精品解析：2022年四川省成都市第七中学初中学校九年级中考数学第三次诊断性数学试卷

成都七中初中学校2022届九年级数学第三次诊断性检测 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共8小题，共32分） 1. 以下各数是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的识别．整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可． 【详解】解：是分数，它是有理数；，，是无限不循环小数，它们都不是有理数； 故选：C. 2. 下列几何体中，左视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左视图的定义即可判断． 【详解】解：A、从左边看是一个圆，故本选项不合题意； B、从左边看是一个正方形，故本选项不合题意； C、从左边看是一个三角形，故本选项符合题意； D、从左边看是一个矩形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的定义，是解决问题的关键． 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，则AC的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先由sinA及已知求得AB的值，再根据勾股定理可以得到AC的值 ． 【详解】解：∵∠C＝90°，sinA＝， ∴AB＝BC＝×3＝5， ∴AC＝＝＝4． 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的意义及勾股定理的应用是解题关键． 4. 电影《长津湖》2021年9月30日上映以来，据有关票房数据显示，截止到10月7日，总票房达46.49亿．将数据46.49亿用科学记数法表示为（　　） A. 46.49×108 B. 4.649×108 C. 4.649×109 D. 0.4649×1010 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：46.49亿=4649000000= 故选C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 5. 学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示，这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） 人数（人） 9 16 14 11 时间（小时） 7 8 9 10 A. 16，15 B. 11，15 C. 8，8.5 D. 8，9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．据此解答即可． 【详解】解：∵锻炼时间为8小时的人数有16人，人数最多， ∴众数为8小时， 统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间的两人排在第25，26位，即两个人的锻炼时间分别是8，9，故中位数是． 故选：C． 6. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若S△ADE＝4．则四边形BDEC的面积为（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据点D，E分别是边AB，AC的中点，可以得到DE是三角形ABC的中位线，即可得到△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是三角形ABC的中位线 ∴DE＝BC，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ∴S△ABC＝16， ∴四边形BDEC的面积＝16﹣4＝12， 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 7. 已知点（x1，y1），（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系为（　　） A. y1＞y2 B. y1≥y2 C. y1＜y2 D. y1≤y2 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k和增减性的关系求解即可．对于反比例函数y＝，当k＞0时，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内y随x的增大而增大． 【详解】∵反比例函数y＝中的k＝5＞0， ∴反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y的值随x的值增大而减小． ∵（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2，即这两点都位于第一象限， ∴y1＞y2． 故选：A． 【点睛】此题考查了反比例函数图像的增减性，解题的关键是熟练掌握系数k和增减性的关系．对于反比例函数y＝，当k＞0时，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内y随x的增大而增大． 8. 如图，在⊙O上有三点A，B，C，连接OA，OC，BA，BC，若∠ABC＝110°，则∠AOC的大小为（　　） A. 70° B. 110° C. 130° D. 140° 【答案】D 【解析】 【分析】在优弧AC上取一点D，连接AD，DC．利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题． 【详解】在优弧AC上取一点D，连接AD，DC． ∵∠B+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣110°＝70°， ∴∠AOC＝2∠D＝140°， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆内接四边形解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（共5个小题，每题20分） 9. 