第21章 二次函数与反比例函数 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数与反比例函数的核心知识，通过表格对比函数性质、步骤归纳平移与表达式求法、考点分类串联应用，构建起概念-图象-性质-应用的完整知识网络。 其亮点在于“考点例题-针对训练-方法总结”的复习模式，如二次函数顶点求法结合配方与公式培养运算能力，反比例函数k的几何意义通过图形面积计算发展几何直观。分层设计的基础题与综合题（如商场利润应用题）让不同学生提升，教师可借例题解析把握重点，提高复习针对性。

小结与复习 第21章 二次函数与反比例函数 优翼数学教学课件（HK）九上 一般地，形如　 　(a，b，c 是常数，　 　 ) 的函数，叫做二次函数． y＝ax2＋bx＋c a ≠ 0 [注意] (1) 等号右边必须是整式； (2) 自变量的最高次数是 2； (3) 当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数． 1. 二次函数的概念 要点梳理 二次函数 y＝a(x + h)2 + k y＝ax2＋bx＋c 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 a＞0 a＜0 增减性 a＞0 a＜0 2. 二次函数的图象与性质 a ＞ 0 开口向上 a ＜ 0 开口向下 x = -h (-h，k) y最小 = k y最大 = k 在对称轴左边，x↗ y↘；在对称轴右边， x↗ y↗ 在对称轴左边，x↗ y↗；在对称轴右边， x↗ y↘ y最小= y最大= 3. 二次函数图象的平移 y＝ax2 左、右平移，自变量左加右减 上、下平移，常数项上加下减 y＝-ax2 写成一般形式 沿 x 轴翻折 4. 二次函数表达式的求法 （1） 一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a ≠ 0) （2）顶点法：y＝a(x－h)2＋k (a ≠ 0) （3）交点法：y＝a(x－x1)(x－x2) (a ≠ 0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴的交点有三种情况：有两个交点，有一个交点，没有交点，分别对应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不同的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根. 当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0 的根. 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴的交点个数 一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0的根 一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0 根的判别式（b2 - 4ac） 有两个交点 有两个不同的实数根 b2 - 4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2 - 4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2 - 4ac < 0 6. 二次函数的应用 1. 二次函数的应用包括以下两个方面： (1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)； (2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2. 一般步骤：(1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义；(5) 作答. 7. 反比例函数的概念 定义：形如_______ (k 为常数，k ≠ 0) 的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数. 三种表达式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)． 防错提醒：(1) k ≠ 0；(2) 自变量 x ≠ 0；(3) 函数值 y ≠ 0. 8. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k ≠ 0) 的 图象是 ，它是轴对称图形，两条对称轴 为直线 和 . 双曲线 y = x y = -x (2) 反比例函数的性质 图象 所在象限 性质 (k ≠ 0) k＞0 一、三象限(x，y 同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 k＜0 二、四象限(x，y 异号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 x y o x y o (3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义 反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之 积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过反比例函数图象 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐 标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|. 推论：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线， 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积 为常数 . 9. 反比例函数的应用 ◑利用待定系数法确定反比例函数： ①根据两变量之间的反比例关系，设 ； ②代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应 值，求出 k 的值； ③写出解析式. ◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y＝k1x＋b (k1 ≠ 0) 和双曲线 (k2 ≠ 0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方 程组. ◑利用反比例函数相关知识解决实际问题 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值. 考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值 例1 抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为_______． 【解析】 方法一：配方，得 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为 (1，2)． 方法二代入公式 ， ， 则顶点坐标为(1，2)． (1，2) 考点讲练 解决此类题目可以先把二次函数 y＝ax2＋bx＋c 配方为顶点式 y＝a(x＋h)2＋k 的形式，得到其对称轴是直线 x＝-h，顶点坐标为 (-h，k)，当自变量范围没有限制时，其最值为 y＝k；也可以直接利用公式求解. 方法归纳 1. 对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象，下列叙述正确的是 (　 ) A. 顶点坐标为 (－3，2) B. 对称轴为 y＝3 C. 当 x≥3 时，y 随 x 的增大而增大 D. 当 x≥3 时，y 随 x 的增大而减小 C 针对训练 y x 考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小比较 例2 二次函数 y＝-x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 (　　) A. y1≤y2 B. y1＜y2 C. y1≤y2 D. y1＞y2 【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大. ∵ x1＜x2＜1，∴ y1＜y2. B 18 18 2. 下列函数中，当 x＞0 时，y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A. y = x2 B. y = x - 1 C. D. y = -3x2 D 针对训练 例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　 B．2　　　　　 C．3　　　 D．4 y x 考点三 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a ≠ 0) 的图象与系数 a，b，c 的关系 解析：由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确；由对称轴 x＞－1 可得 2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为 x＝－2 的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上横坐标为 x＝1 的点在第四象限得 a＋b＋c＜0，由图象 上横坐标为 x＝－1 的点在第二象限得 a－b＋c＞0，则 (a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即 (a＋c)2－b2＜0，所以 (a＋c)2＜b2， 故④正确. 故选 D. y x 方法总结 1. 可根据对称轴的位置确定 b 的符号：b＝0⇔对称轴是 y 轴；a、b 同号⇔对称轴在 y 轴左侧；a、b 异号⇔对称轴在 y 轴右侧. 这个规律可简记为“左同右异”. 2. 当 x＝1 时，函数值 y＝a＋b＋c，当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0. 同理，可由图象上横坐标 x＝－1，±2 的点判断 a－b＋c，4a±b＋c 的符号. 3. 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1 针对训练 D 解析：由题意知该函数图象开口向下，在对称轴右侧，y 的值随 x 值的增大而减小. ∵当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，∴其对称轴应在直线 x = 1 处或其左侧，即 = b≤1，故选 D. 考点四 抛物线的几何变换 例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 (　 ) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－5 【解析】因为 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的解析式为 y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝(x－4)2－2. 故选 B. B 24 24 4. 若抛物线 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，则可以（ ） A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 B 针对训练 考点五 二次函数表达式的确定 例5 已知关于 x 的二次函数，当 x = -1 时，函数值为 10；当 x = 1 时，函数值为 4；当 x = 2 时，函数值为 7.求这个二次函数的解析式. 待定系数法 解：设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c，由题意得 解得 a = 2，b = -3，c = 5. ∴ 所求的二次函数解析式为 y = 2x2 - 3x + 5. 26 26 5. 已知抛物线 y = ax2 + bx + c 与抛物线 y =－x2－3x + 7 的形状相同，顶点在直线 x = 1 上，且顶点到 x 轴的距离为 5，请写出满足此条件的抛物线的表达式. 解：∵抛物线 y = ax2 + bx + c 与 y =－x2－3x + 7 的形状相同，∴ a = ±1. 又∵顶点在直线 x = 1 上，且到 x 轴的距离为 5，∴顶点为 (1，5) 或 (1，－5). 所以表达式可为：(1) y = (x－1)2 + 5；(2) y = (x－1)2－5； (3) y =－(x－1)2 + 5；(4) y =－(x－1)2－5. 针对训练 例6 若二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3，则关于 x 的方程 x2 + mx = 7 的解为（　　） A．x1 = 0，x2 = 6 B．x1 = 1，x2 = 7 C．x1 = 1，x2 = -7 D．x1 = -1，x2 = 7 解析：∵二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3， ∴ =3，解得 m = －6. ∴ 关于 x 的方程 x2 + mx = 7 可化为 x2－6x－7 = 0， 即 (x + 1)(x－7) = 0，解得 x1 = －1，x2 = 7． 故选 D． 考点六 二次函数与一元二次方程 D 例7 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y (件) 与销售单价 x (元) 符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝75 时，y＝45. (1) 求一次函数的表达式； (2) 若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？ 考点七 二次函数的应用 解：(1) 根据题意，得 故所求一次函数的表达式为 y = -x + 120. (2) W = (x - 60)•(-x + 120) = -x2 + 180x - 7200 = -(x - 90)2 + 900. ∵ 抛物线的开口向下， ∴ 当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大. 而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87， ∴ 当 x = 87 时，W 有最大值， 此时 W = -(87 - 90)2 + 900 = 891. 解得 k = -1，b = 120. 例8 如图，梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中 15＜x＜30. 作 DE⊥ AB 于点 E，将 △ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在 F 处，DF 交 BC 于点 G. (1) 用含有 x 的代数式表示 BF 的长； (2) 设四边形 DEBG 的面积为 S， 求 S 与 x 的函数关系式； (3) 当 x 为何值时，S 有最大值？ 并求出这个最大值． 解：(1) 由题意得 EF = AE = DE = BC = x，AB = 30. ∴ BF = 2x - 30. (2)∵∠F =∠A = 45°，∠CBF =∠ABC = 90°， ∴∠BGF =∠F = 45°，BG = BF = 2x - 30. ∴ S = S△DEF - S△GBF = DE2 - BF2 = x2 - (2x - 30)2 = x2 + 60x - 450. (3) S = x2 + 60x - 450 = (x - 20)2 + 150. ∵ ＜0，15＜20＜30， ∴ 当 x = 20 时，S 有最大值，最大值为 150. 