精品解析：河北省名校联考2024-2025学年高三第三次模拟考试数学试题

2024-2025学年高三第三次模拟考试 数学试题 全卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 为纯虚数，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】利用纯虚数的概念可得所满足的条件，计算求解即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式及根据确定集合，根据正弦函数值域确定集合，再求即可. 【详解】，所以. 故选：D． 3. 已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成的三角形中，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形表示出，列方程求出，利用离心率公式计算即可. 【详解】 由可得， 因为, 由正弦定理可得 ， 所以， 则椭圆的离心率为. 故选：C. 4. 函数，若的一个单调递增区间为，且，下面说法正确的是（ ） A. B. C. 在上有2个零点 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用单调区间求出判断A；由求出判断B；求出在上的零点判断C；求出函数值判断D. 【详解】对于A，由的一个单调递增区间为，得最小正周期，，A错误； 对于B，由，得或，而， 当时，，在不单调；当时， ，符合题意，，B错误； 对于C，由，得， 解得，当时，或，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 5. 若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的性质结合已知条件对函数进行分段讨论，当，根据对数函数性质得出函数单调性和最大值，当，对函数求导，结合函数单调递增，列出关于的不等式①并得出在上的最小值，再利用时的最小值不小于时的最大值，列出关于的不等式②，合并求出m的取值范围. 【详解】若，，因为底数，对数函数为单调递增函数， 在上的最大值为. 若，，求导得， 要使单调递增，则需满足①对所有恒成立，解得， 因为，则，所以， 若在上单调递增，则②，解得， 所以. 故选：C. 6. 向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（ ） A. 点关于点O的对称点不一定为 B. A，B两点间的距离为 C. 若向量平行于向量，则的值不一定为0 D. 若线段的中点为C，则点C的广义坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】根据广义坐标的定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线性质逐一判断即可. 【详解】对于A，，设关于点的对称点为，则， 因为，不共线，所以，A错误； 对于B，因为， 所以， 当向量，是相互垂直的单位向量时，，两点间的距离为，否则距离不为，B错误； 对于C，当与中至少一个是时，结论成立； 当与都不为时，设（），有，即，所以，C错误； 对于D，， 所以线段中点的广义坐标为，D正确 故选：D 7. 已知点，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，圆心，半径，则，，其中为坐标原点，可得，可知点的轨迹为以圆心，半径的圆，设为圆，由题意可知：圆与圆有公共点，则，求实数的最大值． 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 则，，其中为坐标原点， 可得， 则，可知点的轨迹为以圆心，半径的圆， 设为圆，由题意可知：圆与圆有公共点， 则，即， 解得， 所以实数的最大值为． 故选：A． 8. 已知函数的定义域为R，其导数，且和都为奇函数．若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的导数结合函数的奇偶性，对称性，周期性求解，结合函数奇偶性和对称性确定出的周期为4，即可求解． 【详解】因为为奇函数、则，则， 可知的图象关于点对称、可得，即， 可知的图象关于对称，则， 又因为为奇函数且定义域为R，则，可得， 可知的周期为4，所以，． 所以． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，则（ ） A. 该八面体的表面积是 B. 该八面体的体积是 C. 直线与平面所成角为 D. 动点在该八面体的外接球面上，且，则点的轨迹的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求出一个等边三角形的面积，从而得到八面体的表面积；B选项，作出辅助线，得到正四棱锥的高，从而得到，求出八面体的体积；C选项，找到即为直线与平面所成角，求出正弦值，得到角的大小；D选项，先找到外接球的球心和半径，作出辅助线，证明线面垂直，得到四边形截外接球的大圆即为点的轨迹，求出轨迹长度. 【详解】A选项，棱长为2的等边三角形面积为， 故该八面体的表面积，A正确； B选项，连接，相交于点，连接，则为正四棱锥的高， 则， 由勾股定理得， 故，该八面体的体积是，B错误； C选项，由B选项可知，即为直线与平面所成角， 其中，故，C正确； D选项，由于， 故该八面体的外接球的球心为，半径为， 取的中点，的中点，连接，， 由对称性可知，相交于点，即正方形的中心， 故四点共面， 由于均为等边三角形，故⊥，⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故四边形截外接球的大圆即为点的轨迹， 其长度为，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：解决与球有关外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置，注意球心到各个顶点的距离相等，可充分利用几何体的对称性，找到球心的位置或者找到球心在某个平面的投影位置，进而求出半径，得到答案. 10. 已知抛物线C：的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点（A点在x轴上方），点P在C的准线上，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. C. 当为等边三角形时，的面积为 D. 若点P的坐标为，且，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，联立直线与抛物线的方程，求出，由基本不等式可判断A；设的中点为，由到准线的距离可判断B；当为等边三角形时，求出的面积为可判断C；由可得轴为的角平分线，根据角平分线定理求出，将，代入化简可求出直线的斜率可判断D. 【详解】因为抛物线C：的准线方程为， 所以，所以，所以抛物线C：， 设，联立， 得：，则， ，，， 对于A，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B，设的中点为，由，则， 又因为，所以到准线的距离， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相切，又点P在C的准线上，所以，故B正确； 对于C，，因为为等边三角形，故在的中垂线上， 当时，显然为直角三角形，不合题意， 当时，，，， ，又因为，解得：， 所以,，故C错误； 对于D，点，则， 因为， 所以，所以轴为的角平分线，根据角平分线定理：， 设直线的倾斜角为，过点作准线交准线于点， 则，所以， 同理， 所以，解得：，，故D正确. 故选：ABD. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（ ） A. ` B. b取值范围为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为6 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由三角函数恒等变形结合正弦定理边角互化可判断选项正误；对于B， 由结合A选项分析可得，然后由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由B选项分析结合面积公式可判断选项正误；对于D，令，由B选项分析可得，然后用导数研究函数的单调性，可得周长最大值情况. 【详解】对于A，. 由正弦定理边角互化可得：， 则，故A错误； 对于B，， 则，当且仅当取等号. 由余弦定理，，又， 则，因，则，故B正确； 对于C，由B分析可知，，则，故C正确； 对于D，由B分析，， 得.. 令，则，由三角形三边关系可得， 则，则. 则，令. 则，令， 因，则在上单调递减， 则，即周长无最大值，恒小于， 故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】，，得， 当，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， ，得，即切点， 点到直线的距离为. 故答案为： 13. 已知数列 满足 若 ，表示的前n项和，则 ______. 【答案】## 【解析】 【分析】通过代入值，发现数列的周期，再利用周期性即可求该数列的前2025项和. 【详解】因，则，， ，，，， 可见4是数列的一个周期，且， 故. 故答案为：. 14. 某班级要拍毕业照，现有3名女生、2名男生要与班主任进行合影，则3名女生中有且只有2位相邻的概率为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】先对女生分组然后排列剩余男生与班主任再插空最后排相邻两女生，最后用古典概型计算概率即可. 【详解】由题意，先将2位男生和班主任排成一排，有种排法，然后将3位女生分成两组，一组2人一组1人，有种分组方法，然后2位男生和班主任排列后产生4个空有种插空方法，最后交换相邻2位女生的位置有种方法，所以3位女生中有且只有2位相邻共有种排法， 又因为6人随机排成一排有种排法， 所以所求概率为. 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站． （1）为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 50 11 30 合计 55 完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？ （2）根据以往调图经验，列车在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为，求的分布列及均值． 附，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）列联表如下： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 15 50 11 20 30 50 合计 55 45 100 认为旅客满意程度与车站编号有关联； （2）的分布列为 8 10 12 14 .【解析】 【分析】（1）根据题目所给数据补充表格即可，先零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，接着依据表格数据计算”的值，比较与的大小，再结合独立性检验的思想方法即可下结论得解； （2）先由题得的取值，接着依次计算每个取值相应的概率即可得的分布列，再根据均值公式即可直接计算求解的均值. 【小问1详解】 ）补充列联表如下： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 15 50 11 20 30 50 合计 55 45 100 零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为旅客满意程度与车站编号有关联. 【小问2详解】 由题的可能取值为8，10，12，14， 则；； ；， 所以的分布列为 8 10 12 14 所以． 16. 在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得，求得的表达式，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为，所以，即，即 又因为成等比数列，所以，即，即， 联立方程组，解得，， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 解：由（1）知，，所以， 因为，即， 可得， ， 所以，所以数列的前2n项的和为． 17. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若G点为的重心，求； （2）若，证明：平面； （3）若，且二面角的正弦值为，求. 【答案】（1） （2） 因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以，在底面上，可知， 又平面，平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）设出空间的一组基向量，将用基向量表示，运用数量积的运算律即可求得； （2）利用题设条件，先由线线垂直证明平面，得出，再证，在底面上，可得，最后由线线平行证线面平行即得； （3）设，，建立空间直角坐标系，求出相关点和平面法向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式列出方程，求得，即得. 【小问1详解】 设，，，则，， ，. 如图，连接并延长交于点,连接,则 两边取平方得. ∴，∴. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，则①，因，如图， 过点作的平行线，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 此时有 因设平面的法向量为， 则，故可取； 又设平面的法向量为， 则，故可取； 则， 由题意，，即，② 联立① ② ，解得故 【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间向量在证明线面关系，空间角等方面的应用，属于较难题. 解题的关键在于结合图形，要么选择空间的一组基底，将相关向量用基底表示，通过向量的线性运算和数量积运算求得结论；要么建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算解决问题. 18. 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点． （1）求“共轭点对”中点B所在直线l的方程． （2）设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点． ①求点，的坐标； ②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 【答案】（1） （2）①，； ②设点，，则， 两式相减得． 又，所以，所以， 即，线段PQ被直线l平分． 设点到直线的距离为d， 则四边形的面积． 由，，得． 设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值． 由消去y得． 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件， 故直线与C不可能相切， 即d小于平行直线和（或）的距离． 故. 【解析】 【分析】（1）设，根据“共轭点对”得直线方程为，化简即可； （2）①联立直线和椭圆的方程，解出即可；②设点，，利用点差法得，设过点P且与直线l平行的直线的方程为，计算直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，则证明出面积小于. 【小问1详解】 设中点B的坐标为， 对于椭圆C：上的点，由“共轭点对”的定义， 可知直线l的方程为，即l：． 【小问2详解】 ①联立直线l和椭圆C的方程，得解得或， 所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为，． ②略 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设点，，代入椭圆方程，利用点差法证明出线段PQ被直线l平分，再设过点P且与直线l平行的直线的方程为，将其与椭圆方程联立，求出直线与椭圆相切时的值，即可证明面积小于. 19. 设函数． （1）证明，其中k为整数； （2）设为的一个极值点，证明； （3）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明． 【答案】（1）证明如下： 因为函数， 所以 . （2）证明如下： 因为函数， 所以， 令，则，对满足方程的有， 所以， 由函数与函数的图象可知此方程一定有解， 故的一个极值点满足， 所以. （3）证明如下： 设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， (为奇数) 0 + (为偶数) + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根且满足， 所以， 因为，， 则， 由，可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式结合诱导公式即得； （2）根据函数导数可得，然后根据同角关系式结合条件即得； （3）由题可得极值点为第二或第四象限角，然后结合正切函数的性质讨论两极值点的差的范围即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高三第三次模拟考试 数学试题 全卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 为纯虚数，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或1 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成的三角形中，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 4. 函数，若的一个单调递增区间为，且，下面说法正确的是（ ） A. B. C. 在上有2个零点 D. 5. 若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（ ） A. 点关于点O的对称点不一定为 B. A，B两点间的距离为 C. 若向量平行于向量，则的值不一定为0 D. 若线段的中点为C，则点C的广义坐标为 7. 已知点，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，其导数，且和都为奇函数．若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，则（ ） A. 该八面体的表面积是 B. 该八面体的体积是 C. 直线与平面所成角为 D. 动点在该八面体的外接球面上，且，则点的轨迹的周长为 10. 已知抛物线C：的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点（A点在x轴上方），点P在C的准线上，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. C. 当为等边三角形时，的面积为 D. 若点P的坐标为，且，则直线的斜率为 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（ ） A. ` B. b取值范围为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 13. 已知数列 满足 若 ，表示的前n项和，则 ______. 14. 某班级要拍毕业照，现有3名女生、2名男生要与班主任进行合影，则3名女生中有且只有2位相邻的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站． （1）为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 50 11 30 合计 55 完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？ （2）根据以往调图经验，列车在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为，求的分布列及均值． 附，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前2n项和． 17. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若G点为的重心，求； （2）若，证明：平面； （3）若，且二面角的正弦值为，求. 18. 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点． （1）求“共轭点对”中点B所在直线l的方程． （2）设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点． ①求点，的坐标； ②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 19. 设函数． （1）证明，其中k为整数； （2）设为的一个极值点，证明； （3）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $