12.2第1课时　正比例函数的图象与性质 课件-2025-2026学年沪科版数学八年级上册

12.2　一次函数 第1课时　正比例函数的图象与性质 第12章　函数与一次函数 在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题，观察下面几个情境，分析一下函数关系. 一次函数与正比例函数 1 2 情景一：某弹簧的自然长度为 3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 kg，弹簧长度 y 增加 0.5 cm.你能写出 y 与 x 之间的关系吗？ y = 3 + 0.5x 情景二：某辆汽车油箱中原有油 100 L，汽车每行驶 50 km 耗油 9 L.设汽车行使路程 x (km)，油箱剩余油量 y (L)，你能写出 y 与 x 的关系吗？ y =100－0.18x 3 情景三：每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞 在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的本数 n 的 变化而变化．写出函数解析式. 情景四：冷冻一个 0 ℃ 的物体，使它每分钟下降 2 ℃， 物体温度 T（单位：℃）随冷冻时间 t（单位：min） 的变化而变化．写出函数解析式. h = 0.5n T = -2t (1) y = 3 + 0.5x； (2) y = 100－0.18x. (3) h = 0.5n； (4) T = -2t. 一般地，形如 y = kx + b (k，b 为常数，k ≠ 0)的函数叫做一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx + b 就成为 y = kx (k为常数，k ≠ 0)，像这样的函数叫做正比例函数. 正比例函数是一次函数的特殊情形 要点归纳 1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零． 方法归纳 例1 已知函数 y = (m - 1)x + 1 - m2. （1）当 m 为何值时，这个函数是一次函数? 解：（1）由题意可得 m - 1≠0，解得 m≠1. 即 m≠1 时，这个函数是一次函数. （2）当 m 为何值时，这个函数是正比例函数? （2）由题意可得 m - 1≠0，1- m2 = 0，解得 m = -1. 即 m = -1 时，这个函数是正比例函数. 典例精析 例2 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象： （1） ；（2） y = x ； （3）y = 3x. x 0 1 y = x y = 3x 0 3 0 y = 3x y = x 正比例函数的图象的画法 2 0 1 【操作】仿照例1，在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图象： （1） ； （2） y = －x ； （3）y = －3x. y = x y = -x y = -3x 【思考】观察例2和【操作】栏目中函数的图象. (2) 当 k > 0 时，正比例函数 y = kx ( k为常数，且 k≠0)的图象经过哪几个象限？ k＜0 呢? (1) 请说出正比例函数 y = 3x 和y = －3x 的图象经过的象限； y = －3x y = 3x y = 3x 过第一、三象限 y = －3x 过第二、四象限 y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 的图象是一条经过原点的直线 y = kx (k ≠ 0) 经过的象限 k＞0 k＜0 第一、三象限 第二、四象限 要点归纳 两点作图法：由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点 (0，0) 和点 (1，k)，连线即可. 例3 已知正比例函数 y = (m + 1)xm2 ，它的图象经过第几象限？ 解：因为该函数是正比例函数 m2 = 1 所以{ m + 1 ≠ 0 所以根据正比例函数图象的特点，由 k＞0 可知该函数图象经过第一、三象限. 解得 m =1，所以 m + 1 = 2＞0. 典例精析 （1）若函数图象经过第一、三象限，则 k 的取值 范围是________. 变式1： 已知正比例函数 y = (k + 1)x. k＞-1 （2）若函数图象经过点（2，4），则 k_____. 解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以 k + 1＞0，解得 k＞-1. 解析：将坐标(2，4)带入函数表达式中，得 4 = (k + 1)·2，解得 k = 1. = 1 正比例函数图象的性质 （1）当 k > 0 时，函数图象从左向右看，变化趋势是怎样的？当自变量 x 增大时，函数值 y 是怎样变化的? k ＜ 0 呢? 3 思考 观察例 2 和操作绘制的图形，思考下面的问题. 14 （2）| k | 的大小对正比例函数 y = kx (k为常数，且k ≠ 0)的图象有什么影响? 1. 当 k >0 时，y 随 x 的增大而增大（图象是自左向右上升的）； 一般地，正比例函数 y = kx（k为常数，且k ≠ 0）有下列性质： 3. |k|越大，y 随 x 的增大而增大（或减小)的速度越快. 2. 当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小（图象是自左向右下降的）; 要点归纳 例4 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)，且 y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值. 解：因为正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)， 所以 4 = m·m，解得 m =±2. 又 y 的值随着 x 值的增大而减小， 所以 m＜0，故 m =－2. 正比例函数的图象和性质 正比例函数： y = kx ( k ≠ 0 ) 图象：经过原点的直线. 一次函数：y = kx + b ( k、b 为常数，且 k ≠ 0 ) 当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大； 当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小. 1. 下列式子中，表示y是x的正比例函数的为（　B　） A. y＝x2 B. y＝ C. y＝ D. y＝2x＋3 2. 当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象大致是（　A　） A. B. C. D. B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 已知点（－2，－3）在正比例函数y＝kx的图象上，则k的值是 （　） A. B. C. 6 D. － 4. 下列函数中，是正比例函数且y随x的增大而减小的为（　C　） A. y＝－4x＋1 B. y＝4（x－3）＋12 C. y＝4（2－x）－8 D. y＝ A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 关于正比例函数y＝－ x，下列结论不正确的是（　A　） A. 点 在函数y＝－ x的图象上 B. y随x的增大而减小 C. 图象经过原点 D. 图象经过第二、四象限 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象分别为直线l1，l2，l3，l4，则下列关系正确的是（　） A. k1＜k2＜k3＜k4 B. k2＜k1＜k4＜k3 C. k1＜k2＜k4＜k3· D. k2＜k1＜k3＜k4 （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 易错题（2025·宿州泗县期末）如果y＝（m－3） 是正比例函数，那么m＝ 　－3　. －3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （1） 写出y与x之间的函数表达式. 解：（1） 把x＝4，y＝2代入y＝kx（k≠0），得2＝4k，解得k＝0.5.所以y与x之间的函数表达式为y＝0.5x. （2） 求当x＝5时，y的值. （2） 把x＝5代入y＝0.5x，得y＝0.5×5＝2.5. （3） 求当y＝10时，x的值. （3） 把y＝10代入y＝0.5x，得10＝0.5x，解得x＝20. 8. 已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（4，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （4） 当－2＜x≤6时，画出函数图象，并求y的取值范围. （第8题答案） （第8题答案） （4） 把x＝－2代入y＝0.5x，得y＝0.5×（－2）＝－1.把x＝6代入y＝0.5x，得y＝0.5×6＝3.画出函数图象如图所示.由图象，可得－1＜y≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 若正比例函数y＝（1－2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是（　C　） A. m＜0 B. m＞0 C. m＜ D. m＞ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 定义运算“*”：a*b＝ 如1*（－2）＝－1×（－2）＝2，则函数y＝2*x的图象大致是（　C　） A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 已知正比例函数y＝kx，当－4≤x≤4时，函数有最大值3，则k的值为 　 或－ 　. 或－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 已知函数y＝（k＋3）x. （1） 当k满足什么条件时，该函数为正比例函数？ 解：（1） 根据题意，得k＋3≠0，解得k≠－3. （2） 当k满足什么条件时，该函数的图象经过第一、三象限？ （2） 根据题意，得k＋3＞0，解得k＞－3. （3） 当k满足什么条件时，y随x的增大而减小？ （3） 根据题意，得k＋3＜0，解得k＜－3. （4） 当k为何值时，该函数的图象经过点（1，1）？ （4） 把（1，1）代入y＝（k＋3）x，得k＋3＝1，解得k＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴于点H，点A的横坐标为4，且三角形AOH的面积为6. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （1） 求正比例函数的表达式. 解：（1） 因为AH⊥x轴，点A的横坐标为4，且三角形AOH的面积为6，所以 ×4AH＝6.所以AH＝3.因为点A在第四象限，所以点A的坐标为（4，－3）.把A（4，－3）代入y＝kx，得－3＝4k，解得k＝－ .所以正比例函数的表达式为y＝－ x. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2） 在x轴上是否存在一点P，使三角形AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. （2） 存在.设点P的坐标为（t，0）.因为三角形AOP的面积为9，所以 ×｜t｜×3＝9，解得t＝6或t＝－6.所以点P的坐标为（6，0）或（－6，0）. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $