第一次月考卷-2025-2026学年沪科版数学九年级上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（安徽通用）

2025-2026学年九上数学第一次月考卷 考试范围：沪科版第21章 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．一般地，形如（a，b，c为常数，且）的函数是二次函数．据此对各选项的函数化简后进行判断即可． 【详解】解：A、函数不符合二次函数的形式，故不是二次函数； B、函数化简为，不符合二次函数的一般形式，故不是二次函数； C、函数化简为，是二次函数； D、函数不符合二次函数的形式，故不是二次函数． 故选：C 2．下列各点不在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上点的坐标满足函数解析式是解答的关键．将选项中的点的横坐标代入解析式中求出y值，若等于点的纵坐标，则该点在函数图象上，若不等于则不在，进而可作出判断． 【详解】解：A、当时，，则在双曲线上，不符合题意； B、当时，，则不在双曲线上，符合题意； C、当时，，则在双曲线上，不符合题意； D、当时，，则在双曲线上，不符合题意； 故选：B． 3．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，利用左加右减，上加下减的口诀即可解答，解决本题的关键是熟知抛物线平移的口诀． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是， 故选：B． 4．点均在函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个点代入反比例函数表达式，求出，再根据即可比较它们的大小。本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】点均在函数的图象上， ， ∵， ∴， 故选：D. 5．二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可． 本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和是对称点， 故抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 6．反比例函数 与一次函数在同一直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数图象的性质是解题的关键，把分类讨论，分别判断反比例函数与一次函数图象位置即可得到答案． 【详解】解：当时，则， ∴的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无符合选项； 当时，则， ∴的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，A 选项符合． 故选：A． 7．如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是9，则k的值为（   ） A． B．9 C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，熟记反比例函数系数与图形面积之间的关系是解题的关键．延长交轴于点，则四边形和是矩形，由点B在双曲线上，可得矩形的面积是3，进而求出矩形的面积，再根据反比例函数系数的几何意义得到，再结合反比例函数经过的象限即可确定k的值． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 则四边形和是矩形， ∵点B在双曲线上， ∴矩形的面积， ∵矩形的面积是9， ∴矩形的面积， ∵点A在双曲线（）上， ∴， 解得：， 由图象得，双曲线经过第二象限， ∴， ∴， 故选：C． 8．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 9．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数与图形面积的计算，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，设出两个等腰直角三角形的边长，表示出点的坐标，代入反比例函数的关系式，得到两个边长之间的关系，表示两个等腰直角三角形的面积，利用整体代入即可求出面积差． 【详解】解：设，，则，， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴，即， ∴． 故选：D． 10．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口方向判断出，结合对称轴位置判断出，再根据与y轴的交点位置，判断，进而得出结论①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，判断出③正确，根据两点与对称轴的距离判断出④错误；根据对称轴得出，进而得出，即可判断⑤错误；综上即可得答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ， 故①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ②正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， ③正确； 点到直线的距离比点到直线的距离小，且抛物线开口向上， ， 故④错误； ， ， 故⑤错误． 综上所述，正确的有②③，一共2个． 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．反比例函数过点，则其解析式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法确定函数解析式，灵活运用待定系数法是解题的关键，本题把点的坐标代入函数表达式进行计算即可求解． 【详解】解：设该反比例函数为， 由题意知，． 则解析式为． 故答案为：． 12．二次函数函数值最小是 ． 【答案】6 【分析】根据二次函数的性质即可求解．本题考查二次函数图象性质，掌握二次函数图象性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数图象是开口向上的抛物线， ∴当时，其取到最小值6． 故答案为：6． 13．已知正比例函数与反比例函数的一个交点坐标为，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，将点代入，可求出m的值，再代入反比例函数解析式即可解决问题． 【详解】解：将点代入得， ， 将点代入得， ． 故答案为：8． 14．如图，在矩形中，，动点从点出发向终点运动，连接，以为边在上方作等边，在点运动的过程中，阴影部分的面积最小为 ． 【答案】 【分析】先通过图形的旋转或全等关系，将阴影部分面积转化为与相关的表达式，再根据二次函数的性质求最小时阴影部分的最小面积．本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的性质以及二次函数的最值，熟练掌握利用二次函数求最值的方法是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 设，则． 在中，． ∵ 是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴ ． 又∵ ， ∴ 阴影部分面积． 整理得． ∴时，取最小值． 将代入的表达式，可得． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．已知二次函数． (1)将二次函数的解析式化为的形式． (2)二次函数图像的对称轴是直线______、顶点坐标是______． 【答案】(1) (2)、 【分析】(1)根据配方法的基本步骤进行配方化简即可． (2)根据抛物线顶点式的解析式特点计算即可． 【详解】（1）． （2）∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故答案为：、． 【点睛】本题考查了化抛物线的一般式为顶点式，确定对称轴，顶点坐标，熟练掌握配方法是解题的关键． 16．已知与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 【答案】(1)y (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，解题的关键是掌握反比例函数的一般表达式． （1）用待定系数法求得反比例函数解析式， （2）代入x求得y的值， （3）代入y求出x的值． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴； （2）当时，； （3）当时，． 17．如图，已知反比例函数的图象经过点M．    (1)求此反比例函数的解析式； (2)当时，求的值； (3)若、是此反比例函数图像上的两点，试比较和的大小关系（直接写出结果）． 【答案】(1)y= (2)y= (3) 【分析】（1）将点代入反比例函数即可求解； （2）将带代入（1）中求得的反比例函数解析式中即可求解； （3）将、代入反比例函数，分别计算出，的值即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数过点， ∴，即， ∴反比例函数解析式为：． （2）解：当时，代入反比例函数得，， ∴当时，． （3）、是此反比例函数图像上的两点， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查反比例函数上点的特点，掌握将已知点代入反比例函数的计算方法是解题的关键． 18．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【详解】（1）解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； （3）结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 20．某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由降至． (1)当时，水温与开机时间分钟的函数表达式． (2)求的值． (3)求开机50分钟时热水器中水的温度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数关系式，求反比例函数关系式， 对于（1），将点代入关系式，解方程组求出解即可； 对于（2），将点代入反比例函数求出关系式，再令可得答案； 对于（3），先求出直线关系式，再求出时函数值即可. 【详解】（1）解：当时，将点代入直线关系式，得 ， 解得， ∴直线关系式为； （2）解：将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴反比例函数. 当时，（分）， 所以； （3）解：当时，直线的关系式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， 解得， 当时，， 所以开机50分钟时热水器中水的温度是70℃. 21．某商场以每件50元的价格购进某款玩具，若以每件80元的价格出售，每日可售出200件．现商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该玩具每件的售价每降价1元，日销售量就会增加20件．设该款玩具每件的售价为元，日销售量为y件． (1)日销售量y关于每件售价x的函数解析式为__________． (2)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该商场应将每件售价定为70元，才能使日销售利润最大，最大利润为8000元 【分析】本题考査一次函数在销售问题的应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键． （1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解； （2）设日销售利润为元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：设日销售利润为W元． 由题意，得． ∵， ∴当时，(元)． 答：该商场应将每件售价定为70元，才能使日销售利润最大，最大利润为8000元． 22．如图1，地面上两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线． (1)因实际需要，在离为3米的位置处用一根立柱撑起绳子（如图2），使左边抛物线的最低点距为1米，离地面2米，求的长． (2)将立柱的长度提升为3米，通过调整的位置，使抛物线对应函数的二次项系数始终为，设离的距离为m米，抛物线的顶点离地面距离为k米，当时，求m的取值范围． 【答案】(1)2.25米 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的相关性质是解题的关键； (1) 观察图2可知点M在抛物线上，横坐标为3，根据题意可求得抛物线的最低点，继而可求得抛物线的解析式，那么的值便不难得到了； (2) 易得点的顶点坐标为，联系抛物线的二次项系数，由点C在抛物线上可得到m与k的函数关系式，接下来根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由抛物线关系式可知：当时，， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ∵在离为3米的位置处用一根立柱撑起绳子，抛物线的最低点距为1米， ∴抛物线的顶点坐标为：， 设的解析式为， 将代入得： ， 解得：， ∴抛物线为：， 当时，， ∴的长度为2.25米； （2）解：由题意得：， ， 令，则， 或， ． ∵离的距离为m米， ， ∴根据抛物线的对称性可知抛物线的顶点在的垂直平分线上， ∴的对称轴为． ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得， 解得：， ． ∴k是关于m的二次函数， ∵由已知，符合条件的点在对称轴的左侧，又， ∴k随m的增大而增大， 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）． 当时，， 解得，（不符合题意）， ∴m的取值范围是． 23．如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点M、D的坐标，再根据当H，M，H三点共线时，即H与A点重合，的值最大，最大值，由勾股定理，求出的长即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，的值最大， 最大值． （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．涉及二次函数图象性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九上数学第一次月考卷 考试范围：沪科版第21章 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各点不在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 3．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 4．点均在函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 6．反比例函数 与一次函数在同一直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B．C． D． 7．如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是9，则k的值为（   ） A． B．9 C． D．12 8．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 9．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C．8 D．4 10．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．反比例函数过点，则其解析式为 ． 12．二次函数函数值最小是 ． 13．已知正比例函数与反比例函数的一个交点坐标为，则的值为 ． 14．如图，在矩形中，，动点从点出发向终点运动，连接，以为边在上方作等边，在点运动的过程中，阴影部分的面积最小为 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．已知二次函数． (1)将二次函数的解析式化为的形式． (2)二次函数图像的对称轴是直线______、顶点坐标是______． 16．已知与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 17．如图，已知反比例函数的图象经过点M．    (1)求此反比例函数的解析式； (2)当时，求的值； (3)若、是此反比例函数图像上的两点，试比较和的大小关系（直接写出结果）． 18．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 20．某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由降至． (1)当时，水温与开机时间分钟的函数表达式． (2)求的值． (3)求开机50分钟时热水器中水的温度． 21．某商场以每件50元的价格购进某款玩具，若以每件80元的价格出售，每日可售出200件．现商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该玩具每件的售价每降价1元，日销售量就会增加20件．设该款玩具每件的售价为元，日销售量为y件． (1)日销售量y关于每件售价x的函数解析式为__________． (2)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？ 22．如图1，地面上两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线． (1)因实际需要，在离为3米的位置处用一根立柱撑起绳子（如图2），使左边抛物线的最低点距为1米，离地面2米，求的长． (2)将立柱的长度提升为3米，通过调整的位置，使抛物线对应函数的二次项系数始终为，设离的距离为m米，抛物线的顶点离地面距离为k米，当时，求m的取值范围． 23．如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $