2.2.3 第2课时 选择合适的方法解一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

2.2.3 用因式分解法求解 一元二次方程 第2章 一元二次方程 第2课时 选择合适的方法解一元二次方程 优翼数学教学课件（XJ）九上 问题： 我们学习过的解一元二次方程的方法有哪些？ ①因式分解法 ②直接开平方法 ③公式法 ④配方法 (方程一边是 0，另一边整式容易因式分解) (x + a)2 = C ( C≥0 ) (化方程为一般式) (二次项系数化为 1，再配方) 导入新课 2 灵活选用适当的方法解方程 例1 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 分析：该式左右两边含公因式， 所以用因式分解法解答较快. 解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0， 即 3x - 5 = 0，或 x + 5 = 0. 解得 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解得 x1 = 0，x2 = 新课讲授 (3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1. 分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快. 解：配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62， 即 (x - 6)2 = 40. 开平方，得 解得 x1 = ， x2 = 分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法. 解：整理成一般形式，得 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵ b2 - 4ac = 28 > 0， 填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型. 拓展提升 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) (ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0) ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0)，应选用直接开平方法； 2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0)，应选用因式分解法； 3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法. 要点归纳 一元二次方程的解法选择基本思路 例2 用因式分解法解方程：x2 - 10x + 24 = 0. 解：配方，得 x2 - 10x + 52 - 52 + 24 = 0， 把方程左边因式分解，得 (x - 5 + 1)(x - 5 - 1) = 0， 即 (x - 4)(x - 6) = 0. 解得 x1 = 4，x2 = 6. 因而 (x - 5)2 - 12 = 0. 例3 选择合适的方法解下列方程： 解：(1)因式分解，得 于是得 x = 0 或 x + 3 = 0， x1 = 0，x2 = -3. (2) 这里 a = 5，b = -4，c = -1. 因而 b2 - 4ac = 36 > 0， 于是得 x(x + 3) = 0. 解：原方程可化为 于是得 x + 1 = 2 或 x + 1 = -2， x1 = 1，x2 = -3. 即 (x + 1)2 = 4. 1. 填空： ① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0； ④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8； ⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 4x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2). 最适合运用直接开平方法： ； 最适合运用因式分解法： ； 最适合运用公式法： ； 最适合运用配方法： . ⑥ ① ③ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ ② ④ 当堂练习 2.方程 (x - 3)(x + 1) = x - 3 的解是 ( ) A. x = 0 B. x = -3 C. x = 3 或 x = -1 D. x = 3 或 x = 0 解析：方程两边有公因式 (x - 3)，可以利用因式分解法解方程，原方程变形，得 (x - 3)(x + 1) - (x - 3) = 0，所以 (x - 3)(x + 1 - 1) = 0，即 x - 3 = 0 或 x = 0，所以原方程的解为 x = 3，x = 0. 故答案为 D. D 3.用适当的方法解下列方程． (1)x2 －3x＋1＝0； (2)(x－1)2 ＝3； 解：(1)因为 a＝1，b＝－3，c＝1， 所以 b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5，x＝ ， 所以原方程的解为 x1＝ ，x2＝ . (2)两边直接开平方，得 x－1＝ ， 所以原方程的解为 x1＝1＋ ，x2＝1－ . 12 解：(3)左边分解因式， 得 x(x－3)＝0，x＝0 或 x－3＝0， 所以原方程的解为 x1＝0，x2＝3. (4)方程两边都加1，得 x2－2x＋1＝4＋1， 所以 (x－1)2＝5，x－1＝ ， 所以原方程的解为 x1＝1＋ ，x2＝1－ . 4.用适当的方法解下列方程． (3)x2 －3x＝0； (4)x2 －2x＝4. 13 一元二次方程的解法 方法 配方法 因式分解法 基本思路：降次 直接开平方法 公式法 课堂小结 $