精品解析：广东省深圳市福田区侨香外国语学校2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷

九年级数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，合计24分） 1. 菱形中，若对角线cm，cm，则菱形的周长是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．利用菱形的对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理，即可求出菱形的边长，再计算周长即可． 【详解】如图所示， 四边形是菱形，对角线，， ，，，， ， 菱形的周长是， 故选：B． 2. 在四边形中，，，加下列条件能使四边形为菱形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， A、∵， ∴平行四边形为矩形，故选项A不符合题意； B、由，不能判定四边形为菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴平行四边形为菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 3. 如图，测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：B． 4. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（　　） A. 20° B. 15° C. 12.5° D. 10° 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形、等边三角形和三角形内角和定理可以得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，AD＝DC， ∵△CDE是等边三角形， ∴DE＝DC，∠EDC＝60°， ∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形、等边三角形和三角形内角和定理的综合应用，灵活运用有关性质求解是解题关键． 5. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A. 3， B. 3，，5 C. ，， D. 3，，4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程方程的二次项系数是，一次项系数、常数项， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 6. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽度的道路，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽度为x米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 设道路的宽度为x米，利用草坪的面积为540平方米可列方程． 【详解】解：设道路的宽度为x米， 根据题意得． 故选：A． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD点F，则△DAF与四边形BCEF的面积之比为（　　） A. 3：4 B. 9：16 C. 12：19 D. 9：28 【答案】C 【解析】 【分析】根据等高的三角形面积之比等于底之比和相似三角形得出、和、的比例关系，再结合图形可得四边形BCEF的面积=，结合平行四边形的性质可得，从而得出结论． 【详解】解：连接BE， ∵DE：EC=3：1， ∴设DE=3k，EC=k，则CD=4k，， ∵ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD=4k，， ∴△DEF∽△BFA， ∴， ∴， ∴，, ∴,， ∴四边形BCEF的面积=， ∴△DAF与四边形BCEF的面积之比为:， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质．掌握等高的三角形面积之比等于底之比是解题关键． 8. 如图，有公共顶点的正方形和正方形如图摆放，其中点恰在边的四等分点（），连结．则为（　　） A. 2：3 B. ：2 C. 2： D. 15：17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形和正方形的知识，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题先连接，求得，再根据，即可求得和，即可得到答案； 【详解】解：连接，如图： ， 设， ∵恰在边的四等分点， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，°，， ∴在中根据勾股定理得，， 在中根据勾股定理得，， ∵四边形是正方形， ∴°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，合计15分） 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．先根据已知比例关系用含同一参数的式子表示和，再代入所求代数式计算即可． 【点睛】设， 则，， ， 故答案为：． 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式：菱形面积、b是两条对角线的长度 由菱形的面积公式，即可计算． 【详解】解：，， 菱形的面积 故答案为：． 11. 把方程化成的形式，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查配方法，将方程通过配方法转化为完全平方形式是解题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，确定和值后再相加即可． 【详解】， ， ，即， 则，， ， 故答案为：． 12. 如图，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则移动的距离_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质、平移的性质，熟练掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．设交于点，根据平移的性质得，，可得，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求出，再根据，即可求出平移的距离． 【详解】如图所示，设交于点， 由平移的性质得，，， ， ， 它们重合部分的面积是面积的， ， ， 设，， ， ，即， ， 故答案为：． 13. 矩形中，，，连接，，分别在边，上，连接，分别交于点，，若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先把绕点顺时针旋转，得到，延长交的延长线于点，延长交于点，连接，则四边形为正方形，且，由旋转可得，，根据可证，根据全等三角形对应边相等可得，，，利用勾股定理可以求出，根据可证，根据相似三角形的性质可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，把绕点顺时针旋转，得到， 延长交的延长线于点，延长交于点，连接， 则四边形为正方形，且， 由旋转可知，， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ，， ，， ， ， 解得：， ， ， ， ， ∴ 在中， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． 三、解答题（14题12分、15题6分、16题7分、17题8分、18题8分、19题9分、20题11分） 14. 解下列一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法、因式分解法、公式法是解题的关键． （1）方程已为完全平方形式，通过开平方转化为两个一元一次方程即可求解； （2）先将方程转化为一元二次方程的标准形式，再通过因式分解法将方程转化为两个一元一次方程即可求解； （3）将方程通过移项，利用提取公因式法进行因式分解求解； （4）先确定一元二次方程的系数，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解方程的根． 【小问1详解】 解：由，两边开平方得， 当时，， 当时，， ，； 【小问2详解】 由，移项得， ， 当时，， 当时，， ，； 【小问3详解】 由，移项得， ，即 当时，， 当时，， ，； 【小问4详解】 由，这里，，， ， ， ，． 15. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角： （1）由等边对等角，得，结合，即可作答； （2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵， ∴ 解得 16. 如图，在中，是的平分线，过D作分别交于点E、F． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，连接，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． 由是的平分线知，， 由知， ∴ ∴ ∴四边形是菱形． （2）的长为 【解析】 【分析】（1）由可证四边形是平行四边形， 再由平分及可得，则，故四边形是菱形． （2）先由勾股定理求得的长，再利用菱形的性质知的长；再设，解可求得的长，再由，利用勾股定理可求得的长，再利用菱形的对角线平分可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴． 由菱形的对角线互相垂直平分的性质知， ，，． 设A，则． 在中， ∴ 解得：．即． ∴ ∴． 17. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． 18. 阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta's formulas）． 解决问题： （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ； （3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1） 解：由，这里，，， ， ， ，， ，， 则一元二次方程两个根的和与积满足和； （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程中根与系数的关系和根的判别式，用公式法、因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式． （1）根据公式法求出的两个根，再根据题意计算和，最后验证两个根的和与积是否分别满足和； （2）根据题干中的韦达定理解答即可； （3）先根据根的判别式得，由题干中的韦达定理得和，再化简，将和代入后得到关于的一元二次方程，解方程并判断是否符合题意． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1， 设一元二次方程的一般式是， ，， 解得：，， 这个一元二次方程的一般形式为； 【小问3详解】 和是关于的方程的两个实数根， ，，， ， 又， ， 则， ， 当时，， 当时，， ，（舍去）， 则． 19. 请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点在上，． 素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，求车头盲区的长度； ②在处有一个高度为0.5的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持______米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 【答案】（1）①， ②不能，理由： 过点作交于点， ，，， ， ， ， ， 不能观察到物体 （2）45 【解析】 【分析】本题主要考查几何中角度的计算，尺规作角等于已知角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）①根据题意得到，，且，由此列式得到，即可求解； ②过点作交于点，可证，，得，由此即可求解； （2）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解． 【详解】（1）①根据题意，，，，， ， ， ，且， ， ， 检验，当时，原方程的分母不为零， ， ②略 （2）摩托车的速度为， ∴摩托车在秒的反应时间里的路程为， ∵小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域， ∴， ∴摩托车应与小汽车至少保持米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 故答案为：45 20. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”． （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点，请你在图1中找出满足条件的点，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； （2）①如图2，在四边形中，，对角线平分．请问 °？此时对角线是四边形的“亲子线”吗？请说明理由； ②若，求的值． （3）如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点，使，过点作交于点，得到，连接、，在绕点旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长 ． 【答案】（1）见解析 （2）①；对角线是四边形的“亲子线”，理由见解析；② （3）或##或 【解析】 【分析】本题是新定义题型，考查了几何图形的旋转变换、相似三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想，同时具备一定的画图能力是解题的关键． （1）在格点中先运用勾股定理求出、、，再分情况求出或，然后根据或的长作图； （2）①先判断出，再证明即可得出结论；②根据，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出的值； （3）先由得出，，再分两种情况，①延长交于点，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出；②设交于点，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出． 【小问1详解】 如图1所示，、即为所求（画出1个即可）， 由题意得：、、，， 四边形是以为“亲子线”的四边形， ①当时，或， 或， 或， 或， 只用无刻度的直尺，确定一点， 的长取整数，即； ②当时，或， 或， 或， 或， 只用无刻度的直尺，确定一点， 的长取整数，即， 故如图所示，点、即为所求（画出1个即可）； 【小问2详解】 ①是四边形的“亲子线”，理由如下： ，对角线平分， ， ， 又， ， ， 对角线是四边形的“亲子线”， 故答案为：135； ②， ， ， ， ； 【小问3详解】 ，由（2）可知为等腰直角三角形，， ， ，， ，且， ，， 第一种情况，如图所示，延长交于点， 由题意得：， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ，即， ； 第二种情况，如图所示，设交于点， 由题意得：， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ，即， ； 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，合计24分） 1. 菱形中，若对角线cm，cm，则菱形的周长是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 2. 在四边形中，，，加下列条件能使四边形为菱形的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（　　） A. 20° B. 15° C. 12.5° D. 10° 5. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A. 3， B. 3，，5 C. ，， D. 3，，4 6. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽度的道路，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽度为x米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD点F，则△DAF与四边形BCEF的面积之比为（　　） A. 3：4 B. 9：16 C. 12：19 D. 9：28 8. 如图，有公共顶点的正方形和正方形如图摆放，其中点恰在边的四等分点（），连结．则为（　　） A. 2：3 B. ：2 C. 2： D. 15：17 二、填空题（共5小题，每小题3分，合计15分） 9. 若，则________． 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为_______． 11. 把方程化成的形式，则的值是________． 12. 如图，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则移动的距离_______． 13. 矩形中，，，连接，，分别在边，上，连接，分别交于点，，若，，则的长为______． 三、解答题（14题12分、15题6分、16题7分、17题8分、18题8分、19题9分、20题11分） 14. 解下列一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 15. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 16. 如图，在中，是的平分线，过D作分别交于点E、F． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，连接，求的长． 17. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 18. 阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta's formulas）． 解决问题： （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ； （3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 19. 请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点在上，． 素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，求车头盲区的长度； ②在处有一个高度为0.5的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持______米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 20. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”． （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点，请你在图1中找出满足条件的点，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； （2）①如图2，在四边形中，，对角线平分．请问 °？此时对角线是四边形的“亲子线”吗？请说明理由； ②若，求的值． （3）如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点，使，过点作交于点，得到，连接、，在绕点旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $