2.2.3 第1课时 因式分解法解一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

2.2.3 用因式分解法求解 一元二次方程 第2章 一元二次方程 优翼数学教学课件（XJ）九上 情境引入 我们知道，若 ab = 0，则 a = 0 或 b=0．类似地，解方程 (x + 1)(x - 1) = 0 时，可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x - 1 = 0 来解．你能求出方程 (x + 3)(x - 5) = 0 的解吗？ 导入新课 因式分解法解一元二次方程 引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的初速度竖直上抛，那么经过 a s 物体离地面的高度为 (10a - 4.9a2) m. 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到 0.01 s)? 分析：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即 10x - 4.9x2 = 0. ① 新课讲授 解： 解： ∵ a = 4.9，b = -10，c = 0， ∴ b2－4ac = (-10)2 - 4×4.9×0 =100. 公式法解方程 10x - 4.9x2 = 0. 配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0. 4.9x2 - 10x = 0. 因式分解 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 10 - 4.9x = 0 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 10x - 4.9x2 = 0 ① x(10 - 4.9x) = 0 ② x = 0， 像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 要点归纳 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移——使方程的右边为 0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解. 简记歌诀： 右化零，左分解； 两因式，各求解. 试一试：下列各方程的根分别是多少？ (1) x(x - 2) = 0； (1) x1 = 0，x2 = 2. (2) (y + 2)(y - 3) = 0； (2) y1 = -2，y2 = 3. (3) (3x + 6)(2x - 4) = 0； (3) x1 = -2，x2 = 2. (4) m2 = m. (4) m1 = 0，m2 = 1. 例1 用因式分解法解下列方程： 因式分解，得 于是得 x = 0 或 x - 8 = 0， x1 = 0，x2 = 8. (2)移项，得 因式分解，得 ( 5x - 1)( 2x - 3 ) = 0. 于是得 5x－1 = 0 或 2x－3 = 0， x(x－8) = 0. 典例精析 解：(1) 原方程可化为 即 于是得 65 - 2x = 0 或 5 - 2x = 0， 解：原方程可化为 解得 例2 解下列方程： 解：(1)因式分解，得 ∴ x - 2 = 0 或 x + 1 = 0. 解得 x1 = 2，x2 = -1. (2) 移项、合并同类项，得 因式分解，得 (2x + 1)(2x - 1) = 0. 解得 ∴ 2x + 1 = 0，或 2x - 1 = 0. (x - 2)(x + 1) = 0. 典例精析 1.解方程 x(x + 1) = 2 时，要先把方程化为 ； 再选择适当的方法求解，得方程的两根为 x1 = ， x2 = . x2 + x - 2 = 0 -2 1 当堂练习 11 2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来. 解方程 (x - 5)(x + 2) = 18. 解： 原方程化为： (x - 5)(x + 2) = 18. ① 由 x - 5 = 3，得 x = 8； ② 由 x + 2 = 6，得 x = 4； ③ 所以原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4. 解: 原方程化为： x2 - 3x - 28 = 0， (x - 7)(x + 4) = 0， x1 = 7，x2 = -4. 12 解：化为一般式为 因式分解，得 x2 - 2x + 1 = 0. (x - 1)2 = 0. ∴ x - 1 = 0. 解得 x1 = x2 = 1. 解：因式分解，得 (2x + 11)( 2x - 11) = 0. ∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0， 3.解方程： 解得 4. 把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为 r， 根据题意得 π(r + 5)2 = 2πr2. 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径是 解得 (舍去). 14 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零，左分解；两因式，各求解 如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0 原理 将方程左边因式分解，使右边为 0 因式分解的常见方法有 ma + mb = m(a + b)； a2±2ab + b2 = (a±b)2； a2 - b2 = (a + b)(a - b). 课堂小结 $