精品解析：2022年四川省眉山市仁寿县鳌峰初级中学九年级中考数学模拟试题

2022年鳌峰初中中考数学模拟试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. （）2＝2 3. 根据梧州日报报道，梧州市委宣传部大力开展庆祝中国共产党成立100周年优秀影片展映展播，线上文艺展播点击率为412万人次，其中4120000用科学记数法表示为（　　） A. 4.12×105 B. 4.12×106 C. 4.12×107 D. 4.12×108 4. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和方差分别是（　　） A. 4，1 B. 4，2 C. 5，1 D. 5，2 6. 如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（　　） A. 10.5 B. 12 C. 15 D. 18 7. 在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　　） A. 32° B. 36° C. 40° D. 128° 8. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 2﹣ B. 2﹣ C. 4﹣ D. 4﹣ 9. 以方程的两个根的和与积为两根的一个一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（　　） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 11. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1，y2的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（　　） A. 5t B. C. D. 5 12. 如图，在中，，，D是上的一个动点（不与点A，B重合），连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接，与相交于点F，连接．下列结论：①；②若，则；③；④若，，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 因式分解_____． 14. 函数的自变量的取值范围是_______． 15. 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ___． 16. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ___． 17. 如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为__． 18. 如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝_____cm． 三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 19. 计算：（﹣2）3+﹣2sin30°+（2019﹣π）0+|﹣4|． 20. 先化简，再求值：其中的值从不等式组的整数解中选取． 21. 为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行30分钟后到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？(参考数据：，) 22. 某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务． （1）原来每天生产健身器械多少台？ （2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？ 23. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次调查的学生共有多少名； （2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数； （3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）． 24. 如图，是的直径，点C是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为D，直线与的延长线相交于P．弦平分，交直径于点F，连结． （1）求证：平分； （2）探究线段，之间的大小关系，并加以证明； （3）若，，求的长． 25. 如图，在矩形中，E是边上一点，，，垂足为F，将四边形绕点C顺时针旋转，得到四边形，所在的直线分别交直线于点G，交直线于点P，交于点K．所在直线分别交于点H，交直线于点Q，连接交于点O． （1）如图（1），求证：四边形是正方形； （2）如图（2），当点Q和点D重合时． ①求证∶； ②若，，求线段的长． 26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点 （1）求证：∠ACB=90° （2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F． ①求DE+BF的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年鳌峰初中中考数学模拟试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 下列计算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. （）2＝2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，从而得出答案； 【详解】解：，选项A错误； 与不是同类二次根式，不能合并，选项B错误； ，选项C错误； （）2＝2，选项D正确； 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 3. 根据梧州日报报道，梧州市委宣传部大力开展庆祝中国共产党成立100周年优秀影片展映展播，线上文艺展播点击率为412万人次，其中4120000用科学记数法表示为（　　） A. 4.12×105 B. 4.12×106 C. 4.12×107 D. 4.12×108 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，可得a=4.12，原数变成4.12时，小数点移动了6位，所以n=6． 【详解】解：4120000用科学记数法表示为4120000=， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图的定义即可求解． 【详解】由图可得这个几何体的主视图是 故选C． 【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知主视图的定义． 5. 一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和方差分别是（　　） A. 4，1 B. 4，2 C. 5，1 D. 5，2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的数据可以直接写出众数，求出相应的平均数和方差，从而可以解答本题． 【详解】数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数是4， ， 则s2＝=2， 故选B． 【点睛】本题考查方差和众数，解答本题的关键是明确众数的定义，会求一组数据的方差． 6. 如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（　　） A. 10.5 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可得DC=BD，再计算△ACD周长即可． 【详解】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线， ∴BD=DC ∴AB=AD+BD=AD+DC=9 ∵AC=6 ∴△ACD的周长=AD+DC+AC=9+6=15 故选：C 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 7. 在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　　） A. 32° B. 36° C. 40° D. 128° 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ，且∠A＝20°，∠B＝4∠C， ∴ ∴ ∴∠C=32° 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用以及解一元一次方程，运用方程思想解答此类试题是常用的思想方法． 8. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 2﹣ B. 2﹣ C. 4﹣ D. 4﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】过A作AE⊥BC于E，依据AB=2，∠ABC=30°，即可得出AE=AB=1，再根据公式即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过A作AE⊥BC于E， ∵AB=2，∠ABC=30°， ∴AE=AB=1， 又∵BC=4， ∴阴影部分的面积是×4×1-=2-π， 故选A． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积，常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法． 9. 以方程的两个根的和与积为两根的一个一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设、是方程x2+2x-3=0的两个根，根据根与系数的关系可求+、，再根据根与系数的关系易求与的值，进而可求二次项系数为1的方程； 【详解】设、是方程x2+2x-3=0的两个根，那么 +=-2，=-3， ∴=-2-3=-5，= ， 若a=1，则b=5，c=6， ∴ 所求方程是y2+5y+6=0， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法； 10. 如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（　　） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的中位线定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的面积公式进行计算即可. 【详解】解： 点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 故选： 【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，矩形的判定与性质，掌握利用三角形的中位线证明四边形是平行四边形是解题的关键. 11. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1，y2的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（　　） A. 5t B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由反比例函数中的的几何意义直接可得特定的三角形的面积，从而可得答案. 【详解】解：如图，记直线y＝t与轴交于点 由反比例函数的系数的几何意义可得： 故选： 【点睛】本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，掌握反比例函数的系数与特定的图形的面积之间的关系是解题的关键. 12. 如图，在中，，，D是上的一个动点（不与点A，B重合），连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接，与相交于点F，连接．下列结论：①；②若，则；③；④若，，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出是解本题的关键． 先判断出，即可判断出①正确；求出，进而得出，即可判断出②正确；先判断出，进而得出，即可得出，最后用勾股定理即可得出③正确；先求出，再求出，进而求出，求出，即可判断出④错误． 【详解】解：∵， 由旋转知，，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵，， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在等腰直角三角形中，， 故③正确； 过点作于，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④错误， ∴①②③正确，④错误， 故选：C； 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 因式分解_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 此题可根据提公因式及完全平方公式进行因式分解，然后即可求解． 【详解】解： ； 故答案为： 14. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 15. 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ___． 【答案】＜且. 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式列不等式＞再解不等式即可得到答案. 【详解】解： 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， 且＞ 由＞ 可得＜ ＜ 综上：＜且， 故答案为：＜且. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式，掌握利用一元二次方程根的判别式求解字母系数的取值范围是解题的关键. 16. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1）， ∴方程组的解为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解． 17. 如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为__． 【答案】 【解析】 【详解】∵3AE＝2EB， 设AE=2a，BE=3a， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴=（）2=（）2=, ∵S△AEF＝1， ∴S△ABC=， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∵EF∥BC， ∴===， ∴==， ∴S△ADF= S△ADC=， 故答案是： 【点睛】本题考查了图形的相似和平行线分线段成比例定理,中等难度,找到相似比是解题关键. 18. 如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝_____cm． 【答案】5 【解析】 【详解】接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可． 【解答】解：连接AC，FC． 由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF， ∴FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC， ∵AN＝FN，∴MN＝AC， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°， ∴AC＝＝10（cm），∴MN＝AC＝5（cm）， 故答案为5． 【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 19. 计算：（﹣2）3+﹣2sin30°+（2019﹣π）0+|﹣4|． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用乘方的意义、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、零次幂的性质、绝对值的性质进行计算，再算乘法，后算加减即可． 【详解】解：(﹣2)3+﹣2sin30°+(2019-π)0+|﹣4| =﹣8+4﹣2×+1+4 =﹣8+4﹣1+1+4﹣ =﹣． 【点睛】本题主要考查了实数运算，解决此类题目的关键是熟练掌握乘方运算，特殊角三角函数值，零指数幂等考点的运算法则． 20. 先化简，再求值：其中的值从不等式组的整数解中选取． 【答案】，-2 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则化简，再解不等式组求出x的取值范围，取适当的整数值代入即可计算． 【详解】解：原式= = = = 解不等式组得， ∵， ∴x=2，代入中得 原式= 【点睛】本题考查了分式的化简求值及解不等式组的综合应用，解题的关键是掌握相应的运算法则并能根据原代数式排除-1，0，1． 21. 为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行30分钟后到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？(参考数据：，) 【答案】（1）15°；（2）海监船继续向正东方向航行安全． 【解析】 【分析】（1）作交的延长线于点，根据题意可得∠PBH=45°、∠PAB=60°,然后利用三角形外角的性质即可解答； （2）设海里，则海里，然后行程关系求得AB，再利用正切函数求得x，最后与25海里比较即可解答． 【详解】解：（1）作交的延长线于点 ∵， ∴； （2）设海里，则海里，海里 ∵在中， ∴ 解得：． ∴海监船继续向正东方向航行安全． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及运用正切函数解三角形，解答本题的关键在于利用正切函数列方程求出BH的长． 22. 某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务． （1）原来每天生产健身器械多少台？ （2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？ 【答案】（1）原来每天生产健身器械50台；（2）方案一：当m=8时，n=5，费用为：16000元；方案二：当m=9时，n=3,费用为：15900元，方案二费用最低． 【解析】 【分析】（1）设原来每天生产健身器械x台，根据等量关系是150台所用天数+余下350台改速后工作天数=8列分式方程，解分式方程与检验即可； （2）设运输公司用大货车m辆，小货车n辆，根据题意列方程与不等式组解不等式组求出m的范围8≤m10，方案一：当m=8时，n=5，费用为： 16000元，方案二：当m=9时，n=3,费用为15900元即可． 【详解】解：（1）设原来每天生产健身器械x台， 根据题意得： 解这个方程得x=50， 经检验x=50是原方程的根，并符合实际 答原来每天生产健身器械50台； （2）设运输公司用大货车m辆，小货车n辆 根据题意 由②得④， 把④代入③得 解得m≥8 ∵m10 ∴8≤m10 方案一：当m=8时，n=25-20=5， 费用为：8×1500+5×800=12000+4000=16000元； 方案二：当m=9时，n=3, 费用为9×1500+3×800=13500+2400=15900元， 方案二费用最低． 【点睛】本题考查列分式方程解应用题，与列不等式组解决方案设计问题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，列不等式组解决方案设计问题是解题关键． 23. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次调查的学生共有多少名； （2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数； （3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）． 【答案】（1）280名； （2）补全条形统计图，如图所示， 108°； （3）0.1． 【解析】 【分析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可； （2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可； （3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：（1）56÷20%=280（名）， 答：这次调查的学生共有280名； （2）280×15%=42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70=84（名）， 根据题意得：84÷280=30%，360°×30%=108°， 答：“进取”所对应的圆心角是108°； （3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为： A B C D E A （A，B） （A，C） （A，D） （A，E） B （B，A） （B，C） （B，D） （B，E） C （C，A） （C，B） （C，D） （C，E） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，E） E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） 用树状图为： 共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种， ∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是0.1． 【点睛】本题考查了补全条形统计图，圆心角的度数，运用列表或树状图求概率，解决此题的关键是读懂题意，根据图表得到需要的信息． 24. 如图，是的直径，点C是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为D，直线与的延长线相交于P．弦平分，交直径于点F，连结． （1）求证：平分； （2）探究线段，之间的大小关系，并加以证明； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，直径对的圆周角是直角，勾股定理及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． （1）连接，根据切线的性质可得，则，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得； （2）根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明，根据等角对等边即可证得； （3）证明，根据相似三角形的性质求得与的比值，在直角中利用勾股定理即可列方程求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图： ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平分． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵弦平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：连接，如图： ∵， ∴， ∴． 又∵是直径， ∴．， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∵． ∴． 设，则， 在中，， 解得，． ∵， ∴， ∴． 25. 如图，在矩形中，E是边上一点，，，垂足为F，将四边形绕点C顺时针旋转，得到四边形，所在的直线分别交直线于点G，交直线于点P，交于点K．所在直线分别交于点H，交直线于点Q，连接交于点O． （1）如图（1），求证：四边形是正方形； （2）如图（2），当点Q和点D重合时． ①求证∶； ②若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析； 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练以上判定和性质，并能够利用参数构建方程解决问题， （1）根据邻边相等的矩形是正方形，即可证明； （2）①证明可得结论；②设正方形的边长为，利用勾股定理构建方程求出，再证明,求出,求出可得结论． 【小问1详解】 证明：在矩形中，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 【小问2详解】 ①证明：∵， ∴，， ∴， ∵,， ∴， ∴； ②设正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由,可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵,,， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点 （1）求证：∠ACB=90° （2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F． ①求DE+BF的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标． 【答案】（1）（2）①9；②或． 【解析】 【分析】（1）分别计算A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股定理逆定理解题； （2）①先解出直线BC的解析式，设，接着解出，利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG的长，再证明，再分两种情况讨论以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可． 【详解】解：（1）令x=0，得 令得 ， （2）①设直线BC的解析式为：，代入，得 设 即DE+BF的最大值为9； ②点G是AC的中点， 在中， 即为等腰三角形， 若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似， 则① 又 ， 或 经检验：不符合题意，舍去， ②， 又 整理得， ， 或， 同理：不合题意，舍去， 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $