22.2 第1课时 直接开平方法和因式分解法（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（华东师大版）

第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 第 1 课时 直接开平方法和因式分解法 优翼数学教学课件（HS）九上 一元二次方程的一般式是怎样的？你知道求一元二次方程的解的方法有哪些吗？ （a ≠ 0） 回顾与思考 导入新课 解： 所以方程 x2 = 9 有两个根， x1 = 3， x2 = -3. 直接开平方解方程 例 解方程 x2 = 9. 新课讲授 一般地，对于形如 x2 = a (a≥0) 的方程，根据平方根的定义，可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 知识回顾 2.用直接开平方法解下列方程：(1)3x2－27 = 0； (2)(2x－3)2 = 9. 1.方程　　　　 的根是 方程　　　　 的根是　　 方程 　　 的根是 x1 ＝ 0.5，x2 ＝ －0.5 x1 ＝ 3，x2 ＝ －3 x1 ＝ 2， x2 ＝ －1 练一练 x1＝3， x2＝－3 x1＝0， x2＝3 因式分解： 把一个多项式化成几个整式的积的形式. 在学习因式分解时，我们知道，可以利用因式分解求出某些一元二次方程的解. 用因式分解法解一元二次方程 问题 什么是因式分解？ 问题引导 例 解下列方程： （1）x2－3x＝0； (2) 25x2＝16 解：（1）将原方程的左边分解因式， 得 x(x - 3)＝0； 则 x = 0，或 x - 3 = 0，解得 x1 = 0，x2 = 3. （2）将方程右边常数项移到左边，再根据平方差 公式因式分解，得 x1 = 0.8，x2 = -0.8. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 典例精析 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； 将方程的左边分解因式； 根据若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 因式分解法的基本步骤是： 解：方程的两边同时除以 x， 得 x = 1. 故原方程的解为 x = 1. 这样解是否正确呢？ 交流讨论： 不正确，方程两边同时除以的数不能为零，还有一个解为 x = 0. x² = x 1.填空： （1）方程 x2 + x = 0 的根是 _________________； （2）x2 - 25 = 0 的根是________________. x1 = 0， x2 = -1 x1 = 5，x2 = -5 练一练 2. 解方程：x2 - 5x + 6 = 0 解: 把方程左边分解因式，得 (x - 2)(x - 3) = 0 因此 x - 2 = 0 或 x - 3 = 0. ∴x1 = 2，x2 = 3. 1.用因式分解法解下列方程： (1) 4x2 = 12x； (2) (x - 2)(2x - 3) = 6； (3) x2 + 9 = -6x； (4) 9x2 = (x - 1)2. 解 :(1)移项得 4x2 - 12x = 0，即 x2 - 3x = 0，x(x - 3) = 0，得 x1 = 0，x2 = 3； (2)原方程可以变形为 2x2 - 7x = 0， 分解因式为 x(2x - 7) = 0，解得 x1 = 0，x2 = 3.5； (3)原方程可以变形为(x + 3)2 = 0，解得 x = -3； (4)移项得 9x2 - (x - 1)2 = 0， 变形得(3x - x + 1)(3x + x - 1) = 0， 解得 x1 = -0.5，x2 = 0.25. 当堂练习 解方程：(x + 4)(x - 1) = 6. 解 : 把原方程化为一般形式，得 x2 + 3x - 10 = 0 把方程左边分解因式，得 (x - 2)(x + 5) = 0 因此 x - 2 = 0 或 x + 5 = 0. ∴x1 = 2，x2 = -5 解： (1) 化简方程，得 3x2－17x = 0. 将方程的左边分解因式，得 x(3x－17) = 0， ∴ x = 0 或 3x－17 = 0. 解得 x1 = 0，x2 = 解下列一元二次方程： （1）(x－5)(3x－2) = 10； (2) (3x－4)2 = (4x－3)2. (2) (3x－4)2 = (4x－3)2. (2)移项，得 (3x－4)2－(4x－3)2 = 0. 将方程的左边分解因式，得 [(3x－4)+(4x－3)][ (3x－4) －(4x－3)]=0， 即 (7x－7) (－x－1) = 0. ∴7x－7 = 0 或 －x－1 = 0. ∴x1 = 1， x2 = －1. 注意：当方程的一边为 0 时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便. 因式分解法解一元二次方程的基本步骤 （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 课堂小结 $