2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛加试试题（B卷）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛) 暨2025年全国高中数学联合竞赛 加试试题(B卷) 一.（本题满分40分)设a,b,c>0,a+b+c=3,记 S=a+ab+abc+bc+c. (1)证明：S≤5； (2)若S=3,求b的取值范围， 二.（本题满分40分）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠BAC平 分线上的两点E,F满足∠AEB=∠AFC=I80°-∠BAC,△AFB的外接圆与 △AEC的外接圆交于A及另一点P.证明：A,P,D三点共线. (答题时请将图画在答卷纸上) B 三.（本题满分50分）给定整数n≥2.设A是由n个不同的正整数构成的 集合，记m为集合B={x+yz|x,y,z∈A的元素个数.证明：m≥n2+n-1,并 且存在集合A使得m=n2+n-1. 四.（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数n:存在n的一个倍数 N,其在十进制表示下含有0,1,2，，9中每一个数码，并且对任意 i∈{0,1,2，，9}，可以删去N的十进制表示中的一个数码i,使所得的数仍是n 的倍数.