精品解析：江苏省徐州市多校联考2025-2026学年上学期9月月考九年级数学试题

2025～2026学年度第一学期第一次联校质量监测 九年级数学试题 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 设方程的两个根为与，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 关于的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 7. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，设水渠的宽度为，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 方程的解是________． 10. 若是方程的一个根，则__________． 11. 若是方程的两个根，则的结果是__________． 12. 阅读下面一则材料，可列方程为______． 2025年5月1日，我市有大批游客为了品尝徐州美食，涌入徐州，现场品尝徐州的美食文化，刚开始，就有1000人购买徐州烧烤，2小时后购买人数累计达到4360人，求每小时购买徐州烧烤的平均增长率．设每小时购买徐州烧烤人数的平均增长率为． 13. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________ 14. 关于的方程有一根，则该方程的两根积与两根和相乘的结果是______． 15. 如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么______． 16. 某病毒具有传染性强、传播速度快的特点．若有一个人感染了这种病毒，经过两轮传染后将共有169名感染者． 那么在每轮传染中，平均一个人传染了______人． 三、解答题（本大题共9小题，共84分；解答时应写出文字说明，解题步骤等） 17. 解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） 18. 解方程． （1）（因式分解法） （2）（公式法） 19. 已知关于x的一元二次方程，求证：无论m取何值，方程一定有两个不相等的实数根． 20. 如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． （1）图案中实心圆有______个，空心圆有______个； （2）此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由． 21. 已知关于x的方程． （1）若该方程的一个根为，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 22. 如图，有一块矩形硬纸板，长，宽在其四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，使它的长方体盒子的底面积为，求截去正方形的边长． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 24. 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米． （1）________米（用含的代数式表示）； （2）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； （3）矩形围栏面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 25. （1）如图，已知矩形，，，动点从点A出发，以的速度向点O运动，直到点O为止；动点同时从点出发，以的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发_____时，点P和点Q之间的距离是； （2）当运动时间为时，，两点的距离为多少？当运动时间为时，，两点的距离为多少？ （3）若点沿着移动，点，分别从A，同时出发，点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，求经过多长时间的面积为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期第一次联校质量监测 九年级数学试题 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键在于掌握一元二次方程必须满足：（1）含有一个未知数，含未知数的项的最高次数是2；（2）整式方程． 根据一元二次方程的定义求解，即可解题． 【详解】解：A. ，含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意； C. ，是一元二次方程，符合题意； D. ，当时，二次项不存在，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键．根据根的判别式逐一判断即可． 【详解】解：A、变形为，此时， 此方程有两个相等的实数根，故不符合题意； B、变形为，， 此时方程无实数根，故不符合题意； C、化为， 此方程没有实数根，故不符合题意； D、 中，， 此方程有两个不相等的实数根，故符合题意． 故选：D． 3. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解：， ∴即， 故选：B． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 5. 设方程的两个根为与，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之积即可． 【详解】解：∵方程的两个根为与， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，两根之和是，两根之积是． 6. 关于的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设该一元二次方程的另一根为，则根据根与系数的关系得到，由此易求的值． 【详解】解：设关于的一元二次方程的另一个根为， 则， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 7. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解不等式的解集，理解有实数解的概念，掌握判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，由方程有实数解得到，代入求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数解， ∴，且， ∴且， 故选：C ． 8. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，设水渠的宽度为，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的图形面积问题，解题关键是找出矩形的长和宽分别是多少． 通过想象将水渠平移至最右及最下方，将耕地面积合并起来，看作是一个长，宽分别为和的矩形，然后直接求解即可． 【详解】解：在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，设水渠的宽为米，可列方程为：， 故选：B； 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，灵活运用一元二次方程的解法是关键．运用一元二次方程的解法求解即可． 【详解】解： 或， 解得，， 故答案为：，． 10. 若是方程的一个根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及求代数式的值．本题通过方程根的定义直接简化代数式，无需解方程求根，代入可得，进一步求出代数式的值，体现了整体求解的思想． 【详解】解：是方程的一个根， 代入可得，即， ． 故答案为：． 11. 若是方程的两个根，则的结果是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系， 根据一元二次方程的两个根，其中，可得答案. 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴. 故答案为：6. 12. 阅读下面一则材料，可列方程为______． 2025年5月1日，我市有大批游客为了品尝徐州美食，涌入徐州，现场品尝徐州的美食文化，刚开始，就有1000人购买徐州烧烤，2小时后购买人数累计达到4360人，求每小时购买徐州烧烤的平均增长率．设每小时购买徐州烧烤人数的平均增长率为． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列一元二次方程解决实际问题．设每小时购买徐州烧烤人数的平均增长率为，1000人下单购买徐州烧烤，2小时后购买人数达到4360，据此列出方程即可． 【详解】解：设每小时购买徐州烧烤人数的平均增长率为， ∴第1小时有人购买，第2小时有人购买， 依题意可得：． 故答案为：． 13. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可． 【详解】解：∵方程，即有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 关于的方程有一根，则该方程的两根积与两根和相乘的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则，， 先根据求出方程的另一个根，再代入求解即可． 【详解】. 解：∵关于x的方程有一根，设另一个根为． ∴， 解得：， ∴方程的两根积与两根和相乘的结果， 故答案为：． 15. 如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，直接求解即可． 【详解】由题可知：，解得． 故答案为：9 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是一元二次方程有两个相等的实数根时，；有两个不相等的实数根时，；无实数根时，． 16. 某病毒具有传染性强、传播速度快的特点．若有一个人感染了这种病毒，经过两轮传染后将共有169名感染者． 那么在每轮传染中，平均一个人传染了______人． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后将共有169名感染者得，即，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设每轮传染中，平均每个人传染了x个人， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 即每轮传染中，平均每个人传染了12个人， 故答案为：12． 三、解答题（本大题共9小题，共84分；解答时应写出文字说明，解题步骤等） 17. 解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） 【答案】（1），， （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，题目较为简单，熟记配方法和直接开平方法的解题步骤是本题的关键． （1）首先把方程化为的形式，再利用平方根的定义解方程即可， （2）首先移项，然后方程等号两端同时加16后，左边是完全平方公式，然后开平方，即可求解． 【小问1详解】 ） 解得，， 【小问2详解】 ） 解得：，． 18. 解方程． （1）（因式分解法） （2）（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据因式分解法即可求解； （2）运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解： ，． 19. 已知关于x的一元二次方程，求证：无论m取何值，方程一定有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：， 无论m取何值，方程一定有两个不相等的根． 【解析】 【分析】计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 20. 如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． （1）图案中实心圆有______个，空心圆有______个； （2）此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，第6个图案中实心圆比空心圆多8个． 【解析】 【分析】此题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，正确理解图形的变化规律得到计算规律，以及掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）分别计算各图案中空心圆和实心圆的数量，得到规律：图案中实心圆有个，空心圆有个； （2）根据（1）所得规律，依题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：图案1空心圆有个，实心圆有1个， 图案2空心圆有个，实心圆有个， 图案3空心圆有个，实心圆有个， …… ∴图案中实心圆有个，空心圆有个， 故答案为： ， 【小问2详解】 存在，理由如下： 设图案中实心圆比空心圆多8个，根据题意，得： ， 整理，得， 解得（舍去）或， 故第6个图案中实心圆比空心圆多8个． 21. 已知关于x的方程． （1）若该方程的一个根为，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【答案】（1） （2） 证明：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴不论m取何实数，该方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入得出关于m的方程，再解关于m的方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【小问1详解】 解：将代入原方程可得： ， 解得：； 【小问2详解】 略 22. 如图，有一块矩形硬纸板，长，宽在其四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，使它的长方体盒子的底面积为，求截去正方形的边长． 【答案】截去正方形的边长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设截去正方形的边长为，则长方体盒子底面的宽为，长方体盒子底面的长为，根据长方形的面积得出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设截去正方形的边长为， 则长方体盒子底面的宽为，长方体盒子底面的长为， 根据题意有：， 整理得：， 即 解得：，（不合题意，舍去）， 故截去正方形的边长为． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 24. 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米． （1）________米（用含的代数式表示）； （2）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； （3）矩形围栏面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 【答案】（1） （2）篱笆的长为10米； （3）矩形围栏面积不可能达到270平方米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式． （1）设篱笆长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （3）根据矩形围栏面积为270平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏面积不可能达到270平方米． 【小问1详解】 解：设栅栏长为x米， ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； 【小问3详解】 解：不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到270平方米． 25. （1）如图，已知矩形，，，动点从点A出发，以的速度向点O运动，直到点O为止；动点同时从点出发，以的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发_____时，点P和点Q之间的距离是； （2）当运动时间为时，，两点的距离为多少？当运动时间为时，，两点的距离为多少？ （3）若点沿着移动，点，分别从A，同时出发，点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，求经过多长时间的面积为？ 【答案】（1）或；（2）；；（3）经过或时，的面积为 【解析】 【分析】（1）过点作于，得到，利用勾股定理得到方程，故可求解； （2）根据运动时间求出，利用勾股定理即可求解； （3）分当点在上时，当点在上时和当点在上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设运动时间为秒时，如图，过点作于， 由运动知，， ∵点和点之间的距离是， ∴， 解得， ∴或． 故答案为：或． （2）时，由运动知， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据勾股定理得， ∴当时，两点的距离为； 当时，由运动知， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据勾股定理得， 两点的距离为．    （3）点从点移动到点所花的时间为， 当点在上时，， 解得：． 当点在上时，， 解得：或（舍）． 当点在上时，， 解得：（不符合题意舍去）， 综上所述，经过或时，的面积为． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $