精品解析： 2023年江苏省南京市第一中学中考特长生公共科目部分 数学试题

2023年【一中】特长生数学 1 已知，则__________；（结果用表示） 2. __________． 3. 如图，为圆的直径，，为圆内接正方形，，分别为的中点，则阴影部分面积为______． 4 如图，菱形，矩形，，，，则__________． 5. 已知，当一定时，能构成以为腰，为底等腰三角形的个数为，填表： 3 4 5 6 7 8 9 10 2023 1 0 1 当（为正整数）时，__________． 6. 推导一元二次方程求根公式 7. 如图，为直径，，F为圆上一点，满足，与交于． （1）求证：； （2）若，，求圆O的半径． 8. 正方形中，为上一点，连接交于点，过点作，以下选项正确的是______． ①；②；③；④的最大值为 9. 已知两线段，长度分别a和b，根据要求作图： （1）尺规作图作菱形，使边长为a，一条对角线长为b； （2）用有刻度的直尺画菱形，使菱形对角线长度分别为a和b． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年【一中】特长生数学 1. 已知，则__________；（结果用表示） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了加减法解方程组和因式分解的应用．利用加减法和因式分解得到，即，则． 【详解】解： 得到， ∴ ∵ ∴，即 ∴ 故答案为： 2. __________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次根式的化简求值，设，得到原式，设，则原式 ，则原式，代入数值计算即可． 【详解】解：设， 则 设，则 原式 ∴原式 故答案为： 3. 如图，为圆的直径，，为圆内接正方形，，分别为的中点，则阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查正方形的性质，中位线的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据题意得出，确定，再由中位线定理得出，，根据平行线的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为圆直径，，为圆内接正方形， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积：， 故答案为：． 4. 如图，菱形，矩形，，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形和菱形的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．先利用面积比得出，然后设，，利用勾股定理得出，最后再利用面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵，四边形是菱形，四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴可设，， ∴， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴（负值已舍）， ∴， ∴，化简得， 故答案为：． 5. 已知，当一定时，能构成以为腰，为底的等腰三角形的个数为，填表： 3 4 5 6 7 8 9 10 2023 1 0 1 当（为正整数）时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边的关系，先根据三角形三边关系及的条件得到，进而得到，然后得到整数a的个数解答即可． 【详解】解：由得， 根据三角形的三边关系可得， 解得， 又∵， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， ∴即整数a可取，，，，，共k个， ∴， 故答案：． 6. 推导一元二次方程求根公式 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，熟记公式及推理过程是解题关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】解：设一元二次方程为： 两边除以a得： 配方得： 当时， 开平方得： ， 整理得： ， 即， 7. 如图，为直径，，F为圆上一点，满足，与交于． （1）求证：； （2）若，，求圆O的半径． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，可得为等腰三角形，则，由垂径定理与已知条件证得，利用可证得，由此即可得证； （2）设与相交于点G，由可知为等腰三角形，可得，利用可证得，利用可证得，由此可得，，于是有，设的相似比为k，则，即，，设，圆的半径为R，则有，，，，，，在中，利用勾股定理可得，于是有，，根据可得，求解出x可得，，在中，由勾股定理可得，即，最后计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，则， 为等腰三角形， 又， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ； 小问2详解】 如图：与相交于点G， ， 为等腰三角形， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ，， ， 设的相似比为k，则， ，， 设，圆的半径为R， 则，，， ， ，， 在中，， ， ， ， ， 即， 即， 解得或（舍去）， ，， 在中，， ， 即， 解得， 则圆O的半径6． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作出合适的辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 8. 正方形中，为上一点，连接交于点，过点作，以下选项正确的是______． ①；②；③；④的最大值为 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题是正方形中的几何综合题，需要对四个结论逐一分析判断，解题思路是利用正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数的最值等知识，分别对每个结论进行推理验证． 【详解】结论①：连接， 在正方形中，，，， ∴，则， ∵ ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∴ ∴，故 ∵ ∴，结论①正确． 结论②：假设，则，在正方形中是对角线，，是过G的线段，G为上任意一点，无法保证恒成立； ∴不一定等于，结论②错误． 结论③：过P作于N，于M ∵ ∵ ∵ ∴ ∵, ∴，结论③正确． 结论④：∵四边形是正方形，是其对角线 ∴ ∴ ∵在和中： ∴ 设为x，则 (为中P到的高，为中P到的高) ， ∴ 令，则 将代入 可得： ∵根据基本不等式 （当且仅当时等号成立） ∴当时：，当且仅当，即时等号成立 此时 ∴最大值为，不是，结论④错误． 综上，正确的是①③． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数的最值，掌握利用正方形的性质构造全等三角形和相似三角形． 9. 已知两线段，长度分别为a和b，根据要求作图： （1）尺规作图作菱形，使边长为a，一条对角线长为b； （2）用有刻度的直尺画菱形，使菱形对角线长度分别为a和b． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握菱形的判定是关键． （1）先作，使得，再分别以为圆心，线段的长度为半径画弧相交于点C，连接即可； （2）用有刻度的直尺画线段，测量后取其中点，在线段上方作线段．使得，连接，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可知，分别以点为中点作线段，连接，则四边形即为所求菱形． 【小问1详解】 解：如图，菱形即为所求， 【小问2详解】 如图，菱形即为所求． ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵点C是，的中点， ∴四边形是菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $