精品解析：江苏省南京市秦淮区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷

江苏省南京市秦淮区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程解为（ ） A. ， B. ， C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弧是半圆 B. 长度相等的弧是等弧 C. 在圆中直角所对的弦是直径 D. 任意一个三角形有且只有一个外接圆 4. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 若一元二次方程有两个相等实数根，则k的值是______． 10. 已知是方程的一个根则 ______． 11. 圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为_______． 12. 设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝___． 13. 如图，在的内接四边形中，，点E在上，则______． 14. 已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移______，才能使与相切? 15. 如图，在直角三角尺中，，把直角三角尺 放置在圆上，经过圆心， 与相交于，两点，点，，的刻度分别是，，，与相切于点，那么 的半径是____ ． 16. 如图，⊙O的两条弦互相垂直，垂足为点E,当的半径为2，AB与CD两弦长的平方和等于28，则OE等于___________． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，直径弦，若，求度数． 19. 教练想从甲、乙两名运动员中选拔一人参加射击锦标赛，故先在射击队举行了一场选拔比赛．在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图所示． （1）请你根据图中的数据填写下表： 平均数 众数 方差 甲 6 乙 6 （2）根据选拔赛结果，教练选择了甲运动员参加射击锦标赛，请给出解释． 20. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0． （1）若方程有一个根是2，求m值； （2）求证：不论m为何值，方程总有实数根． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°． （1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在AC上，且⊙O与BC、AB都相切；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC=6，BC=8，则⊙O的半径长为______． 22. 如图，中，，以为直径的交于，交于． （1）求证：； （2）若，求和的度数． 23. 如图，为半的直径，弦的延长线与过点B的切线交于点D，E为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）过点C作，垂足为点F，，求的半径． 24. 如图，是的直径，弦，垂足为E，K为弧上一动点，的延长线相交于点F，连接． （1）求证：； （2）已知 ，求的大小． 25. 如图，中，，，，，是内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）． （1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． 小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． （2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明． 26. 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积． （1）如图，大圆的弦切小圆于点，求证：； （2）若，则图中的圆环面积为______用含有的代数式表示； （3）如图，若大圆的弦交小圆于、两点，且，，则圆环的面积为______． （4）如图，点是内一点，用不带刻度的直尺与圆规，过点作的弦，使保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 27. 问题背景：在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．教材原题：如图1，、是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小军在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上． （1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 直接应用： 当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决． （2）如图3，的两条高、相交于点O，连接并延长交于点F． 求证：为的边上的高． 拓展延伸：在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题： （3）在（2）的条件下连接、、（如图4），设，则的度数为________．（用含α的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市秦淮区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， ， 则， 或， 解得，， 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， 即， 故选：D． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弧是半圆 B. 长度相等的弧是等弧 C. 在圆中直角所对的弦是直径 D. 任意一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】D 【解析】 【分析】根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可． 【详解】解：A、错误，弧是圆上两点间的部分，不符合题意； B、如图， 弧AB和弧CD长度相等，但是弧AB和弧CD不是等弧，故本选项错误，不符合题意； C、在圆中，圆周角所对的弦才是直径，并不是所有的直角所对的弦都是直径，故本选项错误，不符合题意； D、任意一个三角形有且只有一个外接圆，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查圆的基本知识，解题的关键是记住弦、弧、半圆、直径等一个概念，属于基础题，中考常考题型． 4. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：l=． 故选D． 【点睛】本题考查了求弧长，掌握弧长公式是解题的关键． 5. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质，连接BC并运用这两个性质是解题的关键． 连接，由直径所对的圆周角是直角可求得的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得的度数． 【详解】解：连接， 是直径， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， 故选：C． 6. 如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点O作，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：过点O作，如图所示， ∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，经过圆心， ∴， 故选：A． 7. 如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 8. 如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明，过点C作于点H，连接，然后根据三角不等关系得出，即当点C、F、H三点共线时，取得最小值，进而可得当点与重合时，的值最小，最后问题可求解． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ，， ， ∴， ， 又， ， ， ， 过点C作于点H，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 由三角形不等关系可知：，即当点C、F、H三点共线时，取得最小值， 作平分交于N，连接，如图； 要使取得最小值，就要使取得最小值，当点F与点N重合时，即为最小，如图所示， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角不等关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 已知是方程的一个根则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．因为是方程的一个根，可得，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 11. 圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．代入数值计算即可作答． 【详解】圆锥的侧面积为：． 故答案为： 12. 设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝___． 【答案】3 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得x1+x2＝5、x1x2＝m，结合x1+x2﹣x1x2＝2可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根， ∴x1+x2＝5，x1x2＝m． ∵x1+x2﹣x1x2＝5﹣m＝2， ∴m＝3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得到x1+x2＝5、x1x2＝m． 13. 如图，在的内接四边形中，，点E在上，则______． 【答案】126 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补．等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解：连接， 在的内接四边形中，， ， ， ， ， ， ∵四边形为圆内接四边形， ， ． 故答案为：126． 14. 已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移______，才能使与相切? 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 15. 如图，在直角三角尺中，，把直角三角尺 放置在圆上，经过圆心， 与相交于，两点，点，，的刻度分别是，，，与相切于点，那么 的半径是____ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图连接OF，作于，由，推出四边形CFOM是矩形，依据矩形性质得，依据垂径定理求出CM即可解决问题． 【详解】解：如图连接，作于． 四边形是矩形， ， 由题意可知，，， ， . 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线：见切线连半径、作弦心距用垂径定理，属于中考常考题型． 16. 如图，⊙O的两条弦互相垂直，垂足为点E,当的半径为2，AB与CD两弦长的平方和等于28，则OE等于___________． 【答案】1 【解析】 【分析】连接OC、OB，过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，再利用垂径定理和勾股定理求出ON2和OM2，再证四边形OMEN为矩形，即可求出OE. 【详解】解：连接OC、OB，过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N ∴，，OB=OC=2 根据勾股定理： ∵OM⊥AB，ON⊥CD，AB⊥CD ∴四边形OMEN为矩形 ∴ON=EM ∵AB与CD两弦长的平方和等于28 ∴根据勾股定理： 故答案为1. 【点睛】此题考查的是垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理结合是解决此题的关键. 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用求根公式法解决即可； （2）先化为一元二次方程的一般形式，用求根公式法解决即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 18. 如图，在中，直径弦，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据等边对等角求出的度数，再根据垂直得出，最后根据圆周角定理即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 19. 教练想从甲、乙两名运动员中选拔一人参加射击锦标赛，故先在射击队举行了一场选拔比赛．在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图所示． （1）请你根据图中的数据填写下表： 平均数 众数 方差 甲 6 乙 6 （2）根据选拔赛结果，教练选择了甲运动员参加射击锦标赛，请给出解释． 【答案】（1）6，6， （2）理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，条形统计图，主要涉及了求平均数、众数、方差等知识． （1）根据方差公式列式计算求出甲运动员的成绩的平均数，乙运动员的成绩的方差，乙运动员的成绩众数即可； （2）根据方差越小，则成绩越稳定，找出方差小的运动员即可． 【小问1详解】 解∶甲的平均数为∶， 乙的众数为∶6； 方差为∶． 平均数 众数 方差 甲 6 6 0.4 乙 6 6 2.8 故答案为∶ 【小问2详解】 解：理由：因为甲、乙的平均数与众数都相同，甲的方差小，所以更稳定，因此甲的成绩好些，因此选甲． 20. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0． （1）若方程有一个根是2，求m的值； （2）求证：不论m为何值，方程总有实数根． 【答案】（1）1；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）将x=2代入方程计算即可得出答案； （2）当m＝0时，原方程为一次方程，有实数根；当m≠0时，判断≥0即可． 【详解】解：（1）将x＝2代入原方程，得：4m﹣2（m+2）+2＝0， 解得：m＝1． 故m的值为1； （2）当m＝0时，原方程为一次方程，此时x＝1； 当m≠0时，＝（m+2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0， ∴当m≠0时，方程有实数根． 综上所述：不论m为何值，方程总有实数根． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程根的判别式，当时，有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°． （1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在AC上，且⊙O与BC、AB都相切；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC=6，BC=8，则⊙O半径长为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以点O为圆心、OC为半径作圆； （2）记⊙O与AB的切点为D，连接OD，则OC=OD，BC=BD=8，设OC=OD=r，则AO=6-r，在Rt△AOD中，由AO2=AD2+OD2列出关于r的方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，⊙O即为所求． ． 【小问2详解】 解：记⊙O与AB的切点为D， 连接OD，则OC=OD，BC=BD=8， 设OC=OD=r， 则AO=6-r， ∵AC=6，BC=8， ∴AB==10， ∴AD=2， 在Rt△AOD中，由AO2=AD2+OD2得（6-r）2=22+r2， 解得r=，即⊙O的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作图—复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图和性质、切线的性质定理及勾股定理． 22. 如图，中，，以为直径的交于，交于． （1）求证：； （2）若，求和的度数． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得即可得出结论； （2）先求出，根据三角形内角和定理求出，等腰三角形的性质得，再由三角形外角的性质求出，再根据四边形是的内接四边形，结合，即可得出的度数． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： 是的直径， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：是的直径， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ 又∵ ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形性质以及三角形内角和定理和外角的性质等知识． 23. 如图，为半的直径，弦的延长线与过点B的切线交于点D，E为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）过点C作，垂足为点F，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质及判定、圆周角定理、直角三角形斜边中线的性质及勾股定理，解题关键是熟练掌握证明切线的方法，能利用勾股定理结合方程思想求解半径． （1）连接，通过证明得出即可； （2）设，由勾股定理得，，列方程求出x的值，则． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∵中，E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点C在圆上， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵中， ， ∴， 设， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， 解得， 则， 即的半径为． 24. 如图，是的直径，弦，垂足为E，K为弧上一动点，的延长线相交于点F，连接． （1）求证：； （2）已知 ，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、．根据“圆内接四边形对角互补”以及同角的补角相等，推知；然后由垂径定理以及等弧所对的圆周角相等证得；最后根据等量代换证得结论； （2）连接．利用垂径定理知，然后在中根据勾股定理求得，最后在中利用三角函数的定义求得，由等量代换知． 【小问1详解】 证明：连接、， ∵是圆内接四边形的外角， ∴， ∴， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵为的直径，， ∴， ∵弦，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵． 【点睛】此题考查了等弧所对的圆周角相等、圆内接四边形的性质、垂径定理、勾股定理以及解直角三角形等知识，熟练运用有关知识是解题的关键． 25. 如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）． （1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． 小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． （2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明． 【答案】（1）；；；；（2）相等，证明见解析 【解析】 【分析】（1）方法一：利用面积法求解；方法二：根据切线长定理，找出、、、的关系，可得答案； （2）利用平方差公式证明即可得到相等． 【详解】解：（1）在中，，，，，是的内切圆，，，分别为切点，的半径为， 方法一：如图，连接，，，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴； 方法二：∵是的内切圆，，，分别为切点，的半径为， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴、、都是的切线，切点分别为点，，， ∴，， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：；；；； （2）相等． 证明：∵， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查三角形内切圆，切线的性质，切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，等积法，平方差公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26. 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积． （1）如图，大圆的弦切小圆于点，求证：； （2）若，则图中的圆环面积为______用含有的代数式表示； （3）如图，若大圆的弦交小圆于、两点，且，，则圆环的面积为______． （4）如图，点是内一点，用不带刻度的直尺与圆规，过点作的弦，使保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1）详见解析 （2） （3） （4）详见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得，即可根据垂径定理证明； （2）连接，由得，因为，所以，则，求得，于是得到问题的答案； （3）连接，，作于点，则，，由，，求得，则，于是得到问题的答案； （4）设以为圆心，以长为半径的圆交过点的弦于另一点，连接，作于点，则，，所以，作出的弦需要满足，设，，，则，，由，得，可推导出，作出线段使它的长为，即为小圆的弦的长． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， 大圆的弦切小圆于点， ， ; 【小问2详解】 解：如图1，连接， 由（1）得，， ， ， ， ， ， 故答案：； 【小问3详解】 解：如图，连接、，作于点，则， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：； 【小问4详解】 解：如图3，作法： 作射线交于点； 作以为圆心，以长为半径的圆； 作以为直径的圆交以为圆心，以长为半径的圆于点； 连接，连接并且延长到点，使； 连接，作于点； 以为圆心，以长为半径作圆作弧，交以为圆心，以长为半径的圆于点； 过点、作直线交于点、， 弦就是所求的弦． 理由：连接，作于点，则， ，， ， ， 设，， ， ，， ， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 弦就是所求的弦． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、勾股定理、垂径定理、圆的面积公式、尺规作图等知识，掌握相关知识是解决问题的关键． 27. 问题背景：在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．教材原题：如图1，、是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小军在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上． （1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 直接应用： 当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决． （2）如图3，的两条高、相交于点O，连接并延长交于点F． 求证：为的边上的高． 拓展延伸：在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题： （3）在（2）的条件下连接、、（如图4），设，则的度数为________．（用含α的式子表示） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据圆的定义结合直角三角形斜边上的中线的性质进行解答即可； （2）证明，由三角形内角和定理可得，从而可得结论； （3）由圆周角定理可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，最后根据周角可计算出结果． 【详解】证明：（1）点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 连接，， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 连接，取的中点N，连接，，如图， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）连接，由点B、C、D、E四点共圆得， 由点A、D、O、E四点共圆得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的边上的高 （3）∵是边上的高， ∴ ∴点B、F、O、E四点共圆 ∴ ∵点A、D、O、E四点共圆 ∴ ∵ ∴ ∵，是的高， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了圆的定义，圆周角定理以及三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，运用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合是圆）是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 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