考点八 反比例函数的概念 针对训练 1. 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数? ① y = 3x－1 ② y = 2x2 ⑤ y = 3x ③ ④ ⑥ ⑦ ⑧ 33 2. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上，则 k 的值是 ( ) A. 3　　 B. －3 C. D. B 3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( ) A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数 A 34 解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出 y1，y2， y3 的值，再比较出其大小即可； 方法②：根据反比例函数的图象和性质比较． 考点九 反比例函数的图象和性质 例9 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比例函数 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是 ( ) A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 D　 方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的性质比较，在不同的象限内不能按其性质比较，可根据其正负来确定大小． 已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2) 都在反比例函数 (k＜0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 . y1＞y2 针对训练 考点十 与反比例系数 k 有关的问题 例10 如图，两个反比例函数 和 在第一 象限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA ⊥x 轴于点 A，交 C2 于点 B， 则 △POB 的面积为 . 1 针对训练 如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M 的直线 l∥y 轴，且直线 l 分别与反比例函数 (x＞0) 和 (x＞0) 的图象交于 P，Q 两点，若 S△POQ = 14， 则 k 的值为 . -20 考点十一 反比例函数的应用 例11 如图，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数 y = kx + b 与反比例函数 (m＜0) 图象的两个交点，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D． (1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取 何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； O B A x y C D 解：当 －4＜x＜－1 时，一次函数的值大于反比例函数的值. (2) 求一次函数解析式及 m 的值； 解：把 A(－4， )，B(－1，2) 代入 y = kx + b 中，得 －4k + b = ， －k + b = 2， 解得 k = ， b = . 所以一次函数的解析式为 y = x + . 把 B (－1，2) 代入 中，得 m =－1×2=－2. (3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 的坐标. 解：设点 P 的坐标为 (t， t + )，则 P 点到直线 AC 的距离为 t－(－4)，P 点到直线 BD 的距离为 2－( t + )． ∵ △PCA 面积和 △PDB 面积相等， ∴ AC·[t－(－4)] = BD·[2－( t + )]， 解得 t = . ∴ 点 P 的坐标为 ( ， )． O B A x y C D P 方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合题，关键是理清解题思路. 在平面直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度. 针对训练 如图，设反比例函数的解析式为 (k＞0)． (1) 若该反比例函数与正比例函数 y = 2x 的图象有一个 交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值； O y x 解：由题意知点 P 在正比例函数 y = 2x 上，把 P 的纵坐标 2 代入该解析式， 得 P (1，2)，把 P (1，2) 代入 ， 得到 P 2 (2) 若该反比例函数的图象与过点 M (-2，0) 的直线 l：y = kx + b 交于 A，B 两点，如图所示，当 △ABO 的面积为 时，求直线 l 的解析式； 解：把 M (-2，0) 代入 y = kx + b， 得 b = 2k，∴ y = kx + 2k. O A y B x M l N 解得 x1 = -3，x2 = 1. y = kx + 2k， ∴ ∴ B (-3，-k)，A (1，3k). ∵ △ABO 的面积为 ∴ ×2×3k + ×2k = 解得 ∴ 直线 l 的解析式为 y = x + ． O y x M l N A (1，3k) B (-3，-k) (3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？ O y x M l N A (1，3k) B (－3，－k) 解：当 x＜－3 或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反 比例函数的值. 例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题： (1) 求当 0≤x≤2 时，y 与 x 的函数解析式； 解：当 0≤x≤2 时，y 与 x 成正比例函数关系． 设 y＝kx，由于点 (2，4) 在线段上，所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x. O y/毫克 x/小时 2 4 (2) 求当 x ＞ 2 时，y 与 x 的函数解析式； 解：当 x ＞ 2 时，y 与 x 成反比例函数关系，设 解得 k ＝8. 由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上， 所以 即 O y/毫克 x/小时 2 4 (3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2，解得 x≥1，∴ 1≤x≤2； 当 x＞2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 ≥2，解得 x≤ 4. ∴ 2＜x≤4. 所以服药一次，治疗疾病的有效时 间是 1＋2＝3 (小时)． O y/毫克 x/小时 2 4 二次函数 二次函数的概念 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的图象与性质 不共线三点确定二次函数的表达式 二次函数的应用 课堂小结 反比例函数 定义 图象 性质 x，y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用 课堂小结 见教材章末练习 课后作业 $