22.1 一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根，通过回顾方程与一元一次方程知识，结合增长率计算、矩形空地修路等实际问题引出新方程，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是以情境问题驱动学习，培养抽象能力与模型意识，引导类比归纳方程特点发展推理思维，通过辨析练习规范数学语言表达。如增长率问题列方程，教学方法注重问题链设计，小结明确核心概念，助力学生建立应用意识，教师可借分层练习提升教学效率。

第22章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 优翼数学教学课件（HS）九上 1. 你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？ 2. 什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 一般形式：ax + b = 0 (a ≠ 0) 3. 我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗？ 1.审；2.设；3.列；4.解；5.验；6.答. 回顾与思考 导入新课 问题1 某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划 2022 年无公害蔬菜的产量比 2020 年翻一翻，要实现这一目标，2021 年和 2022 年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 思考： 1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？ 方程 一元二次方程及其一般形式 新课讲授 2. 如图，如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是 x，2020 年的产量为 a，那么 2021 年无公害蔬菜产量为 ，2022 年无公害蔬菜产量为 . a + ax = a(1 + x) a(1 + x) + a(1 + x)x = a(1 + x)2 3.你能根据题意，列出方程吗？ a(1 + x)2 = 2a 把以上方程整理得： . x2 + 2x - 1 = 0 （1） 2020 2021 2022 问题2 在一块宽 20 m、长 32 m 的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽应为多少？ 32 20 x 1.若设小路的宽是 x m，那么横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2. 32x 2.由于花坛的总面积是 570 m2.你能根据题意，列出方程吗？ 整理以上方程可得： 思考： 2×20x 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2 = 570 2x2 x2－36x＋35 = 0 （2） 32 20 x 想一想： 还有其它的列法吗？试说明原因. (20 - x)(32 - 2x) = 570 32 - 2x 20 - x 32 20 请观察下面两个方程并回答问题： x2 + 2x - 1 = 0 x2 - 36x + 35 = 0 （1）它们是一元一次方程吗？ （2）与一元一次方程有何异同？ （3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 类比发现，探索新知 1. 等号两边都是整式 2. 只含有一个未知数 3. 未知数的最高次数是 2 特点： 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程都可以 化为 (a ≠ 0) 的形式，我们把 (a，b，c 是已知数，a ≠ 0) 称为一元二次方程的一般形式. 想一想：为什么要限制 a ≠ 0？b，c 可以为零吗？ a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项 系数 一次项 系数 常数项 （4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合理的名字吗？ （1）列表填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 4x2 = 3x (x - 1)2 - 9 = 0 x(x + 2) = 3(x + 2) 4x2 - 3x = 0 x2 - 2x - 8 = 0 x2 - x - 6 = 0 4 -3 0 1 -2 -8 1 -1 -6 练一练 （2）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由. x + 2 = 5x - 3 x2 = 4 2x2 - 4 = (x + 2)2 （3）关于 x 的方程 (2a - 4)x2 - 2bx + a = 0 在什么条件下为一元二次方程？ 不是 是 是 不是 当 2a - 4 ≠ 0 时，即 a ≠ 2 时，该方程为一元二次方程. 通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？ （1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须把方程化为一般形式才能进行. （2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号. （3）二次项系数 a ≠ 0. 议一议 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根). 判断未知数的值 x = -1，x = 0，x = 2 是不是方程 x2 - 2 = x 的根. 一元二次方程的根 1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根： x2 - 3x + 2 = 0 (x1 = 1， x2 = 2，x3 = 3) 2.构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零；（2）有一根为 2. 当 x1 = 1 时，x2 - 3x + 2 = 1 - 3 + 2 = 0，故是该方程的解； 当 x2 = 2 时，x2 - 3x + 2 = 4 - 6 + 2 = 0，故是该方程的解； 当 x3 = 3 时，x2 - 3x + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 ≠ 0， 故不是该方程的解. x2 - 2x = 0 (答案不唯一) 当堂练习 3.已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值. 解：由题意，把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得 32 + 3a + a = 0 9 + 4a = 0 4a = -9 4. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)一个根为 1，求 a + b + c 的值. 解：由题意得 思考：若 a + b + c，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根吗？ 解：由题意得 ∴方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根是 1. 拓广探索 若 a - b + c = 0，4a + 2b + c = 0，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根吗？ x = 2 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程都可以化为 (a ≠ 0) 的形式，我们把 (a，b，c 是已知数，a ≠ 0) 称为一元二次方程的一般形式. 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根). 课堂小结 $