若式子有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义以及二次根式有意义，根据被开方数为非负数以及分母不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵式子有意义 ∴ ∴且 故答案为：且 10. 因式分解：=______． 【答案】2（x+3）（x﹣3） 【解析】 【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可． 【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）． 故答案为：2（x+3）（x﹣3） 【点睛】考点：因式分解． 11. 一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理与外角和定理，根据多边形的内角和定理与外角和公式列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：设多边形的边数是n， 根据题意得，， 解得． 故答案为：6． 12. 如图，在中，是边上的一点，若则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质，熟记相似三角形中对应线段成比例是解决问题的关键．由得到相似比，将已知线段长度代入求值即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，解得， 故答案为：． 13. 已知菱形的边长为6，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为__________． 【答案】4或2． 【解析】 【分析】根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论． 【详解】解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M， ∵AD=AB，DP=BP， ∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）， 在直角△ABM中，∠BAM=30°， ∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3， ∴PM==， ∴AP=AM+PM=4； 当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点M AP=AM-PM=2； 当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去． AP的长为4或2． 故答案为：4或2． 【点睛】本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键． 三、解答题（共6个小题，共48分） 14. （1）计算：． （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，立方根定义，幂运算法则，注意解分式方程最后要对方程进行检验． （1）先根据特殊角的三角函数值，立方根定义，绝对值的性质，幂运算法则进行计算即可； （2）先去分母变为整式方程，然后再解整式方程，得出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 经检验：是原分式方程增根， ∴方程无解 15. 如图，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离米，在距山脚点A水平距离4米的点E处，测得古树顶端D的仰角（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果保留两位小数）（参考数据：） 【答案】12.76米． 【解析】 【分析】如图，根据已知条件得到，设，，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，设与交于， ， 设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 答：古树的高度约为12.76米． 【点睛】本题考查解直角三角形应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 16. 2022年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． （1）参加这次调查的学生总人数为______人； （2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是______；将条形统计图补充完整； （3）在D类学生中，有2名来自九年级、1名来自八年级、1名来自七年级，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员．请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好均来自九年级的概率． 【答案】（1）40 （2）；见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）结合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为，据此即可得出总人数； （2）结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人，得出比例乘以即可得；根据题意可得C类别人数为18人，据此补全条形统计图即可； （3）画出树状图，利用树状图求解即可得． 【小问1详解】 解：结合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为， ∴参加这次调查的学生总人数为： （人）， 故答案：40； 【小问2详解】 结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人， ∴扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是 ， 故答案为：； C类别人数为（人），补全图形如下： 【小问3详解】 画树状图为：设2名来自九年级为A、1名来自八年级为B、1名来自七年级为C、 共有12种等可能的结果数，其中选中2名学生恰好均来自九年级的结果为2， ∴所抽取的2名学生恰好均来自九年级的概率． 【点睛】本题主要考查结合扇形统计图与条形统计图获取相关信息，包括利用部分得出总体，扇形圆心角度数，补全条形统计图，根据树状图或列表法计算概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 17. 如图，的直径，点C为上一点，为的切线，于点O，分别交于D，E两点． （1）求证：； （2）若， ①求点A到直线的距离； ②求图中两处（点C左侧与点C右侧）阴影部分的面积之和． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，则，故，又，且，可得，故； （2）①过点作于点，则得到，解得到，再解即可； ②过点作于，结合三角函数的知识求得与的长，从而利用求得阴影部分的面积之和． 【小问1详解】 证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 【小问2详解】 解：①过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴在中，， ∴点A到直线的距离为； ②过点作于，设与交于点， ， ， ， ，， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于圆的综合题，涉及到了圆的切线的性质，圆周角定理，扇形面积的计算方法，以及三角函数相关知识，解题的关键是学会常用辅助线的作法． 18. 如图，直线与双曲线的图象交于两点． （1）若点坐标为点坐标为，求直线的解析式； （2）在（1）的基础上，若点是双曲线上一点，，求点的坐标； （3）若点坐标为点坐标为，点是线段上一动点，过点作轴，垂足为，并交双曲线于点，若当取最大值时，有，则的值为多少？ 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）将点坐标为点坐标为代入y可得，从而得到，利用待定系数法列方程组求解即可得直线的解析式； （2）过作轴，交于，如图所示，由（1）中，利用待定系数法求出反比例函数解析式，设，则，分两种情况：当点在直线下方的双曲线上；当点在直线上方的双曲线上（分点左侧部分或右侧部分两种情况），由，利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法列方程求解即可得到答案； （3）根据在线段上，设出坐标，根据轴，垂足为，表示出坐标，进而表示出坐标，得到与，代入，利用二次函数性质求出最大值，以及此时的值，进而确定出坐标，代入双曲线解析式求出的值． 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线的交于两点，点坐标为点坐标为， ， 解得， ， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：过作轴，交于，如图所示： 由（1）知，， ， ∴双曲线的解析式为y， ∵点是双曲线上一点， ∴设，则， 当点在直线下方的双曲线上，则， ， ∵，且， ∴，则， 由于，则当时，方程无解； 当点在直线上方的双曲线上（分点左侧部分或右侧部分两种情况），则， ， ∵，且或， ∴，则， 即， 或； 则点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵直线与双曲线的交于两点，点坐标为点坐标为， ∴，， 将，代入得， 解得， 即直线为， 点是线段上一动点， ∴设，其中， 轴， ， 交双曲线于点， ， ，， ∴， ∵，， ∴当时，最大值为，即， 把代入得， ∴， ∴，即值为． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，综合性强、难度较大，考查了反比例函数图象与性质、待定系数法确定一次函数表达式、待定系数法确定反比例解析式、平面直角坐标系中三角形的面积求法、解一元二次方程、二次函数的性质以及两点间的距离求法等知识，数形结合，熟练掌握函数与几何综合问题的求法是解决问题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每题4分） 19. 若，则的值是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式，由可得，将式子利用完全平方公式进行适当的变形整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：9． 20. 如图，、是线段的两个黄金分割点，．则线段_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到AD=BC=AB=，然后利用CD=AD+BC-AB进行计算． 【详解】解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点， ∴AD=BC=AB==， ∴CD=AD+BC-AB==， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 21. 我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数，某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），下列结论正确的有_______．（填序号） ①图象具有对称性，对称轴是直线； ②当或时，函数值y随x值的增大而增大； ③当或时，函数最小值是0； ④当时，函数有最大值是4； ⑤该函数与的图象有四个交点，则m的范围为． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，绝对值函数，解一元二次方程． 观察图象即可判断①④⑤是否正确，令可得，求出函数与x轴的交点，即可判断②，进而结合函数图象可判断③． 【详解】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故①正确； 令可得， ∴， ∴， ∴和是函数图象与x轴的交点坐标， 又∵对称轴是直线， ∴当或时，函数值y随x值的增大而增大，故②正确； 由图象可知和是函数图象的最低点，则当或时，函数最小值是0，故③正确； 由图象可知，当时，函数值随x的减小而增大，当时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值， 故当时的函数值4并非最大值，故④错误， 由图象可知，当交函数交于函数顶点下方，x轴上方时，有四个交点， 当时 ∴该函数与的图象有四个交点，则m的范围为，故⑤正确， 故答案为：①②③⑤ 22. 在中，，，过A作于D，点E为直线上的一动点，把线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，直线与相交于点G，与的交点为M．若，，则的面积为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分为在下方和在上方两种情况，两种情况均以为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，过作轴于H，由已知条件计算的长度从而求出点的坐标，在中，利用可得，则，由旋转的性质可得，，利用可证得，则有，，计算出的长度，可得，设直线表达式为，将分别代入可求解出直线表达式为，令得，可得点，根据三角形的面积公式分别计算出的值即可． 【详解】解：当在下方时，以原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，过作轴于H，如图： ，，， ，， ， ，， ， ， ， ，， 线段绕点E顺时针旋转，得到线段， ，， ， ， ，， ， ， 设直线表达式为， 将分别代入得： 解得：，， 直线表达式为， 在中，令得， ， ； 当在上方时，以为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，过作轴于H，如图： 同理可得，， ，， 由可得，， ， 设直线表达式为， 将分别代入得： 解得：，， 直线表达式为， 在中，令得， ， ， ； 综上所述，的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰三角形的性质等，灵活运用相关知识，建立合适的坐标系是解题的关键． 23. 如图，已知点和y轴上的动点，点B在第二象限内，和都是等边三角形（B、C、D按顺时针排序）．将沿翻折得，当点C在y轴上运动时，设点E的坐标为，则y与x的函数关系式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，从而证得，所以点在定直线上运动，设与的交点是，连接，作交于，证得，从而可以证得，进一步证明三点共线，并求出，利用待定系数法求出直线解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 和是等边三角形， ，，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， 点在与轴正半轴的夹角为的直线上运动， 设直线与的交点是，连接，作交于， ， ，， ，， ∴， ∴， ， ∴， ； 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ，即； 如图所示，设交y轴于H， ∵， ∴， 在中，， ∴， 同理可得， ， ， ， 点、、、共圆， ， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴三点共线； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵点E的坐标为， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，四点共圆，解直角三角形等等，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．学校利用围墙作为一边，用总长为48m的塑料膜围成了如图所示的两块矩形区域；已知围墙的可用长度不超过21m，设AB的长为xm，矩形区域ABCD的面积ym2． （1）求y与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （2）当矩形ABCD的面积为84m2时，求AB的长度； （3）当AB的长度是多少时，矩形区域ABCD的面积y取得最大值，最大值是多少？ 【答案】（1）y＝﹣3x2+48x，9≤x＜16 （2）14米 （3）AB的长度是9m时，矩形区域ABCD的面积y取得最大值，最大值是189m2 【解析】 【分析】（1）设AB的长为xm，则BC的长为（48﹣3x）m，根据矩形的面积公式写出函数解析式，再根据围墙的可用长度不超过21m，以及48﹣3x＞0，求出x的取值范围； （2）令y＝84，解一元二次方程，并根据x的取值范围求x的值； （3）根据（1）的函数解析式，由函数的性质求函数的最大值即可． 【小问1详解】 解：设AB的长为xm，则BC的长为（48﹣3x）m， 则y＝x（48﹣3x）＝﹣3x2+48x， ∵围墙的可用长度不超过21m， ∴48﹣3x≤21， 解答x≥9， 又∵48﹣3x＞0， ∴x＜16， ∴9≤x＜16， 即y与x之间的函数解析式是y＝﹣3x2+48x， 自变量x的取值范围是9≤x＜16； 【小问2详解】 解：当y＝84时， 84＝﹣3x2+48x， 解得x1＝2（舍去），x2＝14， 答：当矩形ABCD的面积为84m2时，AB的长度是14m； 【小问3详解】 解：∵y＝﹣3x2+48x＝﹣3（x﹣8）2+192， ∴当x＞8时，y随x的增大而减小， ∵9≤x＜16， ∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝189， 答：当AB的长度是9m时，矩形区域ABCD的面积y取得最大值，最大值是189 m2． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）． （1）当△ABC为直角三角形时，求△ABC的面积． （2）如图，当APBC时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求BQ的长； （3）当以点A，B，P为顶点的三角形和△ABC相似时（不包括两个三角形全等），求m的值． 【答案】（1）4 （2）2 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出A、B、C三点的坐标，进而表示出AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理求得m，确定C的坐标，最后运用三角形的面积公式解答即可； （2）先用待定系数法求得BC所在直线直线的解析式，进而求得直线AP的解析式，然后与抛物线的解析式联立即可解答； （3）先说明∠ABC=45°，然后分三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：由抛物线开口向上，则m＞0 令x=0，则y=-2，即C点坐标为（0，-2），OC=2 令y=0，则，解得x=-2或x=m，即点A（-2，0），点B（m，0） ∴OA=2,OB=m ∴AB=m+2 由勾股定理可得AC2=(-2-0)2+[0-（-2）]2=8, BC2=(m-0)2+[0-（-2）]2=m2+4 ∵当为直角三角形时，仅有∠ACB=90° ∴AB2= AC2+BC2，即(m+2)2=8+m2+4，解得m=2 ∴AB=m+2=4 ∴的面积为：·AB·OC=×4×2=4． 【小问2详解】 解：设BC所在直线的解析式为：y=kx+b 则 ，解得 ∴BC所在直线的解析式为y=x-2 设直线AP的解析式为y=x+c 则有：0=×（-2）+c，即c= ∴线AP的解析式为y=x+ 联立 解得x=-2（A点横坐标）,x=m+2（P点横坐标） ∴点P的纵坐标为： ∴点P的坐标为（m+2，） ∴OQ=m+2 ∴BQ=OQ-OB= m+2-m=2． 【小问3详解】 解：∵点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）． ∴设P（x，） ∵在△ABC中，∠BAC=45° ∴当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时，有三种情况： ①（ⅰ）若△ABC∽△BAP ∴ 又∵BP=AC ∴△ABC∽△BAP不符合题意； （ⅰⅰ）若△ABP∽△CAB， ∴ 过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQB=90° ∴∠BPQ=90°-∠PBQ=45° ∴PQ=BQ=m-x 由于PQ= ∴ ∴ ∴x-m=0或 ∴x=m（舍去），x=-m-2 ∴BQ=m-（-m-2）=2m+2 ∵ ∴ ∴m2-4m-4=0，解得：m=或m=（舍去） ∴m=； ②当∠PAB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论： （ⅰ）若△ABP∽△ABC,则 ,点C与点P重合，不合题意； （ⅰⅰ）若△ABP∽△ACB,则 , 过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQA=90° ∴∠APQ=90°-∠PAB=45° ∴PQ=AQ=x+2 由于PQ= ∴ ∴ ∴x+2=0或 ∴x=-2（舍去），x=2m ∴AQ= 2m+2 ∵ ∴ ∴m2-4m-4=0，解得：m=（舍去）或m= ∴m=； ③当∠APB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论： ⅰ）过点A作PM//BC交抛物线于点M，则∠MAB=∠ABC， ∵∠MAB≠∠PAB， ∴∠PAB≠∠ABC， ∴△PAB与△BAC不相似； ⅱ） 取点C关于x轴的对称点，连接并延长 交抛物线于点N，则∠NBA=∠CBA， ∵∠PBA≠∠NBA， ∴∠PBA≠∠CBA， ∴△PAB与△BAC不相似； 综上，m的值为m=或m=． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及抛物线与坐标轴的交点、勾股定理、三角形面积公式、运用待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 26. 在中，，．若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，交于点． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，点为的中点，连接交于点．若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程； （3）如图3，若，为的中点，将绕点旋转得，连接，，当最小时，求． 【答案】（1）； （2），证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）过作，垂足是，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度； （2）延长，过作垂直于的延长线，垂足是，连接，，过作于，构造全等三角形，设，利用中位线定理，解直角三角形，用的代数式表示和，即可得与的数量关系； （3）取的中点，连接，连接，构造相似三角形，利用两点之间线段最短，确定的位置，继而求得相关三角形的面积． 【小问1详解】 解：过作，垂足是，如图1： 将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， 在中有，， ， 在中，， ， ； 【小问2详解】 线段与线段的数量关系为：， 证明：延长，过作垂直于的延长线，垂足是，连接，，过作于，如图2： ， 由旋转可知，， ， ， ，，，四点共圆， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， 在等腰中，由三线合一可知是的中线， ， ， 是的中点， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 设，则，取的中点，连接，连接，如图3， 由旋转可知， ，， ， 又， ， ， ， 根据旋转和两点之间线段最短可知，最小，即是最小，此时、、共线，即在线段上， 设此时落在处，过作于，连接，如图， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 又， 设， 在直角三角形中， ， ，解得， 此时 ． 【点睛】此题主要考查全等三角形判定，等腰三角形的三线合一，解直角三角形，四点共圆，几何最值，综合性强，难度较大，属于压轴题，解得关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都七中初中学校2022届九年级数学第三次诊断性检测 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共8小题，共32分） 1. 以下各数是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，左视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，则AC的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 电影《长津湖》2021年9月30日上映以来，据有关票房数据显示，截止到10月7日，总票房达46.49亿．将数据46.49亿用科学记数法表示为（　　） A. 46.49×108 B. 4.649×108 C. 4.649×109 D. 0.4649×1010 5. 学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示，这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） 人数（人） 9 16 14 11 时间（小时） 7 8 9 10 A 16，15 B. 11，15 C. 8，8.5 D. 8，9 6. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若S△ADE＝4．则四边形BDEC的面积为（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 7. 已知点（x1，y1），（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系为（　　） A. y1＞y2 B. y1≥y2 C. y1＜y2 D. y1≤y2 8. 如图，在⊙O上有三点A，B，C，连接OA，OC，BA，BC，若∠ABC＝110°，则∠AOC的大小为（　　） A. 70° B. 110° C. 130° D. 140° 二、填空题（共5个小题，每题20分） 9. 若式子有意义，则x的取值范围是________． 10. 因式分解：=______． 11. 一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是______． 12. 如图，在中，是边上的一点，若则的长为______． 13. 已知菱形的边长为6，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为__________． 三、解答题（共6个小题，共48分） 14. （1）计算：． （2）解分式方程：． 15. 如图，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离米，在距山脚点A水平距离4米的点E处，测得古树顶端D的仰角（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果保留两位小数）（参考数据：） 16. 2022年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． （1）参加这次调查的学生总人数为______人； （2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是______；将条形统计图补充完整； （3）在D类学生中，有2名来自九年级、1名来自八年级、1名来自七年级，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员．请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好均来自九年级的概率． 17. 如图，的直径，点C为上一点，为的切线，于点O，分别交于D，E两点． （1）求证：； （2）若， ①求点A到直线的距离； ②求图中两处（点C左侧与点C右侧）阴影部分的面积之和． 18. 如图，直线与双曲线的图象交于两点． （1）若点坐标为点坐标为，求直线的解析式； （2）在（1）的基础上，若点是双曲线上一点，，求点的坐标； （3）若点坐标为点坐标为，点是线段上一动点，过点作轴，垂足为，并交双曲线于点，若当取最大值时，有，则的值为多少？ B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每题4分） 19. 若，则的值是_______． 20. 如图，、是线段的两个黄金分割点，．则线段_______． 21. 我们定义一种新函数：形如（，）函数叫做“鹊桥”函数，某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），下列结论正确的有_______．（填序号） ①图象具有对称性，对称轴是直线； ②当或时，函数值y随x值的增大而增大； ③当或时，函数最小值0； ④当时，函数有最大值4； ⑤该函数与的图象有四个交点，则m的范围为． 22. 在中，，，过A作于D，点E为直线上的一动点，把线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，直线与相交于点G，与的交点为M．若，，则的面积为_______． 23. 如图，已知点和y轴上的动点，点B在第二象限内，和都是等边三角形（B、C、D按顺时针排序）．将沿翻折得，当点C在y轴上运动时，设点E的坐标为，则y与x的函数关系式为_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．学校利用围墙作为一边，用总长为48m的塑料膜围成了如图所示的两块矩形区域；已知围墙的可用长度不超过21m，设AB的长为xm，矩形区域ABCD的面积ym2． （1）求y与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （2）当矩形ABCD的面积为84m2时，求AB的长度； （3）当AB的长度是多少时，矩形区域ABCD的面积y取得最大值，最大值是多少？ 25. 已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）． （1）当△ABC为直角三角形时，求△ABC的面积． （2）如图，当APBC时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求BQ的长； （3）当以点A，B，P为顶点的三角形和△ABC相似时（不包括两个三角形全等），求m的值． 26. 在中，，．若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，交于点． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，点为中点，连接交于点．若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程； （3）如图3，若，为的中点，将绕点旋转得，连接，，当最小时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $