精品解析：内蒙古自治区包头市东河区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年内蒙古包头市东河区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，， D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是直角三角形的判定，掌握用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，故符合题意； D、，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 2. 已知一个正方形的面积为19，估计它的边长的大小在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 1与2之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是得出． 根据开方运算，可得边长，根据可得到答案． 【详解】解：该正方形的边长为， ∵， ∴在4与5之间， 故选：C． 3. 已知点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握点的坐标在象限内的特征是解题的关键；由点P在第四象限可知横坐标为正，纵坐标为负，然后根据“点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1”可进行求解． 【详解】解：因为点P在第四象限可知横坐标为正，纵坐标为负， 又因为“点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1” 所以点P的坐标为； 故选A． 4. 如图为遵义市某年连续7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（ ） A. 25.5，27 B. 26，28 C. 26.5，27 D. 27，28 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数，明确题意、掌握众数和中位数是解题的关键． 根据这7天的最高气温，先按照从低到高排列，然后即可得到这组数据的中位数和众数，据此即可解答． 【详解】解：这7天最高气温从低到高排列是：23，24，25，26，27，28，28， 故这组数据的中位数是第4个26，28出现两次，次数最多，则众数是28． 故选：B． 5. 对于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图像不经过第三象限 B. 点在直线上 C. 图像与直线平行 D. 若点，在该函数图像上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，一次函数图像与系数的关系，根据一次函数图像的性质进行逐一分析解答即可． 【详解】解：A．∵，， ∴一次函数的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项正确，不符合题意； B．∵时，， ∴函数图像必经过点，故本选项正确，不符合题意； C．∵与的k均为， ∴的图像与直线平行，故本选项正确，不符合题意； D．∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在该函数图像上，且， ∴，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 6. 用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，每个长方形的长为x，宽为y，根据点B的坐标，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 7. 如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（　　） A. 8m B. 10m C. m D. m 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 最短路径为：（米． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 8. 若点P（－2，5）关于y轴对称点是p´，则点p´坐标是_______. 【答案】（2，5） 【解析】 【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：点P（−2，5）关于y轴对称点是P′，则点P′坐标是（2，5）， 故答案为（2，5）. 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 9. 把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若，则的度数为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角板的性质，由三角板可知，，又，则，，得出，然后通过角度和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，和交于点， 由三角板可知：，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 一个正数的平方根为和，则这个正数为____． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键， 0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．先根据正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而可求出这个正数． 【详解】解：∵一个正数的平方根为和， ∴， ∴， ∴这个正数为． 故答案为：25． 11. 已知是方程的解，则代数式的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数求值等，解题的关键是掌握二元一次方程的解的定义． 根据二元一次方程的解表示出，通过变形代入求值即可． 【详解】解：将代入得，， ∴， 即，代入得， ， 故答案为：2． 12. 在同一直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．把代入求出的值可得出点的坐标，即可得出答案．． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴当时，得：， ∴， ∴方程组的解为． 故答案为：． 13. 如图，货车车高，卸货时后面挡板折落在地面处．已知点A、B、C在一条直线上，，经过测量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，在中利用勾股定理列出方程，进而解答即可． 【详解】解：由题意得，，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：． ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 三、解答题：本题共7小题，共59分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键． （1）将所有的二次根式化为最简二次根式，再合并同类项二次根式可得到答案； （2）先展开乘法部分的式子，再展开平方项的式子，最后化简可得到答案． 【小问1详解】 解：原式， ， ． 【小问2详解】 解：原式， ， ， ， ． 15. 在“世界读书日”前夕，某校开展了“让阅读滋养心灵”的读书活动．为了解该校学生在此次活动中的课外阅读情况，从中随机抽取50名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如图所示统计图． （1）求这组数据的平均数； （2）该校共有800名学生，估计该校全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？ 【答案】（1）2.3本；（2）1840本 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数的定义列式计算可得； （2）用总人数乘以样本中课外阅读书籍的平均数即可得． 【详解】解：（1）这组数据的平均数为＝2.3（本）； （2）估计该校全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是800×2.3＝1840（本）． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义和样本估计总体思想的运用． 16. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1． （1）请以，，作为三角形的三边长，在图中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上． （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 解：结论：是直角三角形． 理由：∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了网格图形和勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）借助网格，利用勾股定理画出三角形即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品.小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品.如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元.求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． 【解法展示】设每本笔记本x元，每支钢笔y元， 根据题意，得（Ⅰ） ，得③ ，得， 解得 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为 答：每本笔记本14元，每支钢笔15元． 【反思改进】 （1）解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便.请同学们按照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程． （2）把题目中的数量关系列表表示如下： 笔记本/本 钢笔/支 总价/元 第一种情况 4 2 86 第二种情况 3 1 57 增加量 请根据上表的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）由，得③，再直接运用加减消元法求解即可； （2）由，得，再由，得，求出x，再代入求y即可． 【小问1详解】 ，得③ ，得， 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为； 【小问2详解】 由，得， ，得， 解得 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为 18. 阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． “箭头图”的性质和应用 如图1，我们把四边形称为“箭头图”图案，该图案有这样一个性质：．下面是该性质的证明过程： 证明：如图2，连接并延长到点． ∵是的外角， ∴（根据1）． ∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 任务： （1）填空：材料中的根据1是指___________________________________________． （2）你还能想出其他解法吗？请写出解答过程． （3）一个零件的形状如图3所示，按规定应等于才合格，经检验，，，那么这个零件________．（填“合格”或“不合格”） 【答案】（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 （2） 延长交于点E，如图， 则， ∴； （3）不合格 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角性质即可解答； （2）延长交于点E，如图，根据三角形的外角性质证明即可； （3）根据材料中的性质即可判断． 【小问1详解】 材料中的根据1是指：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由“箭头图”图案的性质得：， ∵，，， ∴， ∴， ∵按规定应等于才合格， ∴这个零件不合格； 故答案为：不合格． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 19. 某中学要添置某种教学仪器． 方案一：到商店购买，每件需要8元： 方案二：学校自己制作，每件需要4元．但另外需要制作工具的租用费120元． 设需要仪器件．方案一的费用为元，方案二的费用为元． （1）问（元），（元）关于（件）的关系式分别是什么？（直接写结论，不用写出自变量的取值范围） （2）当添置仪器多少件时，两种方案所需的费用相同？ （3）若学校计划添置仪器60件，则采用哪种方案便宜？ 【答案】（1），； （2）当添置仪器30件时，两种方案所需的费用相同； （3）若学校计划添置仪器60件，则采用方案二便宜． 【解析】 【分析】本题考查了列函数关系式，求函数函数值，一元一次方程的应用． （1）方案一：总费用=仪器的单价×仪器的数量；方案二：总费用=每件制作的成本×仪器的数量+工具的租用费，据此可得出方案一和方案二的函数关系式； （2）本题只需令（1）中得出的两个函数关系式相等，求出x的值，即可求得两种方案所需的费用相同时，仪器的件数； （3）可将分别代入（2）中的两个函数式中，得出函数的值，然后比较哪种方案更便宜即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得 ，； 【小问2详解】 解：根据题意，令， 得， 解得， 故当购买30件仪器时，两种方案所需的费用相同； 【小问3详解】 解：把分别代入，中， 得(元)，(元)， ， 当学校添置60件仪器，选择方案二比较便宜． 20. 如图，在中，，，，，和相交于点P，求的面积． 小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适当的平面直角坐标系，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点P的坐标，从而可求得的面积请你按照小明的思路解决这道思考题． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，勾股定理，建立适当的平面直角坐标系是解题的关键. 以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，过点作轴，垂足为，先利用等腰三角形的三线合一性质可得从而在中，利用勾股定理求出进而可得, 然后求出点, 点, 点的坐标，从而求出直线和直线的函数表达式，最后求出点的坐标，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答. 【详解】如图：以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 过点作轴，垂足为， ， ， 在中， 轴，轴， ， ∴点的坐标为点的坐标为, 点的坐标为, 设直线的函数表达式为 把代入中得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为： 设直线的函数表达式为：把代入中得： 解得： ∴直线的函数表达式为 由题意得： 解得： ∴点的坐标为， 的面积， 的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年内蒙古包头市东河区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，， D. 2. 已知一个正方形的面积为19，估计它的边长的大小在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 1与2之间 3. 已知点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图为遵义市某年连续7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（ ） A. 25.5，27 B. 26，28 C. 26.5，27 D. 27，28 5. 对于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图像不经过第三象限 B. 点在直线上 C. 图像与直线平行 D. 若点，在该函数图像上，则 6. 用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（　　） A. 8m B. 10m C. m D. m 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 8. 若点P（－2，5）关于y轴对称点是p´，则点p´坐标是_______. 9. 把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若，则的度数为 ______ ． 10. 一个正数的平方根为和，则这个正数为____． 11. 已知是方程的解，则代数式的值为______． 12. 在同一直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为__________． 13. 如图，货车车高，卸货时后面挡板折落在地面处．已知点A、B、C在一条直线上，，经过测量，则______． 三、解答题：本题共7小题，共59分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算： （1）； （2）． 15. 在“世界读书日”前夕，某校开展了“让阅读滋养心灵”的读书活动．为了解该校学生在此次活动中的课外阅读情况，从中随机抽取50名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如图所示统计图． （1）求这组数据的平均数； （2）该校共有800名学生，估计该校全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？ 16. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1． （1）请以，，作为三角形的三边长，在图中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上． （2）判断的形状，并说明理由． 17. 【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品.小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品.如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元.求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． 【解法展示】设每本笔记本x元，每支钢笔y元， 根据题意，得（Ⅰ） ，得③ ，得， 解得 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为 答：每本笔记本14元，每支钢笔15元． 【反思改进】 （1）解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便.请同学们按照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程． （2）把题目中的数量关系列表表示如下： 笔记本/本 钢笔/支 总价/元 第一种情况 4 2 86 第二种情况 3 1 57 增加量 请根据上表的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过程． 18. 阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． “箭头图”的性质和应用 如图1，我们把四边形称为“箭头图”图案，该图案有这样一个性质：．下面是该性质的证明过程： 证明：如图2，连接并延长到点． ∵是的外角， ∴（根据1）． ∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 任务： （1）填空：材料中的根据1是指___________________________________________． （2）你还能想出其他解法吗？请写出解答过程． （3）一个零件的形状如图3所示，按规定应等于才合格，经检验，，，那么这个零件________．（填“合格”或“不合格”） 19. 某中学要添置某种教学仪器． 方案一：到商店购买，每件需要8元： 方案二：学校自己制作，每件需要4元．但另外需要制作工具的租用费120元． 设需要仪器件．方案一的费用为元，方案二的费用为元． （1）问（元），（元）关于（件）的关系式分别是什么？（直接写结论，不用写出自变量的取值范围） （2）当添置仪器多少件时，两种方案所需的费用相同？ （3）若学校计划添置仪器60件，则采用哪种方案便宜？ 20. 如图，在中，，，，，和相交于点P，求的面积． 小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适当的平面直角坐标系，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点P的坐标，从而可求得的面积请你按照小明的思路解决这道思考题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $