1)请用上述方法把分解因式； (2)求多项式的最小值； (3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算】 1．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”． 如与是“同类方程”． （1）若与是“同类方程”，则 ． （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 3．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 【拓展训练三 一元二次方程的解含参综合】 1．（24-25九年级上·湖南张家界汉·阶段练习）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小豪设计了一个数学探究活动，对正奇数从小到大按如下规律进行操作：，，，……其操作规则为：正奇数在第个括号中从左到右的第个数，记为，正奇数在第个括号中从左到右的第个数，记为，按此规律：正奇数记为，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南岳阳·模拟预测）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于的方程是邻根方程，则 ． 3．（24-25九年级上·湖南常德·期末）下面是爱思考的小颖同学在学习了一元二次方程的解法之后，又探索发现了一元二次方程的另一种解法．请认真阅读小颖同学的解法，并完成下面的相关任务． 【阅读材料】 解方程：． 小颖同学的解法：将原方程变形，得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． 【用以致学】 请运用小颖同学的解法解下列方程： （1）； （2）． 【总结感悟】 （3）若在用小颖的方法解关于的方程（，，是常数）时，可将其变形为（也是常数），则_____，_____．（用含的式子表示） 【拓展训练四 换元法综合】 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）一般解方程的方法是消元或降次，请同学们认真阅读下面的材料，然后回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为． 解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，．我们把这种方法叫做换元法． 请同学们仿照上面阅读材料中的方法解方程 【拓展训练五 一元二次方程解法与几何问题】 1．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，甲、乙两个图形都由长方形或正方形拼成，边长数据如图所示． (1)若甲、乙两图的外轮廓周长相等，求x的值； (2)求甲图的面积（用含x的代数式表示）； (3)若甲图的面积比乙图的面积大1，求乙图的面积． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）我们知道：；，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： (1)探究：当a取不同的实数时，求代数式的最小值． (2)应用：如图．已知线段，M是上的一个动点，设，再以、为一组邻边作长方形．问：当点M在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；否则请说明理由． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； (2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知关于x的一元二次方程（x+3）2＝4的根是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣7 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝﹣1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣1，x2＝5 2．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A．±2 B．±6 C．±4 D．±3 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）一元二次方程的解为 ． 7．（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）将方程化为的形式，其中，是常数，则 ． 8．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为： . 9．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）已知关于x的方程．对于以下三个命题： ①当时，方程只有一个实数解； ②当时，方程有两个实数解； ③无论m取何值，方程都有一个负数解． 正确的命题是 （填序号）． 10．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是，若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 11．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 12．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的范围； (2)设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围． 13．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）阅读：小明用下面的方法求的解． 解法 1：令，则x=t2，原方程化为t -3t2=0，解方程t -3t2=0，得t1=0，t2=， 所以或，将方程或两边平方，得x=0或． 经检验：x=0或都是原方程的解，所以原方程的解为x=0或． 解法 2：移项，得 ，方程两边同时平方，得x=9x2，解方程x=9x2，得x=0或． 经检验：x=0或都是原方程的解，所以原方程的解为x=0或． （1）定义，根据定义写出符合条件的方程； （2）求出（1）中写出的方程的解． 14．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知长方形甲的长、宽、周长C 和面积S分别如图1所示 (1)长方形乙的长为x，宽为y，它的周长和面积分别是甲长方形的周长和面积的一半，即，请求出x，y的值． (2)是否存在长方形丙，周长和面积分别是长方形乙的一半，即满足若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由． 15．（24-25九年级上·湖南常德·期中）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是_____； (3)小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． (4)用配方法完整解方程 学科网（北京）股份有限公司 $$