函导小题1.构造函数比大小 讲义——2026届高三数学一轮复习

函导小题 构造函数比较大小 崔北祥 构造函数比大小 小题压轴中的构造函数比较大小是高考热点问题，难点是自变量的选择与恰当放缩估值，综合性较强，考查学生核心素养. 一、在同构条件下，构造一个函数，多个自变量的函数值，由单调性比较大小. 例1已知，则的大小关系是 . 【解析】由于， 设函数， 当时，，函数是增函数， 当时，，函数是减函数， 由于，且. 练习： 1.已知，，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设函数，则为偶函数，且当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以， 又，，，所以. 2.已知，则的大小关系是 ； 3.已知，则的大小关系是 ； (答案提示：) 4.已知，则的大小关系是 ； (答案提示：) 5.已知，则的大小关系是 ； (答案提示：) 二、在同构条件下，构造一个自变量，多个函数的函数值 ①由单调性求最值比较大小 例2 已知，则的大小关系是 【解析】法一：构造函数，利用图象位置关系 由于， 设， 利用导数判断单调性、弯曲方向及原点处切线斜率， 如图知 法二：构造差函数商函数 设, 函数在上是减函数， ，在是增函数， . 法三：不等式放缩 练习： 1.（多选）若，，，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】令，，则， 当时，，∴在区间上单调递增， ∴，即， 又∵在上单调递增，∴，即，∴，即； 令，，则， 当时，，∴在区间上单调递增， ∴，即，∴， 综上所述，的大小关系为.故选：BC. 2.已知，则的大小关系是 ； 3.已知，则的大小关系是 ； 4.已知，则的大小关系是 ； 5.【2022年甲卷理第12题】已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】法一：根据题意，构造函数 对上述三个函数在处进行四阶泰勒展开 在时，显然即，即选A． 法二：构造函数，， 则， 所以，因此，在上递减，所以，即． 另一方面，，显然时，， 所以，即．因此．即选A． ②运用常见不等式比较大小 切线不等式：； 割线不等式：：， 飘带不等式： 例3已知，，，其中为自然对数的底数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】构造结构特征，构造，，求导后得到其单调性，得到，再构造，和，，求导得到其单调性，得到，即，从而得到. ， 令，， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以， 又，所以在上恒成立， 所以，即，即， 令，，所以， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以，即在恒成立，所以， 令，，所以， 因为，所以，故在上单调递减， 所以，即在恒成立， 当时，，故，即，综上，故选：B ③运用泰勒展开、帕德放缩比较大小 如果在含有的某个开区间内具有阶的导数，则对任一，有，此公式称为阶泰勒公式；其中（介于于之间），称为拉格朗日型余项；或，称为皮亚诺型余项. 以下是在0处的展开式 （1） （2），， （3） （4） （5） （6）， 例4【2022年新高考1卷第7题】 设，，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】法一：根据题意，构造函数 对上述三个函数在处进行二阶泰勒展开 在时，显然即，即选C． 法二：设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以，故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以.故选：C. 帕德逼近公式： 函数 Pade（低阶） 例5设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,选B ④记忆常见数值的有理数形式比较大小 ， ， 练习： 1.若,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2.已知，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，故 又 ∴. 3.设,则(　　) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】，记函数， ，在上单调递增，， 所以在上单调递增，。 记函数，， ，在上单调递增，， 在上单调递增，， 在上单调递增，. 4.设，，，，则间的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】法一：证明在上恒成立，得到，确定，证明在 上恒成立，得到，根据和的图像得到，得到. 设，则在上恒成立， 故在上单调递增，，即在上恒成立， 故，故，即，即， ， 设，则恒成立，函数在上单调递增， ，故在上恒成立， ，故. 设，，， 画出和的图像，如图所示： 故时，，即，即.综上所述：故选：B 【点睛】本题考查了数值的大小比较，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将数值的大小比较通过函数构造的方式转化为函数的单调性和最值，是解题的关键，函数构造的方式可以有多种方式，需要灵活掌握. 5.设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 6.设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 7.（2021年全国乙卷理第12题）设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】法一：题意，显然,构造函数 对上述两个函数在处进行四阶泰勒展开 ， 在时，显然即，即选B． 法二：显然,令， 则，因为当时，，所以， 即，所以，所以，即. 同理，令，则， 因为当时，，所以， 所以，即，综上，选B. 8.设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】构造，对求导，可得的单调性和最值，可知，得出，同理构造，可得，即可得出答案. 令，， 令，解得：；令，解得：； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，由可知， 设，则在区间上减函数． 且．所以函数在区间上增函数． 所以，即．即：．故选：A． 9.设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 10.已知，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先用导数证明这两个重要的不等式 ①，当且仅当时取“=” ，，，函数递减， 函数递增 故时函数取得最小值为0，故，当且仅当时取“=” ②，当且仅当时取“=” ，，，函数递增，函数递减， 故时函数取得最大值为0，故，当且仅当时取“=” 故，故选：C 11.已知，，，则的大小顺序为 .（） 12.已知，且，则的大小关系是 ； (答案提示：) 练练不忘 第 3 页 共 9 页 必有回响 学科网（北京）股份有限公司 $函导小题构造函数比较大小崔北祥 构造函数比大小 小题压轴中的构造函数比较大小是高考热点问题，难点是自变量的选择与恰当放缩估值，综合性较强， 考查学生核心素养. 一、在同构条件下，构造一个函数，多个自变量的函数值，由单调性比较大小. 例1已知a=n2 =1,c=n6,则a,bc的大小关系是 b== 12 练习： 1.已知a=eml+1 「em，b=eam2+1, etn2 c=ecos3+1 eos3，则 A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.c>a>b 2.已a,b,ce(0,e),且0=5 ,bln6=6lnb,cln7=7lnc,则a,b,c的大小关系是 Ina In5 ,b=二，c=nV2,则a,b,c的大小关系是； 3.已知a三4-n4h=1 e2 4.己知a=4ln5",b=5ln4",c=5lnπ4，则a,b,c的大小关系是_； 5.已知a=1n-1+201 ,b=1n、1+2020 则a,b,c的大小关系是； 2020202 2021*2021,c=n,1+2021 20222022 练练不忘第1页共6页必有回响 函导小题构造函数比较大小崔北祥 二、在同构条件下，构造一个自变量，多个函数的函数值 ①由单调性求最值比较大小 例2已a=6=2n(m cos.e=6n6,则a.bc的大小关系是 +cos- 10 101 5 练习： 1(多选)若知石6=e-6=h片则ac的大小关系为() 1 A.a>c B.c>a C.a>b D.b>a 2已知a三e-1,b=nl2,c,则a,6,c的大小关系是 3.己知a=e2-1,b=lnl.2,c=tan0.2,则a,b,c的大小关系是 4.已知a= 4,b=n1.04,c=e4-1,则a,b,c的大小关系是 10 5.【2022年甲卷理第12题】已知a=3 32’b=co0s1, 好，c=4sn},则() A.cxb>a B.bx ax c C.axbxc D.ax c>b 4 Iy=ex v=xl y=-1 练练不忘 第2页共6页 必有 函导小题构造函数比校大小崔北祥 ②运用常见不等式比较大小 切线不等式：e≥x+lx=0),lnx≤x-lx=1; x≥0，x2sinx=0),x≤0，x≤sinx(x=0 am2=0,≤xs0,ax≤xx=0 0≤xs 0≤x≤号an2x=0,≤x≤0，anr≤x=0l 2 割线不等式：0<x≤， 2 ，sinx≥二x 元 X带不成0ss:-5ns2 )x 1 T g0-22 x+1 2x-1≤nx 11 f(x)=cos(x) x≥1 f(x)=sin(x) x+1 下 x<号，cosx21x 例3己知a=e.03-1,b=ln1.03,c=tan0.03,其中e=2.71828…为自然对数的底数，则a,b,c的大 小关系是() A.c>a>b B.axcxb C.b>c>a D.axb>c ③运用泰勒展开、帕德放缩比较大小 如果f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有n+1阶的导数，则对任一x∈(a,b),，有 f)=了化，)+了K,Xx-)+(x-P+…+f(x-X+R,此公式称为n阶秦勒 2！ n! 公式：其中R)=-《:介于飞于x之间，称为拉格侧日型余项：或 (n+1)！ R(x)=o[(x-x)”],称为皮亚诺型余项.以下是在0处的展开式 (1)e*=1+x+x+x 十… 2!3！ x2,x3 (2)ln(1+x=x- 2+3江，m-=x2-3，血-2 1=x3+ (3)sinx=x- 3!5! (4)cosx=1- x2 x4 2+4 练练不忘第3页共6页必有回响 函导小题构造函数比较大小崔北祥 x3x3 (5)tanx=x+ 一十 35 (6) =1+x+2+…+x+…,1+x 1 1 =1-x+x2-…+-1”x”+… 1-x 例4【2022年新高考1卷第7题】设a=0.1e1,b=, 。，c=-ln0.9,则 9 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 帕德逼近公式： 函数 Inx Q tan x sinx cOSx √x+1 Pade(低阶) 2(x-1 2+x 3x 6x 2 3x+4 x+1 2-x 2-x2 6+x2 2+x2 x+4 3x2+6x x2+6x+12 ln1+x≈ ,e≈ ,x∈-2,2) 2+6x+6 x2-6x+12 例5设a=h1.l,b=e1-1,c=tan0.l,d=0.4 ，则( A.a<b<c<d B.a<c<b<d C.a<b<d<c D.a<c<d<b ④记忆常见数值的有理数形式比较大小 e1≈1.105，Ve≈1.65，e2≈7.39，≈0.368，ln2≈0.693，ln3≈1.1，ln5≈1.61，ln7≈1.95 V2≈1.414，V5≈1.732，V5≈2.236，V7≈2.646，√元≈1.772，π2≈9.870 练习： 练练不忘第4页共6页必有回响 函导小题构造函数比较大小崔北祥 1.若a=log515,b=log49,c=√2，则() A.c<a<b B.a<c<b C.c<b<a D.a<b<c 2.已知a=log310,b=lg27,c=V3,则a,b,c的大小顺序为() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a ,1 1 .1 3.设a=e,b=1+ln1+-,c=cos-+sin-,则() e A.a>b>c B.axc>b C.b>c>a D.b>a>c 4.设a=1+sin0.1,6=e1,c=1010,d=10r+3,则a,bc,d间的大小关系为(). 10元 A.b>c>d>a B.b>c>a>d C.c>b>d>a D.b>a>c>d 5.设a=0b=hl1+sim0.02,c=21n, 则() 50 50 A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c sin 6.设a=b=e-1,c=n9,则() 41 7 A.a>b>c B.a>c>b C.c>axb D.b>c>a 7.(2021年全国乙卷理第12题)设a=21n1.01,6=ln1.02,c=1.04-1,则() A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 练练不忘第5页共6页必有回响 函导小题构造函数比较大小崔北祥 8.设a=),b=1n 3，1 2c=2sin2则（） 2 A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a 9.设a=20222024,b=20232023,c=20242022,则(） A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 、99 10.已知a=,,b=em,c=ln101,则a,h,c的大小关系为() 100 100 A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c 1.已知a=女-1，b=a-0,c=h09,则a6,c的大小顺序为 12.己知a=1.le9,b=0.99e,c=0.9e1,则a,b,c的大小关系是 练练不忘第6页共6页必有回响