22.2.1 直接开平方法和因式分解法 2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法和因式分解法”解一元二次方程，通过步骤表格、典例剖析和易错对比，构建从具体操作到抽象方法的学习支架，衔接一元二次方程概念与解法应用。 其亮点在于结合口诀化语言（如“右化零，左分解”）、步骤表格化呈现和错误案例辨析，培养学生运算能力与推理意识。学生能系统掌握方法避免失根，教师可直接用于教学提升效率。

● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 目 录 ■考点一 直接开平方法 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 直接 开平 方法 对于方程x2=4，意味着x是4的平方根，所以x=± ，即x=±2.这里得到了两个根，通常表示为x1=2，x2=-2.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法 x2=p 的根 的情况 p>0 方程有两个不相等的实数根x1= ,x2=- p=0 方程有两个相等的实数根x1=x2=0 方程无实数根 p<0 考点清单解读 返回目录 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 续表 一般步骤 考点清单解读 返回目录 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 归纳总结 用直接开平方法解方程时,要先将方程化为左边是含未知数的完全平方的形式,若右边为非负数,则可直接开平方求解,开方的结果注意有正、负两种情况.对形如(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的关于x的一元二次方程，可以把mx+n看作一个整体，直接开平方降次. 考点清单解读 返回目录 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 典例1 解下列方程: (1)2x2-24=0; (2)(x+5)2=16; (3)9(1-2x)2-16=0; (4)x2+2x+1=25; (5)9(x-1)2=16(x+2)2. 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 ［答案］ 解:(1)移项，得2x2=24,x2=12, :x=2 ,即x1=2 ,x2=-2 ; (2)x+5=+4,:x1=-1,x2=-9; (3)9(1-2x)2=16,(1-2x)2=,1-2x=,-2x=-1, ,2; (4)变形为(x+1)2=25 ,x+1=+5 ,解得x1=4,x2=-6; (5)两边直接开平方,得3(x-1)=4(x+2),即3x-3=4x+8或3x-3=-4x-8,解得x1=-11,x2=- 考点清单解读 返回目录 ■考点二 因式分解法 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 因式 分解法 先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 依据 若a·b=0,则a=0或b=0 口诀 右化零，左分解,两因式,值为0,各求解 1.因式分解法 考点清单解读 返回目录 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤 考点清单解读 返回目录 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 归纳总结 分解因式的时候要选择最合适的方法，若方程中有括号，不要直接就去括号，要观察能否直接用提公因式法分解因式求解. 考点清单解读 返回目录 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 典例2 用因式分解法解下列一元二次方程. (1)3x2=4x; (2)x2+4x-12=0; (3)x(2x-5)=4x-10; (4)3(x-1)2=12. 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 ［答案］ 解:(1)移项,得3x2-4x=0, 因式分解,得x(3x-4)=0,于是得x=0,或3x-4=0, x1=0,x2= ; (2)因式分解,得(x+6)(x-2)=0, 于是得x+6=0,或x-2=0,x1=-6,x2=2; (3)移项，得x(2x-5)-2(2x-5)=0,因式分解，得(2x-5)(x-2)=0,于是得2x-5=0,或x-2=0, x1= ,x2=2; 考点清单解读 返回目录 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 (4)移项、化简得(x-1)2-4=0. 因式分解，得(x-1-2)(x-1+2)=0, 即(x-3)(x+1)=0, 于是得x-3=0, 或x+1=0, x1=3,x2=-l. 考点清单解读 返回目录 ■题型 运用直接开平方法求代数式的值 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 例 若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则 的值为_____________. 重难题型突破 返回目录 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 ［解析］ab>0,a≠0, b≠0.方程 ax2=b两边同时除以a,得x2= . x= .方程的两个根互为相反数,m+1+2m-4=0,m=1. 一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是2与-2. 又x= , ［答案］ 4 重难题型突破 返回目录 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 思路点拨 重难题型突破 返回目录 ■两边同除以含有未知数的代数式导致失根 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 例 小敏与小霞两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下: (1)你认为她们的解法是否正确?正确打“√”;错误打“×”:小敏______,小霞_______. (2)写出正确的解答过程. 小敏:两边同除以 (x-3),得3=x-3,则x=6. 小霞:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0,提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0.则x-3=0或3-x-3=0,解得x1=3,x2=0. 易错易混分析 返回目录 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 ［答案］解:(1)× × 小敏:没有考虑x-3=0的情况,所以“×”; 小霞:提取公因式时出现了错误,所以“×”; (2)正确的解答过程:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0,提取公因式,得(x-3)(3-x+3)=0.则x-3=0或3-x+3=0,解得x1=3,x2=6. ［易错］ (1)√ × ［错因］ 两边同除x-3时，没考虑x-3=0的情况. 易错易混分析 返回目录 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 易错警示 用因式分解法解方程时，不要将方程两边同时除以含未知数的式子，这样容易丢根. 领悟提能 在运用因式分解法解一元二次方程时，如果方程两边出现同一个含有未知数的因式，应先移项，再在方程左边进行因式分解，从而求得方程的根. 易错易混分析 返回目录 $