第二十一章 一元二次方程 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

本初中数学课件聚焦“一元二次方程”单元复习，通过单元结构图构建“实际问题-方程定义-解法-根的判别与关系-应用”的完整逻辑脉络，系统梳理定义三条件、四种解法、判别式及根与系数关系等核心知识点，形成紧密联系的知识网络。 资料以“考点例题+中考链接+分层练习”为特色，如通过直接开平方法与因式分解法对比训练、易错题根的判别式应用，培养学生数学思维中的推理能力和数学语言中的模型意识，助力不同水平学生巩固知识，也为教师提供精准复习教学支持。

小结与复习 第二十一章 一元二次方程 人教版九年级（上） 1 单元结构图 实际问题 设未知数，列方程 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 方程 ax2 + bx + c = 0 的根 解方程 实际问题的答案 检验 配方法 公式法 因式分解法 降次 1. 一元二次方程的三个判断条件： ③未知数的最高次数是 2. ①方程两边都是整式； ②只含有一个未知数； 2. 根的判别式与根与系数的关系： 根 根的判别式 Δ = b2 − 4ac Δ > 0，方程有两个不等的实数根 *根与系数的关系 Δ < 0，方程无实数根 Δ = 0，方程有两个相等的实数 根 3. 解一元二次方程几种方法： 解法 因式分解法 直接开平方法 公式法 (mx + n)2 = p (p≥0，m≠0) (mx + n)2 = p (p≥0) 配方法 考点一 一元二次方程的定义 例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是 ( ) A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0 A 二次项系数不为 0 m - 1 ≠ 0 m ≠ 1 考点讲练 1. (西藏)已知关于 x 的一元二次方程 (m - 1)x2 + 2x - 3 = 0 有实数根，则 m 的取值范围 ( ) A. B. C. D. D Δ = 22 − 4(m-1)×(−3)≥0 m - 1 ≠ 0 链接中考 考点二 一元二次方程的解法 例2 (1) 用配方法解方程 x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变 为 ( ) A. (x - 1)2 = 6 B. (x + 2)2 = 9 C. (x + 1)2 = 6 D.( x - 2)2 = 9 A A (2) (易错题) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣13x + 36 = 0 的根，则该三角形的周长为 ( ) A. 13 B. 15 C. 18 D. 13 或 18 例3 解方程 (x2 − 2x)2 − 5x2 + 10x + 6 = 0． 解：方程整理得 (x2 − 2x)2 − 5(x2 − 2x) + 6 = 0. 设 x2 − 2x = m，则原方程变为 m2 −5m + 6 = 0. 换元法 解得 m1 = 3，m2 = 2. 当 m = 3 时，x2 − 2x = 3，解得 x = 3 或 x = −1； 当 m = 2 时，x2 − 2x = 2，解得 x = 1± . x3 = 1 + ，x4 = 1− ． 综上所述，原方程的解为 x1 = 3，x2 = −1， 1. 用适当的方法解方程： (1) x2 − 4x − 1 = 0； (2) (2x − 1)2 = (3 − x)2. 解：(1) 配方，得 x2 - 4x + 22 = 5， 开平方，得 (x - 2)2 = 5. 解得 移项，得 x2 - 4x = 1. 即 a = 1，b = −4，c = −1. 公式法： Δ = 20＞0. 配方法： 练一练 (2) (2x − 1)2 = (3 − x)2. 解：直接开方法： 即 2x −1 = 3 − x， 或 2x − 1 = −3 + x. ∴ x1 = ，x2 = −2. (2x − 1)2 − (3 − x)2 = 0. 则 (2x − 1 − 3 + x) (2x − 1 + 3 − x) = 0， 即 3x − 4 = 0，或 x + 2 = 0. ∴ x1 = ，x2 = −2. 2x −1=±(3 - x)， 因式分解法： 考点三 一元二次方程的根的判别式的应用 例4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 3m = 4x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. B. m < 2 C. m≥0 D. m < 0 A 10×6x2=1500 Δ > 0 (-4)2 - 4×1×(-3m)= 16 + 12m > 0 化为一般形式 总结 确定 a，b，c 的值 2. (西宁) 关于 x 的一元二次方程 2x2 + x - k = 0 没有实数根，则 k 的取值范围 ( ) A. B. C. D. Δ＜0 12 - 4×2×(-k)＜0 A 链接中考 3. (内蒙古) 对于实数 a，b 定义运算“※”为 a※b = b2 - ab，例如 3※2=22 - 3×2 = -2，则关于 x 的方程 (k - 3)※x = k - 1 的情况，下列说法正确的是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 无实数根 D.无法确定 A 转化为一般式，判断 Δ x2 - (k - 3)x = k - 1 代入新运算 考点四 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程 x2 - 4x - 3 = 0 的两根为 m，n，则 m2 - mn + n2 = ． 25 总结 重要公式变形： 2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2mx + m2 + m = 0 有两个实数根． (1) 求 m 的取值范围； (2) 设 x1，x2 是方程的两根，且 = 12，求 m 的值. 解：(1) 根据题意得 Δ = (2m)2 − 4(m2 + m)≥0， 解得 m≤0. (2) 根据题意得 x1 + x2 = −2m，x1x2 = m2 + m， 故 m 的值是 −2. ∴ (−2m)2 − 2(m2 + m) = 12， 解得 m1 = −2，m2 = 3 (不合题意，舍去). ∵ =12， ∴ (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 12. 练一练 考点五 一元二次方程的应用 例6 某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了 1260 张，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为 ( ) A. x(x + 1) = 1260 B. 2x(x + 1) = 1260 C. x(x − 1) = 1260×2 D. x(x − 1) = 1260 D 例7 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24 元时，平均每天能售出 32 件；而当销售价每上涨 2 元时，平均每天就少售出 4 件. (1) 若公司每天的销售价为 x 元，求每天的销售量； (2) 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？ 解析：设公司每天的销售价为 x 元. 则其基本数量关系列表分析如下： 单件利润 (元) 销售量 (件) 每天利润 (元) 正常销售 涨价销售 4 32 x - 20 150 等量关系：总利润 = 单件利润×销售量. 128 解：(1) 32 - (x - 24) ÷2×4 = 80 - 2x (件). (2) 由题意可得 (x - 20)(80 - 2x) = 150. 解得 x1 = 25，x2 = 35. ∵ x≤28， ∴ x = 25，即销售价应当为 25 元. 例8 某单位准备将院内一个长为 30 m，宽为 20 m 的矩形空地建成一个花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为 532 m2，那么小道的宽度应为多少米？(所有小道的进出口宽度相等，且每段小道为平行四边形) 解：设小道进出口的宽为 x m， 根据题意得 (30 − 2x)(20 − x) = 532， 解得 x1 = 1，x2 = 34. 答：小道进出口的宽度应为 1 m. ∵ 30 − 2x＞0，20 − x＞0， ∴ x＜15. ∴ x = 1. 4. (河池) 某厂家今年一月份的口罩产量是 30万个，三月份的口罩产量是 50 万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的平均增长率为 x，则所列方程为 ( ) A.30(1 + x)2 = 50 B.30(1 - x)2 = 50 C.30(1 + x2) = 50 D.30(1 - x2) = 50 A 链接中考 基础练习 1. (黑龙江) 关于 x 的一元二次方程 (m - 3)x2 + m2x = 9x + 5 化为一般形式后不含一次项，则 m 的值为 ( ) A.0 B.±3 C.3 D.-3 D 课堂练习 2. (济宁) 已知 m，n 是一元二次方程 x2 + x - 2021 = 0 的两个实数根，则代数式 m2 + 2m + n 的值等于 ( ) A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 B m2 + m + m + n m2 + 2m + n x2 + x - 2021 = 0 m + n = -1，m2 + m = 2021 m2 + m + m + n = 2020 3. (衢州) 将一个容积为 360 m2 的包装盒剪开铺平， 纸样如图所示，利用出图中 x(cm) 满足一元二次方程 ________________.(不用化简) 15x(10 - x) = 360 4. (宁夏)受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势，其地 92 号汽油价格三月底是 6.2 元/升，五月底是 8.9 元/升设该地 92 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 x，根据题意列出方程，正确的是 ( ) A. 6.2(1 + x)2 = 8.9 B. 8.9(1 + x)2 = 6.2 C. 6.2(1 + x2) = 8.9 D. 6.2(1 + x) + 6.2(1 + x)2 = 8.9 A 5.(宜昌)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂 3、4 月份共生产再生纸 800 吨，其中 4 月份再生纸产量是 3 月份的 2 倍少 100 吨. (1) 求 4 月份再生纸的产量； 解：(1)设 3 月份再生纸的产量为 x 吨，则 4 月份再生纸的产量为 (2x -100) 吨， 依题意得 x + 2x - 100 = 800. 解得 x = 300. ∴2x - 100 = 2×300 - 100 = 500. 答：四月份的再生纸的产量为 500 吨. (2) 若 4 月份每吨再生纸的利润为 1000 元.5 月份再生纸产量比上月增加 m %.5 月份每吨再生纸的利润比上月增加 %，则 5 月份再生纸项目月利润达到 66 万元，求 m 的值； 整理得 m2 + 300m - 6400 = 0. 解得 m1 = 20，m2 = -320 (不符合题意，舍去). 答：m 的值为 20. (2) 依题意得 (3)若 4 月份每吨再生纸的利润为 1200 元，4 至 6 月每吨再生纸利润的月平均增长率与 6 月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6 月份再生纸项目月利润比上月增加了 25%.求 6 月份每吨再生纸的利润是多少元? (3) 设 4 至 6 月每吨再生纸利润的月平均增长率为 y ， 5月再生纸的产量为 a 吨. 依题意得： ∴1200(1 + y)2 = 1500. 答：6 月每吨再生纸利润是 1500 元. 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $