作业13：解三角形（1） -2026届高三数学一轮复习

高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 作业13：《解三角形（1)》 使用说明：第一部分夯实基础：以基础题呈现，旨在保证填补知识漏洞。 第二部分考题演练：以考试常规题型呈现，难度适中，贴近高考。 第三部分拓展提升：结合新高考考情，适当创新、拔高难度，开拓视野。 解三角形版块也是大题的常考考点之一。而这部分的“小题”，经常和三角变形、基 本不等式、平面几何等知识多方面融合，导致此处的题目较为灵活，也有不小概率出现在 “小题压轴”的位置，而“大题”相对平稳，考查知识点相对固定，历年高考也主要是在 大题考这一知识点，近三年仅2025年一卷在多选题压轴考查。本版块还是采用“小题大 题分离”的训练方法。对于（1)，我们主要训练“小题”。同时，介于只有一题高考真题 的缘故，在本作业，我们将其并入“拓展提升”版块。 (本作业共23题，作业共4页。如无特殊说明，选择题均为单选题) 一、夯实基础 1.(2025高三练习)某人在C点观察河对岸的建筑物PB(B,C在同一水平面上，P,A,B在 同一铅垂线上)，已知在C点观察建筑物上的A点和P点的仰角分别为15°和60°，AP=200, 则BC=( A.100W5 B.50W3 C.100(3+1) D.50(V3+1) 2.(2023江苏高三模拟，多选)在△ABC中，若A<B,则( ) A.sinA<sinB B.sin24<sin2B C.cos4>cosB D.tan4-Bo 2 3.(2025黄浦4月模拟)在△ABC中，若A=45°，B=30°，a=26,则b= 二、考题演练 4.(2026济南高三9月摸底，多选)已知△4BC的面积为15 若 sinAcos(C-B)=sinBcos(C-A),sinc=cosB,( 2 A.C= 2 B.sinB=1 C.AC=2 4 D.4B=15 5.(2025景德镇5月模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,C=S 4 12 a=1,则b=() A. B.V3-1 c.6 2 D.√5+1 第1页共4页 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 6.(2025浙江模拟)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,atanB+tanA=-2ctaA, 则B=() A. B. 2π 3 C. 6 D.Sπ 6 7.(2025武汉四调)在△4BC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且C= 3c=6, △ABC面积为√，D为边AB上一点，CD是∠ACB的角平分线，则CD=() A.3 B.1 C.3 2 D. 8.(2024河南三模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若 b 3c cos A cos B cosC' 则tanA+tanC的最小值是() B.3 C.2W5 D.4 9.(2024遵义三模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为AC的中点，已知c=2, BD-7 ∠，且acosB+bcosA=-2 ccosB,则VABC的面积为() 2 A.25 B.3 C.5 D.3W5 3 10.（2024武汉五月模拟训练)在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C且 满足c2-d2=ab,c=2,则△ABC面积取最大值时，cosC=() A.3-1 B.3+1 c.2-2 D.2+2 2 4 2 4 11.(2025苏州三模，多选)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若 b>ecsB=5a-5,则(） 41 2 A.4=6 B.A=2B C.b=√5c D.b=2c 12.(2025苏州高三期中，多选)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 下列四个命题中正确的是() A.△ABC为锐角三角形，则sinB>cosA B.若B=60°，b2=aC,则△ABC是直角三角形 C.若bcosC+ccos B=b,则△ABC是等腰三角形 第2页共4页 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 D.若A1BC为钝角三角形，且A8=3,4C=5,cosC=8,则VABC的面积为15目 14 13.(2025黑龙江模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,C=60°， c2=3b,则 2 b 4.(2025聊城一模)在△4BC中，已知AB=5,AC=4,cs(C-B)=8,则VABC的 面积为 15.（2025广州天河区三模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 B+c2-a=2.b+c=2 acos B+2 ac0sC,则A4BC的面积为—· cosA 16.(2025佛山一模)记△4BC的内角A,B,C的对边分别为ab,c且，1 23 tanA tanB tanc' 则、 c2 a2+2b2 17.(2025淄博一模)△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为ab.c,in2B=bc0B,且 5 角8为锐角，6=8m4=号则sn(2B+C)的值为 18.(2025上海静安期中)在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点， 若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上.则线段AD的长度的最小值 为 三、拓展提升 19.(2025I,多选)已知△ABC的面积为}，若cos2A+cos2B+2sinC=2,coco8simC= 4 则( ) A.sin C=sin2 A+sin2B B.AB=√2 C.sinA+sin 2 D.AC2+BC2=3 20.(2025滨州二模)在圆内接四边形ABCD中，∠DBA=T,2BD=V5AB,则 6 ∠ADB= 若AC=4W6,则△BCD的面积最大值为 第3页共4页 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 21.(2023苏北七市三模)如图，在△ABC所在平面内，分别以AB,BC为边向外作正方 形ABEF和正方形BCHG.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S.己 4,且sin4十csinC=-4 asinCsinB,则FH= 知S=3 E G H B 22.（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习)设A,B,C是一个三角形的三个内角，则 cosA(3sinB+4sinC)的最小值为 23.(2025南通四模)在△ABC中，若tanB=,cosA ,则tanA+2tanB的最小值为 1+sinA 第4页共4页高三一轮复习课后讲义—巩固·拓展 编号：13 参考答案与解析（务必做完再对答案） 1.D 【分析】结合图形，根据正弦定理可得PC=100(V3+1),进而求解即可. 【i详解】因为siml05°=sim(60°+45)=sin60cos45+cos60rsn45°=V6+V2 4 如图所示，在△PAC中，∠PAC=105°，∠ACP=45°，∠P=30°， 由正弦定理可得，PC AP sin∠PAC sin.∠ACP 则PC AP sin∠ACP mPAC=206+510(5+1)】 √24 在△PBC中，BC=PC=50(V3+) 故选：D A B 2.ACD 【分析】求得sinA,sinB大小关系判断选项A；举反例否定选项B;求得cosA,cosB大小关 系判断选项C;求得tan2 】A,B的正负情况判断选项D. 【详解】选项A:在VABC中，若A<B,则a<b,则sinA<sinB.判断正确； 选项B:令A=<5=B,则si如2A=y5=si加n2B判断错误； 63 2 选项C:在VABC中，若A<B,则0<A<B<兀， 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 又余弦函数在(0，兀)单调递减，则cosA>cosB.判断正确： 选项D:在VABC中，若A<B,则-π<A-B<0, 子4与8<0，又正切激在(-受 单调递增， 22 则tanA-B tan0=0.判断正确. 2 故选：ACD 3.25 【分析】由正弦定理得到方程，求出答案 sn1smB故2v6 【详解】由正弦定理得a=b b sin45°sin30° 2√6b 即√21，解得b=23. 22 故答案为：2√5 4.BC 【分析】利用两角差的余弦公式，结合三角形内角和定理，可求三角形内角及其三角函数 值，判断AB的真假，利用三角形的面积公式和余弦定理，可求三角形的边长，判断CD 的真假. 【详解】因为sinAcos(C-B)=sinBcos(C-A), sin AcosC cos B+sin Asin Csin B=sin B cosC cos A+sin Bsin CsinA, 所以sin AcosC cos B=sin BcosCcosA, 所以cosC(sin AcosB-cos Asin B)=0, 所以cos Csin(A-B)=0. 所以cosC=0或sin(A-B)=0 即C=匹或A=B. 2 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 若C= 2,则2cosB=simC=1一c0sB=2显然不成立，所以C=于不成立，故A错误； 2 若A=B,则C=-(4+B)=-2B,所以mC-cosB→sm2B-osB, 所以29 sin B cos B=)cosB,因为A=B,所以A=B≠，所以cosB≠0， 2 所以血8-子故B正确： 因为A=B,所以A,B为锐角，所以cosB=V1-sim2B μ一4一 所以sinC=cosB=5, 2 8 cc=m-2=-w28=-0-2列=-1-28-名 因为VABc的面积为，所以smc=5,所以bx5_5→b=2,即4C=2, 4 2 84 故C正确： 由余弦定理，c=a+6-2aco04+4-2x2x2x(-15,所以AB=6=5,敢D 错误 故选：BC 5.C 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为B=π-A-C= 3 所以由正弦定理可得b= asin B√6 sinA 2 故选：C 6.B 【分析】利用正弦定理、切化弦以及两角和的正弦公式化简得出c0$B的值，结合角B的取 值范围可得出角B的值 【详解】由ianB+atan4=-2cta4及正弦定理可得sin Asin B+sin'A_-2 sinAsinC, cosB cosA COSA 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 因为Ae(0,),所以sinA>0,整理得simB+sinA-2sinC cos B cosA CosA’ 所以_2sinC_sin AcosB+cos AsinB_sin(A+B) sin C cosA cosAcosB cosAcosB cosAcosB 因为C∈(0，，则sinC>0,由题意知cosA≠0，csB≠0，故cosB=-, 因为B∈(0，)，因此，B=2T 3 故选：B 7.B 【分析】利用余弦定理，结合面积可求和a+b=4V3,利用S4cD+ScD=SBc,可得 cDmg+acD加gb如sm5,进而可求1cDl 62 3 【详解】在VABC中C=号，c=6,由余弦定理可得c2=+d-2cosC, 所以6=b+d2-2 bacos,所以36=b+a2-ba, 3 又VABC面积为5，所以basin-√5，所以ba=4, 3 所以36=b2+a2-ba=(a+b)-3×4,所以a+b=43, 因为CD是∠ACB的角平分线，C= 3,所以∠ACD=∠DCB= 因为SAcD+SBoD=SABc,所以 号4 CDm∠ACn+RC-CDAn∠BcD-5Ac-c8 iACB, 1 所以b.CDsin+a-CDsin亚-basin-V5, 62 62 3 所以b.CD+a.CD=4V5,所以(b+a)CD=4W3,所以CD=1. 故选：B. 8.B 【分析】由正弦定理得tanA+tanB=3tanC,再通过两角和的正切公式得tan Atan B=4, 最后使用基本不等式求解即可 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 【详解】因为a 、 b 3c cos A cos B cosC' 由正弦定理得sim4+sinB_3simC cosA cosB cosC' 所以tanA+tanB=3tanC, 又因为C=π-(A+B), 所以tanA+tanB=-3 tan A+tan B 1-tan Atan B 3 所以1= tan Atan B-1 即tan Atan B=4. tanA 3 tan4+4 显然tanA必为正（否则tanA和tanC都为负，就两个钝角)， 所以tanA+tamC= 3tanA+、4 168 293 3tanA 当且仅当4tam -3tanA,即tamA=L,A-=正取等号. 4tan.As、4 4 8 所以tanA+tanC 3 故选：B 9.D 【分析】先利用正弦定理化边为角求出角B,在向量化求出边α，再根据三角形的面积公 式即可得解 【详解】因为acosB+bcosA=-2 ccosB, 由正弦定理得sin Acos B+sin B cosA=-2 sinC cos B, sin (A+B)=sin C=-2sin C cosB, 又sinC>0,所以cosB=- 2 又B∈(O,m),所以B=2r 3 在VABC中，D为AC的中点，则BD=(BA+BC), 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 则BD-A+Bc-a+Bc+28a-BC到， 即子4+a-2a,解得a=3(a=-1合去). 所以Se=x2×3x53月 2 22 D 故选：D. 10.A 【分析】先根据条件，结合正、余弦定理，得到角A,C的关系，再用角A的三角函数表示 VABC的面积，换元，利用导数的分析面积最大值，对应的角A的三角函数值，再利用角 A,C的关系，求cosC 【详解】因为c2-ad2=ab→c2=a2+b, 又由余弦定理：c2=a2+b2-2 ab cosC,所以a2+b=a2+b2-2 ab cos C, 所以a=b-2 acos C. 由正弦定理得： sin A=sin B-2sin Acos C sin A=sin(A+C)-2sin AcosC sin A=sin C cos A-cosC sin A=sin(C-A), 所以A=C-A或A+C-A=π（舍去），故C=2A. 因为C=2A,所以B=π-3A. sinci in(2sin(3)3-din c b 2b 由正弦定理： sin 2A cosA 所以SAc-b si=3sm4-4sin4_3tamA-tan'A 1+tan'A 因为元-3A>0→A<弩所以0<mAk5 高三一轮复习课后讲义—巩固·拓展 编号：13 设f)-3 1+x,∈(0,3 则)-3-31+)(3x-x)2x￥-6r2+3 1+x2)月 (1+.x2) 由f(x)>0→x+6x-3<0→0<x2<-6+36+12=2W5-3<3, 2 由f"(x)<0→x2>23-3, 所以f()在0，V23-3上单调递增，在V23-3,5)上递减， 所以当x2=25-3时，f(x)有最大值， 即当tan2A=2√5-3时，VABC的面积最大. 此时c0sC=c0s2A=c0s'A-sin'A=cosA-s24 cos2A+sin2A 1-tan2A1-(25-3_5-1 1+tan2A1+(23-3-2 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题用到了三倍角公式sin3a=3sima-4sina,因为有些教材不讲 这个公式，所以该公式的记忆或推导在该题中就格外重要. 11.BD 【分析】先根据三角函数关系求出sinB,再利用正弦定理求出simA与sinB的关系，进而 判断A与B的关系，最后根据余弦定理求出b与C的关系，即可判断各选项 【详解】因为c0sB=6,B是三角形内角，则s如B>0. 已知a-6b,由正弦定理可得： 2 sinA=asinB2b 4605, b b 84 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 又因为sim2B=2 sin B cos B=2xi0x6-V60- ,所以sinA=sin2B 448 4 因为b>C,所以B>C,且A+B+C=π，那么A=2B或A+2B=π 若A+2B=元，又A+B+C=π，则B=C,这与B>C矛盾，所以A=2B,故选项B正确， A错误 由余弦定理可得：b=6 b2+c2-2x6b bxcX6,即b=b+e6 2 bc 即2b-3bc+c2=0,得b-3bc+2c2=0,则b=c或b=2c. ny 因为b>c,所以b=2c,故选项D正确，C错误. 故选：BD 12.AC 【分析】利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断A选项；利用余弦定理即可判断B 选项：利用正弦定理边化角即可判断C选项：利用余弦定理求出a=7或a=9,再进行 16 分类讨论即可判断D选项. 【详解】对于A若VC为锐角三角形，则4+B>受即受>B>子A, 2 2 故simB>sin 4=cosA,故A正确： 2 对于B,若B=60°，b2=ac,则b2=a2+c2-2 ac cos B=a2+c2-ac=ac, 即+c2-2ac=0,(a-c)2=0,故a=c,且B=60°，故VABC是等边三角形，故B错误； 对于C,若bcosC+ccos B=b,则sin BcosC+sin C cosB=SinB, 即sin(B+C)=sinB,即sinA=sinB, 故A=B,VABC是等腰三角形.故C正确： 对汗D,cs0=+C-公59片解钓a7成a-9。 2ab 10a14 且simc=V-cos'c-35 14 当a=7时，csA<0,A为纯角，放8 absinC15的 4 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 当a=16 号时，cosB<0,B为钝角，故S=)ab sinc=605 7 ,故D错误 2 49 故选：AC 13.号或2 【分析】由余弦定理得 合土1：0，解方程即可得翻 【详解】由余这定理有c2-山=d+6-山，所以[8+1=0， 解得分5或2 6 故答案为：行或2 号，1 8 【分析】数形结合，将∠C分为两角，再运用余弦定理和三角形面积公式计算即得. 【详解】因AB>AC,故∠C>∠B, 如图，过点C作射线CD交线段AB于点D,使∠BCD=∠B,则CD=BD, 则cos(C-B)=cos∠4CD= 8, 在a4CD中利用余弦定理得，cos∠ACD=16+CD-6-CD_2,解得CD=3, 8CD P 在aACD中利用余弦定理得，cos∠C1D=X42-6则sin∠CAD= 则en=)x4×5x35=55. 16 8 故答案为：55 P 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 C 5 B 15.3 【分析】由余弦定理整理等式，解得bc与CosA的值，根据同角三角函数以及三角形面积 公式，可得答案 b2+c2-a2 【详解】由公+c4=2,根据余弦定理，则+C =2 -，解得bc=1, cosA 2bc 同理，由b+c=2ac0sB+2acsC,则b+c=2a+c-b a2+b2-c2 +2a 2ac 2ab 通分可得b+c=ab+cb-b+ac+bc-c bc 由bc=1,则b+c=d2(b+c)+c+b-(b+c)(b-ab+c2), 化简可得6+c-公-1易知casA号则mA=。 所以VABC的面积S=)s=5 2 4 故答案为： 5 16.3 1 《分析】切化弦后结合正余弦定理可得32=：+2，故可求。2次了 【详解】因为，1+2.3 tan4 tanB tanc' sin Bsin C cos A+2sin Asin C cos B =3sin Asin B cosC, 所以bcx +c2-d+2acx号 aex atci-bi=3abxatbi-c 2bc 2ac 2ab 整理得到：3c=心+2b,故c 1 a2+2b2-31高三一轮复习课后讲义—巩固·拓展 编号：13 参考答案与解析（务必做完再对答案) 1.D 【分析】结合图形，根据正弦定理可得PC=100(√3+1，进而求解即可 【详解】因为sin105°=sin(60+459=sin60°cos45°+cos60sin45°=V6+V2, 如图所示，在△PAC中，LPAC=105°，∠ACP=45°，∠P=30°， 由正弦定理可得，PC AP sin∠PAC sin∠ACP 则PCs AP sinacp'sin∠PAC=200×V6+V2=100(√3+1） 一X V24 在△PBC中，BC=}PC=50(5+1 故选：D A B 2.ACD 【分析】求得sinA,sinB大小关系判断选项A;举反例否定选项B;求得cosA,cosB大小关 系判断选项C；求得tan 14,B的正负情况判打选项D, 2 【详解】选项A:在ABC中，若A<B,则a<b,则sinA<sinB.判断正确； 选项B:令A=<受=B,则sin2A=V5=sin2B,判断错误： 63 2 选项C:在ABC中，若A<B,则0<A<B<π， 高三一轮复习课后讲义—巩固·拓展 编号：13 又余弦函数在(O,π单调递减，则cosA>cosB.判断正确； 选项D:在ABC中，若A<B,则-π<A-B<0, 元<A-B<0,又正切函数在 单调递增， 22 A-B 则tan <tan0=0.判断正确. 2 故选：ACD 3.25 【分析】由正弦定理得到方程，求出答案 sin1sinB,敢2v6 【详解】由正弦定理得”=b b sin45osin30°’ 26b 即V2=1,解得b=25. 22 故答案为：2√3 4.BC 【分析】利用两角差的余弦公式，结合三角形内角和定理，可求三角形内角及其三角函数 值，判断AB的真假，利用三角形的面积公式和余弦定理，可求三角形的边长，判断CD 的真假 【详解】因为sinAcos(C-B)=sinBcos(C-A, sin A cosC cos B+sin A sin C sin B sin B cos C cos A+sin B sin C sin A, 所以sin AcosC cos B=sin B cosC cosA, 所以cos C(sin Acos B-cos Asin B)=0, 所以cos Csin(A-B)=0. 所以cosC=0或sinA-B）=0. 即C=工或A=B 高三一轮复习课后讲义—巩固·拓展 编号：13 分，则coc8=smC-1→c0s8=2显然不成立，所以C-号不成立，故A错谈： 若C=, 若AEB,则C=元-M+B=-2B,所以sinccosB≥sn2 3-cos B 所以2 sinB=)CosB,因为A=B,所以A=B≠，所以osB≠0， 1 2 所以sinB=,枚B正确； 4 因为A=B,所以A,B为锐角，所以cosB=V1-sin2B 1)2 所以sin Cco=5,， 8 mc=msx-21=-28=--2sm列=--2x名}=-月 因为48C的面积为5，所以5 absin C=5,所以bx西-下→b=2,却 4 84 AC=2,故C正确； 山余弦定理，c=c-8-2a,(=4+4-2x2x2×=15,所以4B=0=,枚D 错误 故选：BC 5.C 【分析】由正弦定理求解即可 【详解】因为B=π-A-C= 3, 所以由正弦定理可得b=asmB=V6 sin A 2 故选：C 6.B 【分析】利用正弦定理、切化弦以及两角和的正弦公式化简得出c0sB的值，结合角B的取 值范围可得出角B的值 【详解】由atanB+atand=-2 ctand及正弦定理可得sin Asin B+sin2A_-2 sin AsinC cos B cos A CosA 高三一轮复习课后讲义—巩固·拓展 编号：13 因为A∈(0，w列，所以sinA>0,整理得sinB+sin4-2sinC cos B cos A cos A 所以-2sinC-sin AcosB+cos4sinB_sin(A+B) sin C cos4 cos Acos B cos Acos B cos Acos B 因为C∈(0，，则sinC>0,由题意知cosA≠0，cosB≠0，故cosB=-, 因为B∈(0，列，因此，B=2 3 故选：B 7.B 【分析】利用余弦定理，结合面积可求和a+b=4V3,利用S4cD+Sco=S。4Bc,可得 CDsin basin元=√3，进而可求得CD1. 62 3 【学解】在ABC申C-了，c=6,由余弦定理可待c-+a-2 2basC, 所以6=b+a2-2 bacos,所以36=b+a-b0 又A8C面积为5，所以如sn号5，所以ba=4, 3 所以36=b2+a2-ba=(a+b)2-3×4,所以a+b=4V3, 因为CD是∠ACB的角平分线，C= 3,所以∠ACD=∠DCB= 6’ 因为SACD+S,BCD=SMBc,所以 AC:CDsin /ACDRC:CDsin /BCD-AC-CRsin /ACB 2 2 所以，b-CDsin+a:CDsin无-basin5-N5, 62 62 3 所以b.CD+a·CD=4v3,所以(b+aCD=4V3,所以CD=1 故选：B. 8.B 【分析】由正弦定理得tanA+tanB=3tanC,再通过两角和的正切公式得tan A tan B=4, 最后使用基本不等式求解即可」 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 【详解】因为a 6 3c cos A cos B cosC' 由正弦定理得sin4+simB3sinC cos A cos B cosC, 所以tanA+tanB=3tanC, 又因为C=π-(A+B), 所以tanA+tanB=-3tanA+tanB 1-tan Atan B 所以1= J tan Atan B-1' 即tan A tan B=4. 所以tanB= ,tamC=（tanA+tmB)= 4 4 tan A+ tan 4 3 tan 1 显然tanA必为正（否则tanA和tanC都为负，就两个钝角）， 所以anA+amC=4an4+,4之2，_8， 3 3tan 493 当H仅当手amA= ,即tanA=l,A=匹取等号 3 3tan A 4 8 所以tanA+tanC≥ 3 故选：B 9.D 【分析】先利用正弦定理化边为角求出角B,在向量化求出边Q,再根据三角形的面积公 式即可得解 【详解】因为ac0sB+bcosA=-2cc0sB, 由正弦定理得sin A cos B+sin B cos A=-2 sin C cos B, sin (A+B)=sin C=-2sin C cos B 又sinC>0,所以cosB=-, 又Be(0),所以B=2r, 3 在ABC中，D为AC的中点，则BD=BA+BC), 高三一轮复习课后讲义—巩固·拓展 编号：13 BD-(BA+BC)-B+2BA-BC) 即子4+。-2a.解将8=)（a=-1含去 听以5a×2x3x535 22 故选：D 10.A 【分析】先根据条件，结合正、余弦定理，得到角A,C的关系，再用角A的三角函数表示 ABC的面积，换元，利用导数的分析面积最大值，对应的角A的三角函数值，再利用角 A,C的关系，求cosC 【详解】因为c2-a2=ab→c2=a2+ab, 又由余弦定理：c2=a2+b2-2 abcosC,所以a2+ab=a2+b2-2abc0sC, 所以a=b-2ac0sC. 由正弦定理得：sinA=sinB-2 sin A cosC→sinA=sinA+C）-2 sin A cos C→ sin A=sin C cos A-cos C sin 4=sin(C-A), 所以A=C-A或A+C-A=π（舍去），故C=2A. 因为C=2A,所以B=元-3A. s咖Casn21ma23→6-2nlx-43-4sin'4 由正弦定理：C=b、2 b → sin 24 cosA 所以5c=bcsm4=3sn-4sin243amA仁an4 2 cos 4 1+tan24 因为1-31>0三A<背，所以0<1amA<5 收/=子 高三一轮复习课后讲义—巩固拓展 编号：13 则f'(x= (3-3x2)1+x2）-(3x-x）2x_-x4-6x2+3 (1+x2) (1+x2)2 由f'(x>0→r+6r2-3<0→0<x2<6+v36+12=2V5-3<3, 2 由f'(x)<0→x2>2W3-3, 所以f()在(0，V23-3上单调递增，在(V2-3,V上递减， 所以当x2=2V5-3时，f(x有最大值. 即当tan2A=2V3-3时，ABC的面积最大 此时cosC=c0s2A=cos2A-sin2A=cos4-sin24 cos24+sin2A 1-tan2A1-(25-3_V5-1 1+tan2A1+2V5-32 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题用到了三倍角公式sin3a=3 sina-4sin3a,因为有些教材不讲 这个公式，所以该公式的记忆或推导在该题中就格外重要 11.BD 【分析】先根据三角函数关系求出sinB,再利用正弦定理求出sinA与sinB的关系，进而 判断A与B的关系，最后根据余弦定理求出b与C的关系，即可判断各选项 【详解】因为cs8-,B是三角大角，则s如8>0。 己知a=6b,由正弦定理可得： sin 4=asin B=2 0x 460 115, -bx b b 84 又因为sin2B-2 sin=2xM0x6-V6o-i5 -X ,所以sinA=sin2B. 4 484 高三一轮复习课后讲义—巩固·拓展 编号：13 因为b>c,所以B>C,且A+B+C=元，那么A=2B或A+2B=π. 若A+2B=元，又A+B+C=π，则B=C,这与B>C矛盾，所以A=2B,故选项B正确， A错误 由余弦定理可得：公=(6b+C2-2×6bxcx6,即6-b:+c-bc, 2 4 4 4 皿b33bc+c2=0,得-3bc+2c2=0,则b=c或b 2 因为b>c,所以b=2c,故选项D正确，C错误 故选：BD 12.AC 【分析】利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断A选项；利用余弦定理即可判断B 选项：利用正弦定国边化角即可别新C选硕：列用余弦定迎水出a=7或a-,再进与 分类讨论即可判断D选项： 【详解】对于A若48C为说角三角形，则4+8>受即子8>受A, 2 2 故sinB>sin 行4小-6osA,放A正确： 对于B,若B=60°，b2=ac,则b2=a2+c2-2 ac cos B=a2+c2-ac=ac, 即a2+c2-2ac=0,(a-c)2=0,故a=c,且B=60°，故ABC是等边三角形，故B错误； 对于C,若b cos C+ccos B=b,则sin B cos C+sin Ccos B=sinB, 即sinB+C)=sinB,即sinA=sinB, 故A=B,ABC是等腰三角形.故C正确； 于D,scC+C-169=解得a7或a16 2ab 71 且sinC=v-cos'c-3v3 14 号a=7时，c0s4<0,A为视角，改absinC=5V8 4 雪a时，c0sB<0,B为角，散8c一absin C60N8,敬D错误 49 故选：AC 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 13.或2 【分析】由余弦定理得 50+1=0,解方程即可得解 2b 【蜂】向金款定理有c心-0b=心+公-0，所以 +1=0, 解符号或2 故答案为：2或2 14长压，1 8 【分析】数形结合，将∠C分为两角，再运用余弦定理和三角形面积公式计算即得 【详解】因AB>AC,故∠C>∠B, 如图，过点C作射线CD交线段AB于点D,使∠BCD=∠B,则CD=BD, 则cos(C-B)=c0s∠ACD= 8 右4CD市利用余弦定理得，cos∠4CD-16+CD-5-CD-?,解得CD=3, 8CD 8 在aACD中利用余弦定理得，c0s∠CAD=16+4-9_Ⅱ 24216’则 sin ZCAD= 35, 1 则SAcD= *4x5 5=155 3 16 P 故答案为： 5 D B 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：13 15.3 4 【分析】由余弦定理整理等式，解得bc与cosA的值，根据同角三角函数以及三角形面积 公式，可得答案 b2+c2-a2 【详解】由分+c,a=2,根据余弦定理，则+C-众=2， ,解得bc=1, cos4 2bc 同理，由b+c=2 acosB+2ac0sC,则b+c=2a+c2-b 2+2aQ2+b2-c2 2ac 2ab 通分可得b+c=ab+ch-b+ac+bc-c bc 由bc=1,则b+c=a2(b+c)+c+b-(b+c)b2-ab+c2）, 化简可符公+c2-公2=1，易知co4=则smA 2 所以48c的面积S=号besin-5 4 故答案为： 3 16 【分所】切化弦后结合正余弦定理可得3-心+26，故可求。=} a2+2b2=3 【详解】因为，1 2 3 tanA tanB tanC sin B sin C cos A+2sin Asin C cos B =3sin A sin B cosC, 所以bcx2+c2-d+2acxa2+c2- =3abx02+62-c2 2bc 2ac 2ab 整理得到：32=a2+2b,故c 1 a0+2b=3 故答案为：3 17.3-8v2 15 【分析】先根据二倍角公式求出cosB的值，进而求出sinB的值，再利用正弦定理求出a的 值，判断A的范围并求出cosA的值，最后根据三角函数的两角和公式求出sin(2B+C)的 值高三一轮复习课后讲义——巩固·拓展 编号：13 作业13：《解三角形（1）》 使用说明：第一部分 夯实基础：以基础题呈现，旨在保证填补知识漏洞。 第二部分 考题演练：以考试常规题型呈现，难度适中，贴近高考。 第三部分 拓展提升：结合新高考考情，适当创新、拔高难度，开拓视野。 解三角形版块也是大题的常考考点之一。而这部分的“小题”，经常和三角变形、基本不等式、平面几何等知识多方面融合，导致此处的题目较为灵活，也有不小概率出现在“小题压轴”的位置，而“大题”相对平稳，考查知识点相对固定，历年高考也主要是在大题考这一知识点，近三年仅2025年一卷在多选题压轴考查。本版块还是采用“小题大题分离”的训练方法。对于（1），我们主要训练“小题”。同时，介于只有一题高考真题的缘故，在本作业，我们将其并入“拓展提升”版块。 （本作业共23题，作业共4页。如无特殊说明，选择题均为单选题） 一、夯实基础 1．（2025高三练习）某人在点观察河对岸的建筑物（在同一水平面上，在同一铅垂线上），已知在点观察建筑物上的点和点的仰角分别为和，，则（      ） A． B． C． D． 2．（2023江苏高三模拟，多选）在△ABC中，若，则（     ） A． B． C． D． 3．（2025黄浦4月模拟）在△ABC中，若，，，则 . 二、考题演练 4．（2026济南高三9月摸底，多选）已知△ABC的面积为，若，，则（     ） A． B． C． D． 5．（2025景德镇5月模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025浙江模拟）在△ABC中，角、、的对边分别为、、，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025武汉四调）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，△ABC面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（   ） A． B．1 C． D． 8．（2024河南三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D．4 9．（2024遵义三模）在△ABC中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2024武汉五月模拟训练）在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则△ABC面积取最大值时，（    ） A． B． C． D． 11．（2025苏州三模，多选）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（     ） A． B． C． D． 12．（2025苏州高三期中，多选）已知△ABC的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（     ） A．△ABC为锐角三角形，则 B．若，，则△ABC是直角三角形 C．若，则△ABC是等腰三角形 D．若△ABC为钝角三角形，且，，，则的面积为 13．（2025黑龙江模拟）已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 14．（2025聊城一模）在△ABC中，已知，，，则的面积为 . 15．（2025广州天河区三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积为 ． 16．（2025佛山一模）记△ABC的内角的对边分别为且，则 ． 17．（2025淄博一模）△ABC中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为 ． 18．（2025上海静安期中）在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为 ． 三、拓展提升 19．（2025I，多选）已知△ABC的面积为，若，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025滨州二模）在圆内接四边形中，，则 ，若，则的面积最大值为 ． 21．（2023苏北七市三模）如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知，且asinA＋csinC＝4asinCsinB，则FH＝ ． 22．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设是一个三角形的三个内角，则的最小值为 . 23．（2025南通四模）在△ABC中，若，则的最小值为 . 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $