第二十一章 一元二次方程 专题（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

综合专题讲解 第二十一章 一元二次方程 人教版九年级（上） 1 专题二：根的判别式的运用 专题目录 专题一：配方法的应用 专题五：一元二次方程实际应用(补充) 专题三：根与系数的关系 专题四：几何动点问题 专题一：配方法的应用 类型一 判断代数式的正负或求最值 1. 对于任意实数 x ，多项式 -x2 + 2x - 3 的值是一个 ( ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.不能确定 B 配方变形 -(x - 1)2 - 2≤-2 3 方法点拨： 求二次多项式 ax2 - bx + c 的最值或判断其正负性时，需要把它配方成 a(x + h)2 + k 的形式来解决. 当 a < 0，x = -h 时，该二次多项式有最大值 k ； 当 a > 0，x = -h 时，该二次多项式有最小值 k . 1.已知代数式 4m2 - 4(m + 1) + 9 . (1) 试说明:不论 m 取任何实数，代数式的值总是正数； (2) 当 m 为何值时，此代数式的值最小？并求出这个最小值. 解：(1) 4m2 - 4(m + 1)+9 = 4m2 - 4m - 4 + 9 = (2m - 1)2 + 4≥4， ∴不论 m 为何值时，代数式的值总为正数. (2) 由 4m2 - 4(m + 1)+9 = (2m - 1)2 + 4≥4，当 ， 此代数式的值最小，最小为 4. 练一练 类型二 利用配方法构造非负数求值 1.已知 x2 + y2 - 4x + 6y + 13 = 0 ，则 (x + y)2024=______. 1 x2 + y2 - 4x+6y+13 = 0 (x - 2)2+(y + 3)2 = 0 x = 2， y = -3 1. 已知 m，n 是 △ABC 的两条边长，且满足 10m2 + 4n2 + 4 = 12mn + 4m，若该三角形的第三条边长 k 的值是奇数，求 k 的值. 解：∵ 10m2 + 4n2 + 4 = 12mn + 4m， 等式整理得 9m2 -12mn + 4n2 + m2 -4m + 4 = 0， ∴ (3m - 2n)2 + (m - 2)2 = 0 ∴ ∴ 1 ＜ k ＜5，即 k = 3. ∴ 练一练 专题二：根的判别式的运用 例1 (武汉江汉区期中) 关于 x 的方程 kx2 + (2k - 1)x + k - 3 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. A 根的判别式的应用：Δ=b2 - 4ac 根据根的不同情况，利用判别式列出含未知数的不等式，求出未知数取值范围. 判别式 根 两个不相等的实数根 Δ > 0 Δ = 0 两个相等的实数根 两个实数根 没有实数根 Δ < 0 Δ≥0 1.(潜江月考) 关于 x 的一元二次方程 x2 - 3x + k = 0 有实数根. (1) 求 k 的取值范围； (2) 如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 (m - 1)x2 + x + m - 3 = 0 与 x2 - 3x + k = 0 有一个相同的根， 求此时 m ，求此时 m 的值. 练一练 解：(1) 根据题意得：Δ=(-3)2 - 4k ≥ 0，解得 . (2) 满足条件的 k 的最大整数为 2， 此时方程 x2 - 3x + k = 0 变形为方程 x2 - 3x + 2 = 0， 解得 x1 = 1，x2 = 2. 当相同的解为 x = 1 时， 把 x = 1 代入方程 (m - 1)x2 + x + m - 3 = 0 ， 得 m = . 专题三：根与系数的关系 例1 关于 x 的方程 (k﹣1)x2 + 2kx + 2 ＝ 0． (1) 求证：无论 k 为何值，方程总有实数根． (2) 设 x1，x2 是方程 (k﹣1)x2 + 2kx + 2＝0 的两个根，记 ，S 的值能为 2 吗？若能，求出此时 k 的值；若不能，请说明理由． 解：(1) 当 k = 1，原方程可化为 2x + 2 = 0， 解得 x = -1，此时该方程有实数根； 当 k ≠ 1 时，方程是一元二次方程． ∴ Δ = (2k)2 - 4(k - 1)×2 = (k - 1)2 + 4 ＞ 0， 即无论 k 为何值，方程总有实数根 (2) 由根与系数的关系可知， 将 x1 + x2、x1x2 代入整理得：k2 - 3k + 2 = 0， 解得：k = 1(舍) 或 k = 2，∴S 的值能为 2，此时 k = 2. 例2 (武汉中考改编)已知 a，b 是方程 x2 - 3x - 5 ＝ 0 的两根． (1) 求 a2 - 4a - b 的值； (2) 求 的值； (3) 求 2a3 - 6a2 + b2 + 7b + 1 的值. 解：∵ a，b 是方程 x2 - 3x - 5 ＝ 0 的两根， ∴ a2 - 3a - 5＝0，b2 - 3b - 5＝0，a + b = 3. ∴ a2 - 3a ＝ 5，b2 ＝ 3b + 5. (1) a2 - 4a - b = a2 - 3a - (a + b) = 5 - 3 = 2. (2) 易得 a≠0， (3) 2a3 - 6a2 + b2 + 7b + 1 = 2a(a2 - 3a) + 3b + 5 + 7b + 1 = 10a + 10b + 6 = 10(a + b) + 6 = 36. 根与系数的关系： 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 1.设 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 - 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0 的两个实数根． (1) 求 m 的取值范围； (2) 若 x12 + x22 = | x1 | + | x2 | + x1x2，求 m 的值. 练一练 解：(1) 依题意得可知 Δ≥0， 即 4(m + 1)2 - 4(m2 + 3)≥0，∴m≥1． (2) 依题意得可知 x1 + x2 = 2(m + 1)，x1x2 = m2 + 3. ∵ m≥1，∴ x1 + x2＞0，x1x2＞0. ∴ x1＞0，x2＞0. ∵ x12 + x22 = | x1 | + | x2 | + x1x2 . ∴ (x1 + x2)2 = x1 + x2 + 3x1x2 . ∴ 4(m + 1)2 = 2(m + 1) + 3(m2 + 3) . 整理得 m2 + 6m - 7 = 0 ，解得 m = 1 或 m = -7. ∵ m≥1，∴ m = 1. 专题四：几何动点问题 例1 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6 cm， BC = 8 cm.点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动.若 P、Q 两点同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，P、Q 两点同时停止运动，当 △PQB 的面积是 △ABC 的面积的三分之一，运动时间为 ( ) A. 4 s B. 2 s C. 2 s 或 4 s D. 3 s 或 4 s C 几何动点问题： 常考几何动点问题与求面积公式、线段之间关系式等相结合，设出合理的未知数，列出对应方程，这类问题便迎刃而解. 1.(孝感孝南区月考改编)如图，在矩形 ABCD 中， AB = 16 cm，AD = 6 cm，动点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，点 P 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达 B 为止，点 Q 以 2 cm/s 的速度向 D 移动.经过多长时间后，点 P 和点 Q 之间的距离是 10 cm? 练一练 解：设经过 t s 后，点 P 和点 Q 之间的距离是 10 cm. 如图，过点 P 作 PE ⊥CD 交 CD 于 E， 则四边形 APED 是矩形， DE = AP = 3t cm. QE = |DQ| = |16 - 5t | cm. 在 Rt△PQE 中，PE² + QE² = PQ²， 可得 6² + (16 - 5t)² = 102， 解得 t1 = 1.6，t₂ = 4.8. 答：经过 1.6 s 或 4.8 s 后，点 P 和点 Q 的距离是10 cm. 专题五：一元二次方程实际应用(补充) 解：设三个连续的自然数的中间一个为 x，则前后为 x - 1，x + 1. (x - 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 8(x - 1 + x + x + 1)+ 2 ， 整理得 x2 - 8x = 0. 解得 x1 = 0，x2 = 8. 检验 x1 = 0 不符合题意舍去. ∴三个自然数的平方和为 72 + 82 + 92 = 194. 1. 三个连续的自然数的平方和比它们的和的 8 倍还多 2，求三个自然数的平方和. 类型一 数字问题 解：设这个最小数为 x，则最大数为(x + 8)， 依题意得：x(x + 8) = 65. 整理得：x2 + 8x - 65 = 0.解得：x1 = 5， x2 = -13(不合题意，舍去). 答：这个最小数为 5. 1. (山西) 在本月日历表上可以用一个方框圈出 4 个数 (如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为 65，求这个最小数(请用方程知识解答). 练一练 例1 为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的 200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为 800 元. 类型二 营销问题 解：设每个粽子的定价为 x 元时，每天的利润为 800 元， 根据题意，得 . 解得 x1 = 7，x2 = 5. 售价不能超过进价的 200%，x≤3×200%， 即 x≤6，x = 5. 答：每个粽子的定价为 5 元时，每天的利润为 800 元. 1. (重庆)某工厂有甲、乙两个车间、甲车间生产 A 产品.乙车间生产 B 产品.去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出.已知 A 产品的销售单价比 B 产品的销售单价高 100 元，1 件 A 产品与 1 件 B 产品售价和为 500 元. (1) A 、 B 两种产品的销售单价分别是多少元? 解：(1) 设 B 产品的销售单价为 x 元， 则 A 产品的销售单价为 (x + 100) 元， 依题意得：x + 100 + x = 500. 解得：x = 200，∴x + 100 = 300. 答：A、B 产品的销售单价分别为 300 元、200 元. 练一练 (2) 设去年每个车间生产产品的数量为 t 件，依题意得： 设 a% = m，则原方程可化简为 5m2 - m = 0. 解得： ，m2 = 0(不合题意，舍去)， ∴ a = 20. 答：a 的值为 20. (2) 随着 5G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期，今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制 B 产品的生产车间，预计 A 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加 a %；B 产品产量将在去年的基础上减少 a %.但 B 产品的销售单价将提高 3a%，则今年 A 、 B 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加 .求 a 的值. 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有， 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为， 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络， 如有争议， 请联系删改。 声 明 $