2.1.1 等式与不等式 课件-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学课件围绕等式与不等式，系统涵盖不等关系的表示、作差法比较大小及不等式性质等核心内容。课堂导入从生活实例（身高对比、铅笔长度、跷跷板体重）切入，引导学生用数学眼光观察现实世界，再抽象为不等式（组），搭建从具体到抽象的学习支架，衔接初中知识与高中不等式内容。 其亮点在于通过几何直观（国际数学家大会会标推导重要不等式）和作差法步骤化（作差、变形、判断、结论），培养学生的数学思维。资料归纳文字与符号语言转换表、不等式性质表格，结合实例（如限速问题、三角形三边关系）帮助学生用数学语言表达现实问题。学生能提升抽象能力和推理能力，教师可借助系统例题和练习提高教学效率。

2.2.1 等式与不等式 湘教版必修第一册 生活中有哪些不等关系的例子？ （1）某路段限速40km/h; （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%。 0<v≤40 问题1： 用不等式（组）表示下列问题中的不等关系？ （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 问题1： 用不等式（组）表示下列问题中的不等关系？ 设△ABC的三条边为a，b，c，则 a + b ＞ c ，a – b ＜ c . 如图，设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CD＜CE. C D E A B 知识点一：不等关系与不等式 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于， 高于， 超过 小于， 低于， 少于 大于等于，至少， 不低于 小于等于， 至多， 不超过 符号语言 __  __ ___ ___ > <  ≥ ≤ (1)仔细审题，尤其注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 　　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 例1 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆， 跟踪训练1 　　　 用不等式或不等式组表示下面的不等关系. (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m； 0<h≤4. (2)a与b的和是非负实数； a＋b≥0. 小结 用不等式表示实际问题中的不等关系： 从实际问题中抽象出不等关系 用字母表示不等关系中的量 用不等号连接字母，建立不等式 问题2：如何比较两个式子之间的大小关系？ 　在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b. 看个例子！ PART 1 比较实数a，b的大小 知识点二：实数大小的比较 基本事实 依据 a>b⇔ ； a＝b⇔ ； a<b⇔________ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0 的大小 a－b>0 a－b＝0 a－b<0 (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小. (3)对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小. 注意点： 探究一 数（式）大小的比较 (1)比较(x+1)(x+3)和(x+2)2的大小 (2)比较3x3与3x2－x＋1的大小． 例2 (1)比较(x+1)(x+3)和(x+2)2的大小 解：∵ (x+1)(x+3)-(x+2)2 =（x2+4x+3）-(x2+4x+4) =-1<0 ∴(x+1)(x+3)<(x+2)2 探究一 数（式）大小的比较 （2）比较3x3与3x2－x＋1的大小 解：∵ 3x3－(3x2－x＋1) =3x3－3x2＋x－1 =3x2(x－1)＋(x－1) =(x－1)(3x2+1) ∴当x－1>0即x>1时，3x3>3x2－x＋1； 当x－1=0即x=1时，3x3=3x2－x＋1； 当x－1<0即x<1时，3x3<3x2－x＋1； 探究一 数（式）大小的比较 作差法比较两个实数大小的基本步骤 反思感悟 小结：比较大小 PART 2 重要不等式 问题3：如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？ 　　已知a>0，b>0. 求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)； 例3 因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0， 当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a2＋3b2≥2b(a＋b). 比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明. 反思感悟 问题4：判断下列命题是否正确？ PART 3 等式的性质 (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么； (4)如果a＝b，那么ac＝bc； (5)如果a＝b，c≠0，那么 (6)如果a＝b≥0，那么an=bn(nϵN+) (7)如果 a=b≥0，那么 (nϵN+) PART 3 等式的性质 性质1 a=b⇔b         a； 性质2 a=b，b=c⇒a       c； 性质3　a=b⇔a±c        b±c； 性质4 a=b ⇒ac        bc； 性质5 a=b，c≠0⇒        ； 性质6 a=b≥0⇒an=bn(nϵN+) 性质7 a=b≥0⇒ (nϵN+) = = = = = 性质1：（对称性） 性质2：（传递性） 利用不等式基本性质和正数的相反数是负数来证明 利用不等式基本性质和两正数和仍是正数来证明 PART 4 不等式的性质 （可加性） 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向． 不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 性质4: 如果a>b,c>0,那么ac>bc.如果a>b,c<0,那么ac<bc. (可乘性) 证明： ∵a＞b，∴a－b＞0， ∵ac－bc＝c(a－b)， 若c＞0，则（a－b）c＞0，ac＞bc 若c＜0，则（a－b）c＜0，ac＜bc 性质5: 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. (同向可加性) 两个同向不等式相加,所得不等式与原不等式同向. 证明（法1）：∵a＞b，c＞d， ∴a－b＞0，c－d＞0． ∴（a－b）＋（c－d）＞0，即（a＋c）－（b＋d）＞0． ∴a＋c＞b＋d． 证明（法2）：由性质3，得a＋c＞b＋c，c＋b＞d＋b； 由性质2，得a＋c＞b＋d． 性质6：（同向同正可乘性） 利用不等式乘法性质和不等式的传递性可证明 性质7(可乘方性): 当不等式的两边都是正数时,不等式的两边同时乘方所得得不等式和原不等式同向. 性质8(可开方性):如果 a>b>0,那么 (nϵN+) 性质9(倒数法则):如果 a>b，ab>0,那么1/a<1/b ab<0,那么1/a>1/b 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c _______ 3 可加性 a>b⇔a＋c b＋c _____ 4 可乘性 a>b，c>0⇒______ a>b，c<0⇒______ c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒__________ 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒______ 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an bn(n∈N，n≥2) 同正 8 可开方性 a>b>0⇒ （n∈N，n≥2) 同正 9 倒数法则 a>b，ab>0⇒1/a<1/b a>b，ab<0⇒1/a>1/b 同号 < 不可逆 可逆 > ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd > 补充点 (1)应用性质2时,如果两个不等式中有一个带等号，而另一个不带等号，那么等号不能传递下去。如，只能得到 (2)性质5的推广:几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向，即若，则 (3)性质6的推广:几个两边都是正数的同向不等式，将它们的两边分别相乘，得到的不等式与原不等式同向，即若 ，则 . 倒数法则 简记：同号，取倒，反向 ，则有 不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算! （证明参照性质6） 　　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是 A.若a>b，则ac2>bc2 例4 √ 跟踪训练1 　　 (多选)若 ，则下面四个不等式成立的有 A.|a|>|b| B.a<b C.a＋b<ab D.a3>b3 √ √ 由 可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确； a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确； a3>b3，D正确. 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质. (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 反思感悟 探究1 不等式性质的应用--应用不等式性质判断命题真假 例2 对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确: (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若a<b<0,则a2>ab>b2; 若实数a,b满足a<b<0,则下列不等式中不成立的是(　　) 答案 (1)B　 巩固练习 ∵a>b>0，c<0， ∴ab>0，b－a<0，c(b－a)>0， 方法二　∵a>b>0， 已知a>b>0，c<0，证明： . 探究2 不等式性质的应用--应用不等式性质证明不等式 例2 ∵c>a>b>0， ∴a－b>0，c－a>0，c－b>0， 延伸探究　作差法是比较判断两个代数式的基本方法，你能用我们刚学过的性质解决本例吗？ 因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0. 方法二　因为c>a>b>0， 所以0<c－a<c－b， 探究3 不等式性质的应用--应用不等式性质求取值范围 例4 已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b,-b与a-b的取值范围. 解 ∵1<a<4,2<b<8, ∴2<2a<8,6<3b<24. ∴8<2a+3b<32. ∵2<b<8, ∴-8<-b<-2. 又∵1<a<4, ∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2), 即-7<a-b<2. 不等式只有同向可加性，没有同向可减性！！！ 巩固练习 1.已知－1<x<4，2<y<3. (1)求x－y的取值范围； (2)求3x＋2y的取值范围． －4<x－y<2 1<3x＋2y<18 2.已知－1<x<y<3，求x－y的取值范围． －4<x－y<0 已知12<a<60,15<b<36，求a/b的取值范围是__________ 误用同向不等式的性质 因为－6<a<8,2<b<3， 所以－12<2a<16， 所以－10<2a＋b<19. 又因为－3<－b<－2， 所以－9<a－b<6. ②当－6<a<0时，0<－a<6， 　　 已知－6<a<8,2<b<3，求2a＋b，a－b及 的取值范围. 例3 错用不等式性质致错 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围. (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 反思感悟 1.某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为 A.v≤120 km/h且d≥10 m B.v≤120 km/h或d≥10 m C.v≤120 km/h D.d≥10 m √ 1 2 3 4 v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m. 基础巩固 2.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是 A.5x＋4y<200 B.5x＋4y≥200 C.5x＋4y＝200 D.5x＋4y≤200 √ 1 2 3 4 依题意，得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200. 3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是 A.M>N B.M＝N C.M<N D.与x有关 √ 1 2 3 4 47 4.若实数a>b，则a2－ab____ba－b2.(填“>”或“<”) 1 2 3 4 > 因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2， 又a>b，所以(a－b)2>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45. √ 课堂 小结 1.知识清单： (1)用不等式(组)表示不等关系. (2)作差法比较大小. (3)重要不等式. 2.方法归纳：作差法. 3.常见误区：实际问题中变量的实际意义. 完成一体两翼对应的练习 课后练习（自觉做书上） 课本P34练习第1题（交） 预习基本不等式 则 (1)若a＞b＞0，则0＜＜；若a＜b＜0，则0＞＞. B.若a>b>0，则> C.若a<b<0，则> D.若a>b，>，则a>0，b<0 <<0 <<0 解 (1)当c=0时,有ac2=bc2.故该结论错误. (2)由可得a2>ab.因为 所以ab>b2,从而有a2>ab>b2.故该结论正确. A.|a|>|b| B. C. D.b2<a2 解析 因为a<b<0,所以|a|>|b|>0,<0,<0,则a2>b2,,所以,故选项ACD正确;取a=-2,b=-1,则a<b<0,则=-1,=-,此时,故选项B错误.故选B. ∴>>0， ∵c<0，∴<. 即>. > 方法一　－＝， ∴－>0，∴>. ＝＝， ∴>. 已知c>a>b>0，求证：>. －＝ 方法一　因为a>b>0，所以<， 因为c>0，所以<， 所以－1<－1，即<， 所以>. 所以0<<， 即>>0， 又因为a>b>0，所以>. ①当0≤a<8时，0≤<4； 所以0<－<3，所以－3<<0. 由①②得－3<<4. 又<<， ∵M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，∴M>N. A. B. C. D. $