精品解析：2025年江苏省淮安市北京路中学九年级中考数学模拟试卷（3）

中考数学模拟试卷（3） 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 方程的解是（ ） A. 0 B. 3 C. 0或–3 D. 0或3 2. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据:5 、4、3、4、6 、8，这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 4. 5，4 B. 3.5，4 C. 4，4 D. 5，4 5. 若二次函数的图像经过点、，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 已知一个圆锥的底面半径是3cm，高是4cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. 24cm2 B. 15cm2 C. 21cm2 D. 12cm2 7. 2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在二次函数y=a+bx+c中，x与y的部分对应值如表： x … -2 0 2 3 … y … 8 0 0 3 … 则下列说法： ① 该二次函数的图象经过原点； ②该二次函数的图象开口向下； ② 该二次函数的图象经过点(−1，3)； ④当x>0时，y随着x的增大而增大； ⑤方程a+bx+c=0有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：（每小题3分，共24分） 9. 在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是米，方差分别是（米），（米），则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是_____． 10. 在一个不透明的袋子中共装有红球、黄球和蓝球320个，这些球除颜色外都相同.小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是25 %，则估计这只袋子中有红球________. 11. 将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线对应的函数表达式是_______________. 12. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________. 13. 若扇形半径为4，圆心角为，则该扇形的面积为_________． 14. 抛物线的顶点在轴正半轴上，则t=_________. 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________． 16. 如图， AB是⊙O的直径，AB=2，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为___． 三、解答题：（本大题共11小题，共102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm，点PBD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？ 19. 某班有甲，乙，丙三个综合实践活动课题研究小组，现各课题小组将逐个进行研究成果的展示，并通过抽签确定三个小组展示的先后顺序. (1)求甲小组第一个展示的概率; (2)用列举法(画树状图或列表)求丙小组比甲小组先展示的概率. 20. 我市某中学举行十佳歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． （1）根据所给信息填空： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 初中部 85 ______ 85 _______ 高中部 _____ 80 ______ 160 （2）你觉得高中部和初中部的决赛成绩哪个更好？说明理由． 21. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率． 22. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的表达式． （2）若将将该二次函数图象向上平移____个单位长度后恰好过点； （3）观察图象，当时，y的取值范围为 ． 23. 如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD． （1）求证：△ADC∽△BGC； （2）求证：CG•AB＝CB•DG． 24. 如图，是⊙的直径，是⊙的弦，平分，交⊙于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点. (1)求证:是⊙的切线; (2)若，求长. 25. 某公司销售一批产品，进价每件50元，经市场调研，发现售价60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少25件.公司规定:售价不超过70元. (1)若公司在这次销售中要获得利润10800元，问这批产品的售价每件应提高多少元? (2)若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定多少元? 26. 在四边形ABCD中，P为CD边上一点，且△ADP∽△PCB，分别在图①和图②中用尺规作出所有满足条件的点P．（保留作图轨迹，不写作法） （1）如图①，四边形ABCD是矩形； （2）如图②，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝60°． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，连结BC．点M是抛物线上A,C之间的一个动点，过点M作MN∥BC，分别交x轴、抛物线于D，N，过点M作 EF⊥x轴，垂足为F，并交直线BC于点E， （1）求点A,B,C的坐标. （2）当点M恰好是EF中点，求BD的长. （3）连接DE,记△DEM,△BDE的面积分别为S1,S2 ，当BD=1时，请求S2-S1的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考数学模拟试卷（3） 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 方程的解是（ ） A. 0 B. 3 C. 0或–3 D. 0或3 【答案】D 【解析】 分析】运用因式分解法求解. 【详解】由得x(x-3)=0 所以，x1=0,x2=3 故选D 【点睛】掌握因式分解法解一元二次方程. 2. 已知半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 根据的半径和点到圆心的距离的大小关系判断即可． 【详解】解：根据题意可得：的半径为，点到圆心的距离为， ， ， 点P在圆内， 故选：A． 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质直接求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象的顶点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4. 一组数据:5 、4、3、4、6 、8，这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 4. 5，4 B. 3.5，4 C. 4，4 D. 5，4 【答案】A 【解析】 【分析】（1）把给出的此组数据中的数按从小到大（或从大到小）的顺序排列，由于数据个数是6，6是偶数，所以处于中间两个数的平均数就是此组数据的中位数； （2）在此组数据中出现次数最多的那个数就是此组数据的众数． 【详解】（1）按从小到大的顺序排列为：3，4，4，5，6，8， 所以这组数据的中位数是：（4+5）÷2=4.5； （2）此组数据中出现次数最多的数是4， 所以4就是此组数据的众数． 故选A． 【点睛】此题主要考查了中位数与众数的意义与求解方法． 5. 若二次函数的图像经过点、，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据：抛物线的开口向下，对称轴是y轴，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大. 【详解】因为，抛物线的开口向下，对称轴是y轴，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，-3>-4, 所以，y1>y2 故选C 【点睛】理解二次函数的基本性质. 6. 已知一个圆锥的底面半径是3cm，高是4cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. 24cm2 B. 15cm2 C. 21cm2 D. 12cm2 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出母线，再根据扇形面积公式求解. 【详解】∵圆锥的底面半径为3cm，高为4cm， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为π×3×5=15π(cm2)， 故选:B． 【点睛】熟记扇形面积公式,并灵活运用，圆锥的侧面积可表示为:母线长×半径×π.. 7. 2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】等量关系为：4月份销售额+4月份销售额×（1+增长率）+4月份销售额×（1+增长率）2=182，把相关数值代入计算求得合适解即可． 【详解】设月增长率为x，根据：等量关系为：4月份销售额+4月份销售额×（1+增长率）+4月份销售额×（1+增长率）2=182，得 50+50（1+x）+50（1+x）2=182． 故选D 【点睛】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b；得到第二季度的总销售额的等量关系是解决本题的关键． 8. 在二次函数y=a+bx+c中，x与y的部分对应值如表： x … -2 0 2 3 … y … 8 0 0 3 … 则下列说法： ① 该二次函数的图象经过原点； ②该二次函数的图象开口向下； ② 该二次函数的图象经过点(−1，3)； ④当x>0时，y随着x的增大而增大； ⑤方程a+bx+c=0有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用表中数据对①进行判断；利用交点式求出抛物线解析式为y=x2-2x，则可利用二次函数的性质对②④进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数对⑤进行判断． 【详解】解：∵由表格可得抛物线经过点（0，0）， ∴①正确； ∵抛物线经过点（0，0），（2，0），（3，3）， 设抛物线解析式为y=ax（x-2）， 把（3，3）代入得a31=3，解得a=1， ∴抛物线解析式为y=x2-2x， ∵a=1， ∴抛物线开口向上， ∴②错误； 当x=-1时，y=x2-2x=1+2=3， ∴点（-1，3）在抛物线上， ∴③正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴当x＞1时，y随着x的增大而增大，所以④错误； ∵x=0和x=2时，y=0， ∴x2+bx+c=0有两个不相等的实数根，所以⑤正确． ∴正确的有①③⑤ 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 二、填空题：（每小题3分，共24分） 9. 在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是米，方差分别是（米），（米），则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是_____． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的意义即方差越小数据越稳定，从而得出答案． 【详解】解：∵甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是米， （米），（米）， ∴， ∴两名男生中成绩较稳定的是甲； 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 10. 在一个不透明的袋子中共装有红球、黄球和蓝球320个，这些球除颜色外都相同.小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是25 %，则估计这只袋子中有红球________. 【答案】80 【解析】 【分析】用频率乘以总数=个数. 【详解】因为摸到红球的频率是25 %， 所以，估计这只袋子中有红球：320×25 %=80（个） 故答案为80 【点睛】理解频率的意义，用频率表示概率. 11. 将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线对应的函数表达式是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据“左加右减”的原则求出抛物线向左平移1个单位可得到抛物线，再根据上加下减”的原则可知，将抛物线再向下平移3个单位得到的抛物线. 【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线先向左平移1个单位可得到抛物线；由“上加下减”的原则可知，将抛物线再向下平移3个单位可得到抛物线． 故答案为 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 12. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到△≥0，即(-2)2-4×（m-3）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴△≥0，即(-2)2-4×（m-3）×1≥0，解得m≤4， ∴m的取值范围是 m≤4． 故答案为:m≤4． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 13. 若扇形半径为4，圆心角为，则该扇形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，直接根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，该扇形的面积为， 故答案为：． 14. 抛物线的顶点在轴正半轴上，则t=_________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据抛物线y＝x2﹣（t+2）x+1的顶点在x轴正半轴上，可以得到，，从而可以求得t的值，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣（t+2）x+1的顶点在x轴正半轴上， 解得，t＝0， 故答案为0． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________． 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是. 考点：勾股定理；点和圆的位置关系. 16. 如图， AB是⊙O的直径，AB=2，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】连接OD，则有OD⊥AP，进而可得动点D是以OA为直径的圆的运动轨迹，然后取OA的中点E，连接CE，最后根据圆的最值问题进行求解即可． 【详解】解：连接OD，如图所示： ∵点D是AP的中点， ∴OD⊥AP， ∴动点D是以OA为直径的圆的运动轨迹，取OA的中点E，连接CE，交⊙E于点，则CD的最小值为的长，连接AC，过点C作CF⊥AB交于点F，如图所示： ∴∠CFB=∠CFA=90°， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=60°， ∴∠CAB=30°，∠FCB=30°， ∵AB=2， ∴OA=OB=BC=1， ∴AE=OE=， 在Rt△CFB中，BF=，， ∴EF=1， ∴在Rt△CFE中，， ∴，即CD的最小值为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查圆的最值问题，关键是根据题意得到动点的运动轨迹是圆，进而求解即可． 三、解答题：（本大题共11小题，共102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， 或 解得：． 18. 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？ 【答案】8.4cm或12cm或2cm． 【解析】 【分析】由题意得出根据相似三角形的判定得出当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，代入求出即可． 【详解】∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴当或时，△PAB与△PCD是相似三角形， ∵AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm， 或 解得：BP=2cm或12cm或cm， 点P移到离点B8.4cm或12cm或2cm时，△PAB与△PCD是相似三角形. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 19. 某班有甲，乙，丙三个综合实践活动课题研究小组，现各课题小组将逐个进行研究成果的展示，并通过抽签确定三个小组展示的先后顺序. (1)求甲小组第一个展示的概率; (2)用列举法(画树状图或列表)求丙小组比甲小组先展示的概率. 【答案】 【解析】 【分析】（1）根据概率公式可直接得出答案； （2）根据题意先画出树状图得出所有等可能的情况数和丙小组比甲小组先展示的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）有可能甲小组第一个展示，也有可能乙小组第一个展示，还有可能丙小组第一个展示， ∴甲小组第一个展示的概率是； （2）画树状图如下： ∴共有6种等可能出现的结果，其中丙小组比甲小组先展示有3种结果， ∴丙小组比甲小组先展示的概率为：＝． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20. 我市某中学举行十佳歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． （1）根据所给信息填空： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 初中部 85 ______ 85 _______ 高中部 _____ 80 ______ 160 （2）你觉得高中部和初中部的决赛成绩哪个更好？说明理由． 【答案】（1）85，70，85，100（2）初中部的成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数、方差的统计意义回答； （2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可； 【详解】（1）根据统计图可得初中部5位选手的成绩从小到大排列为：75，80，85，85，100 高中部5位选手的成绩从小到大排列为：70，75，80，100，100 故初中部的中位数为：85（分）； 方差为=70； 高中部的平均数为=85（分）； 众数为100（分）； 故填表如下： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 初中部 85 85 85 70 高中部 85 80 100 160 故答案为：85，70，85，100． （2）答：我觉得初中部的成绩更好，因为初中部和高中部的成绩平均数一样，但是初中部的方差比高中部小，成绩更整齐． 【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 21. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率． 【答案】20% 【解析】 【分析】设每月获得的利润的增长率是x，然后用x分别表示出2月份和3月份，根据“3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元”列方程求解． 【详解】设这个增长率为x． 依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）=4.8， 解得 x1=0.2，x2=﹣1.2（不合题意，舍去）． 0. 2=20%． 答：这个增长率是20%． 22. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的表达式． （2）若将将该二次函数图象向上平移____个单位长度后恰好过点； （3）观察图象，当时，y的取值范围为 ． 【答案】（1）；（2）3；（3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标设顶点式，用待定系数法求二次函数解析式； （2）设二次函数向上平移h个单位长度，根据二次函数的平移方法写成新的解析式，把点代入解析式，求出h的值； （3）求出和是，函数的值，结合图象得到因变量的取值范围． 【详解】解：（1）根据函数图象知顶点坐标是， ∴设二次函数解析式为， 再把点代入，得，解得， ∴二次函数解析式为； （2）设二次函数向上平移h个单位长度，则新的解析式为：， 若该函数图象经过点，则满足，解得， 故答案：3； （3）当时，， 当时，， ∴当时，． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法，函数图象平移的方法，根据自变量取值范围求函数值范围的方法． 23. 如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD． （1）求证：△ADC∽△BGC； （2）求证：CG•AB＝CB•DG． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用有两对角相等的两个三角形相似证明即可； （2）由（1）可得=，再证明△GDC∽△BAC，所以=，进而可证明CG•AB=CB•DG． 【详解】（1）证明：∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高， ∴∠BGC＝∠ADC＝90°． 又∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BGC； （2）∵△ADC∽△BGC， ∴＝． ∴=． 又∠C＝∠C， ∴△GDC∽△BAC． ∴=, ∴CG•AB＝CB•DG． 【点睛】本题考查了相似三角形的判断和性质，利用相似三角形的性质分别得到=和=是证题的关键． 24. 如图，是⊙的直径，是⊙的弦，平分，交⊙于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点. (1)求证:是⊙的切线; (2)若，求的长. 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）通过证明OE∥AD得出结论OE⊥CD，从而证明CD是⊙0的切线； （2）在Rt△ADE中，求出AD，DE，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵AE平分∠DAC， ∴∠CAE＝∠DAE． ∵OA＝OE， ∴∠OEA＝∠OAE． ∴∠DAE＝∠AEO，． ∴AD∥OE． ∵AD⊥CD， ∴OE⊥CD． ∴CD是⊙O的切线． （2）解：连接BF交OE于K． ∵AB是直径， ∴∠AFB＝90°， ∵AB＝10，AF＝6， ∴BF＝＝8， ∵OE∥AD， ∴∠OKB＝∠AFB＝90°， ∴OE⊥BF， ∴FK＝BK＝4， ∵OA＝OB，KF＝KB， ∴OK＝AF＝3， ∴EK＝OE﹣OK＝2， ∵∠D＝∠DFK＝∠FKE＝90°， ∴四边形DFKE是矩形， ∴DE＝KF＝4，DF＝EK＝2， ∴AD＝AF+DF＝8， 在Rt△ADE中，AE＝＝＝ ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 25. 某公司销售一批产品，进价每件50元，经市场调研，发现售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少25件.公司规定:售价不超过70元. (1)若公司在这次销售中要获得利润10800元，问这批产品的售价每件应提高多少元? (2)若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定为多少元? 【答案】（1）8元；（2）售价70元时，利润最大. 【解析】 【分析】（1）设每件售价提高x元，由题意得(10+x)(800-25x)=10800,;（2）设售价提高x元，利润y元，则,在0≤x≤10范围内求函数最值. 【详解】解：（1）设每件售价提高x元， 由题意得(10+x)(800-25x)=10800, 解得：x1=8,x2=14, 因为0≤x≤10 所以，x=8 答：售价应提高8元. （2）设售价提高x元，利润y元，则 因为0≤x≤10，当x=10元时，利润最大. 答：售价为70元，获得利润最大. 【点睛】理解题意，把问题转化为二次函数的最值问题是关键. 26. 在四边形ABCD中，P为CD边上一点，且△ADP∽△PCB，分别在图①和图②中用尺规作出所有满足条件的点P．（保留作图轨迹，不写作法） （1）如图①，四边形ABCD是矩形； （2）如图②，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝60°． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作AB的中垂线，得到中点，再以AB为直径作圆，与CD的交点即为所求作的点，由直径所对的圆周角为90°，及一线三等角模型可得△ADP∽△PCB； （2）以AB为边向下作等边三角形，作这个等边三角形的外接圆，圆与线段CD的交点即为所求的点． 【小问1详解】 解：如图①中， △ADP∽△PCB，△AD∽△CB， 点P、即为所求； 【小问2详解】 （2）如图②中， △ADP∽△PCB，△AD∽△CB， 点P、即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，涉及直径所对的圆周角是90°、三角形的外接圆等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，连结BC．点M是抛物线上A,C之间的一个动点，过点M作MN∥BC，分别交x轴、抛物线于D，N，过点M作 EF⊥x轴，垂足为F，并交直线BC于点E， （1）求点A,B,C的坐标. （2）当点M恰好是EF的中点，求BD的长. （3）连接DE,记△DEM,△BDE的面积分别为S1,S2 ，当BD=1时，请求S2-S1的值． 【答案】（1）A（-1,0）B（3,0）C（0,3）（2）BD=（3） 【解析】 【详解】 试题分析： （1）在解析式：中，分别由、 解方程就可求得A、B、C的坐标； （2）由B（3， 0）和C（0， 3）可求得BC解析式为：，设，则可用含“m”的式子表达出E、F的坐标，再由M是线段EF的中点可列出关于“m”的方程，解方程求得“m”的值，就可以求得M、F的坐标，再求MD的解析式就可求得D的坐标，从而求得BD的长（也可先由已知条件证得D为线段BF的中点，然后由B、F的坐标来求BD的长）； （3）由B（3， 0）、BD=1且D在B的左边可得D（2，0），再结合MD∥BC从而可求得MD的解析式，再解方程组可求得M的坐标，并由M的坐标可得E的坐标，从而得到ME、DF和EF的长，就可求得了. 试题解析： （1）∵ 在中，当时，解得；当时，解的∴A（-1,0）B（3,0）C（0,3） ； （2）∵ B（3,0）、C（0,3） ∴BC的函数解析式为：. 设，则 ∵M为EF中点 ∴，解得： ∵M在A、C两点之间，∴. 则M的坐标为. 又∵MD平行于BC ∴MD的函数解析式为：，故 ∴ BD= （3）由图形可知，D在B点左侧，当BD=1时，D点坐标为（2,0） ∴此时MD的函数解析式为：. 则解得（舍去） ∴M点的坐标为，则E为， ∴ ME=1，，. ∴ . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $