精品解析：广东省2024～2025学年上学期九年级中考适应性考试数学试卷

中考适应性考试 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 等于（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据一个负数的相反数为正数，即可作答． 【详解】解：表示的相反数，即等于5 故选：D 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， 10 C. 8， D. 8，10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项系数、常数项分别是，， 故选：A． 3. 据科学研究表明，移动通信技术的网络理论下载速度可达每秒以上．其中1300000用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正整数指数科学计数法，“对于一个绝对值大于10的数，科学计数法的表形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解题的关键．由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解： 故选：B． 4. 九年级一班甲、乙、丙、丁四名学生本学期数学测验成绩的平均分都是90分，方差分别是，这四名学生中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据方差的意义求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴这四名学生成绩最稳定的是甲， 故选：A． 5. 如图，菱形中，，则菱形的面积为（　　） A. 48 B. 40 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形对角线垂直即可解答，熟知菱形的面积等于对角线相乘除以2，是解题的关键． 【详解】解：，四边形是菱形， 菱形的面积=， 故选：C． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项．根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案． 【详解】解：不能计算，故A选项不正确； ，故B选项正确； ，故C选项不正确； ，故D选项不正确， 故选：B． 7. 如图，将沿方向平移到，若A，D之间的距离为2，，则等于（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，再根据线段之间的关系进行求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵， ∴， 故选：B． 8. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意得： ， 故选：D． 9. 北京冬奥会延庆赛区正在筹建的高山滑雪速滑雪道的平均坡角约为，在此雪道向下滑行米，高度大约下降了（ ）米 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据正弦等于对比斜直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵滑雪道的平均坡角约为，滑行米， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在四边形中，，，是线段上一点(不与点重合)，，连接，交于点，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角函数，垂线段最短，作于点，证明，得到，即得，推导出是等边三角形，得到，，由得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于点，则， ∵， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则b的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】把代入，转化为b的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】把代入， 得， 解得， 故答案为：1． 12. 如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握同一时刻物体与影长成正比例是解题的关键． 【详解】解：设树高是x米，则， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，，是的半径，C是上一点，，则______° 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是解题的关键．一段弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．根据圆周角定理即得答案． 【详解】所对的圆心角是，所对的圆周角是， ． 故答案为：． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的交点问题，利用两条直线交点求不等式的解集．根据题意利用数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，的图象在图象的下方． 故答案为：． 15. 如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点A，与反比例函数交于点 C，与 x轴交于点B，如果，则k的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数解析式，联立方程组根据只有一个交点求出值得到交点坐标，根据直线解析式求出点坐标，依据中点坐标公式分别求出点和点坐标，即可得到值，求出点坐标是关键． 【详解】解：联立方程组得 整理得： ∵只有一个交点， 舍去负值， ， ∴一次函数解析式为 ∴联立方程组得 解得：，（舍去）， ∴点， ∵当时， ∴ ∴线段的中点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴， ∴ ∴ 在反比例函数图象上， ∴， ， 故答案为： 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，根据0指数次幂，绝对值，二次根式的性质及特殊的三角函数值解答即可. 【详解】解： 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）只需要证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为___________人，图1中的值为___________； （2）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，则建议购买35号运动鞋多少双？ 【答案】（1）40；15 （2）60双 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的关联： （1）根据条形统计图中数据的人数相加即可求解； （2）利用35号的百分比乘数量即可求解； 解题的关键是分析题目中所给的直方图及扇形图，然后从中得到数据进行求解． 【小问1详解】 解：本次接受随机抽样调查的学生人数为： (人)，图中的值为：， 故答案为：40；15． 【小问2详解】 依题意得： （双）， 答：建议购买35号运动鞋60双． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定： （1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，再由条件可得，然后可得； （2）设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 设，则， 在中：由勾股定理得， 在中：由勾股定理得， ∴， 解得 ∴的半径为9． 20. 2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进A、B两种纪念品，用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？ （2）若该纪念品经销店A种纪念品每件售价18元，B种纪念品每件售价25元，这两种纪念品共购进500件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元，求A种纪念品最多购进多少件． 【答案】（1）A种纪念品的进价为15元，则B种纪念品的进价为元； （2）A种纪念品最多购进400件． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意列出分式方程，然后解方程并检验即可得出答案； （2）设种纪念品最多购进a件，根据“两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元”列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意有 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴A种纪念品的进价为15元，则B种纪念品的进价为元； 【小问2详解】 解：设A种纪念品购进a件，根据题意： ， 解得， ∴A种纪念品最多购进400件． 21. 建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度米，斜坡AC的坡度为（即），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号） （1）求此时建筑物MN落在斜坡上影子AP的长； （2）求建筑物MN的高度． 【答案】（1）米； （2）米． 【解析】 【分析】（1）利用， 米，可求出米，在利用勾股定理即可求出AP； （2）设，则，作交MN于点E，所以，，利用可求出x，进一步求出MN． 【小问1详解】 解：∵，米， ∴米， 由勾股定理得：米． 【小问2详解】 解：设，作交MN于点E，如下图： ∵， ∴， ∴， ∵PDME是矩形，，， ∴，， ∵ ∴，即：，解得：， ∴米． 【点睛】本题考查解直角三角形，正切，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半．要掌握正切的概念是解（1）的关键；证明是解（2）的关键． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，在中，，． 将沿边上的中线剪开，得到和． 操作发现： （1）①乐学小组将图1中的以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得，得到图2，与交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由． ②缜密小组将图1中的沿方向平移，与交于点M，与交于点N，得到图3，则四边形的形状 ． 实践探究： （2）缜密小组又发现，当②中线段的长为时，图3中的四边形会成为正方形，求a的值． （3）创新小组又把图1中的放到如图4所示的位置，点A的对应点与点D重合，点D的对应点在的延长线上，再将绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，交于点P，交AB于点Q，，此时线段的长是 ． 【答案】（1）①四边形是菱形，理由见解析；②矩形；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）①如图1所示，由三线合一定理得到，，则；如图2所示，由旋转的性质可得，，证明，再证明，即可证明四边形是菱形；②如图3所示，由平移的性质可得，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形； （2）如图1所示，利用勾股定理求出，如图3所示，由正方形的性质得到，证明，得到，即，解得； （3）如图5，过点D作于点G，先由等腰三角形的性质得到，证明，得到，进而得到，则；再证明，则，即，可得，进而可得． 【详解】解：①四边形是菱形，理由如下： 如图1所示，∵，且是中线， ∴，， ∴， 如图2所示，由旋转的性质可得，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ②如图3所示，由平移的性质可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形； （2）如图1所示，在中，， ∴， 如图3所示，∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； （3）如图5，过点D作于点G， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求此二次函数的解析式； （2）已知直线与交于点D，在第二象限与抛物线交于点P，求的值； （3）平移抛物线，如图2，使新抛物线的顶点E是直线在第一象限部分上的一动点，过E作轴于点F，过原抛物线的顶点M作轴交新抛物线于点N，若，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）过点作轴于点，交于点，则轴，可得，根据相似三角形性质得，由直线与在第二象限与抛物线交于点得，，可得，即可求解； （3）设点的坐标为，则，平移后的函数解析式为，求出点，可得点的坐标为，，由得，解方程求出的值即可得答案． 【小问1详解】 解：将，代入函数解析式得， ， 解得， 此二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：二次函数与轴交于点， ， ， 直线的解析式为， 过点作轴于点，交于点， ∴轴， ， ， 直线与第二象限与抛物线交于点， ， 解得，（由于点在第二象限，舍去）， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：设点坐标为，则， 平移后的函数解析式为， ， 点， 把代入 得，， 点的坐标为， ， ， ， 解得（舍去），， 点的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，抛物线的平移，解题的关键是掌握待定系数法以及二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考适应性考试 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 等于（ ） A. B. C. D. 5 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， 10 C. 8， D. 8，10 3. 据科学研究表明，移动通信技术的网络理论下载速度可达每秒以上．其中1300000用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 4. 九年级一班甲、乙、丙、丁四名学生本学期数学测验成绩的平均分都是90分，方差分别是，这四名学生中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，菱形中，，则菱形的面积为（　　） A. 48 B. 40 C. 24 D. 20 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将沿方向平移到，若A，D之间的距离为2，，则等于（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315 元，已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（ ） A B. C. D. 9. 北京冬奥会延庆赛区正在筹建的高山滑雪速滑雪道的平均坡角约为，在此雪道向下滑行米，高度大约下降了（ ）米 A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，是线段上一点(不与点重合)，，连接，交于点，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则b的值为_______． 12. 如图，同一时刻在阳光照射下，树影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高________． 13. 如图，，是的半径，C是上一点，，则______° 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解集为________ 15. 如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点A，与反比例函数交于点 C，与 x轴交于点B，如果，则k的值为________ 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 18. 为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为___________人，图1中的值为___________； （2）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，则建议购买35号运动鞋多少双？ 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 20. 2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进A、B两种纪念品，用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？ （2）若该纪念品经销店A种纪念品每件售价18元，B种纪念品每件售价25元，这两种纪念品共购进500件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元，求A种纪念品最多购进多少件． 21. 建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度米，斜坡AC的坡度为（即），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号） （1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长； （2）求建筑物MN的高度． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，在中，，． 将沿边上的中线剪开，得到和． 操作发现： （1）①乐学小组将图1中的以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得，得到图2，与交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由． ②缜密小组将图1中的沿方向平移，与交于点M，与交于点N，得到图3，则四边形的形状 ． 实践探究： （2）缜密小组又发现，当②中线段的长为时，图3中的四边形会成为正方形，求a的值． （3）创新小组又把图1中的放到如图4所示的位置，点A的对应点与点D重合，点D的对应点在的延长线上，再将绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，交于点P，交AB于点Q，，此时线段的长是 ． 23. 如图，二次函数图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求此二次函数的解析式； （2）已知直线与交于点D，在第二象限与抛物线交于点P，求的值； （3）平移抛物线，如图2，使新抛物线的顶点E是直线在第一象限部分上的一动点，过E作轴于点F，过原抛物线的顶点M作轴交新抛物线于点N，若，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $