22.2 角平分线 课件 2025--2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

PowerPoint Design 汇报人：XXX 时间：2025 第22章 直角三角形 22.2-1 角平分线 CONTENTS 尺规作图-角平分线 01. 目录 角平分线的性质定理及其逆定理 02. 例题分析 03. 小结 04. 角平分线 引入 我们知道，角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 已知一个角，你能用直尺和圆规作出它的平分线吗? 如图22-2-1, 已知∠AOB, 求作∠AOB 的平分线. 作法： (1)以点O 为圆心、以任意长度 a 为半径作弧，分别交OA、OB 于 点D、E; (2)分别以点 D、E为圆心，以DE 的长为半径作弧，两弧相交于∠AOB 内的一点C； (3) 作射线OC. 射线 OC 就是∠AOB 的平分线(图22-2-2). 角平分线 下面我们证明这个作法： 证明 如图22-2-3, 连接CD、CE. 在△OCD 和△OCE 中, ∴ △OCD≌△OCE ∴ ∠COD=∠COE, 即OC平分∠AOB. 角平分线 如图22-2-4,设OC 是∠AOB 的平分线,在OC 上任取一个不与点O重合的点P，过点 P 分别向OA、OB 作垂线段，那么这两条垂线段的长相等. 归纳上述事实，得到角平分线的性质定理： 定理 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等. 显然，角平分线的端点到这个角的两边所在直线的距离相等，都为0. 研究角平分线有关问题时，约定所涉及的角小于平角. 角平分线 下面我们来证明这个定理 如图22-2-4, 已知: OC 是 的平分线，P是OC 上一点(点P 不与点O重合), PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为 D、E. 求证: PD=PE. 证明 因为 OC 是∠AOB 的平分线，所以因为 PE⊥OB, 所以∠PDO=∠PEO=90°. 又因为 OP 为公共边, 所以△PDO≌△PEO. 由此推出 PD=PE. 角平分线 反过来，则得到： 定理 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 角平分线 下面我们来证明这个逆定理： 如图22-2-5, 已知: Q 为∠AOB 内部一点, ( 垂足分别为D、E, QD=QE. 求证：点Q 在∠AOB 的平分线上. 证明 如图 22-2-6, 作射线 OQ. 因为 QD⊥OA, QE⊥OB, 所以∠QDO=∠QEO=90°. 又因为QD=QE, OQ 为公共边, 根据直角三角形全等的判定定理, 得 Rt△QDO≌Rt△QEO. 由此推出∠1=∠2, 即 OQ 是∠AOB 的平分线，由此可见点 Q 在∠AOB 的平分线上. 角平分线 课堂练习 22.2(1) 1.如图, 已知∠AOB, 用尺规四等分∠AOB. 角平分线 课堂练习 22.2(1) 2. 如图, 已知: 点 P、D 在∠AOB 的平分线上, OA=OB, PM⊥BD, PN⊥AD, 垂足分别是M、N. 求证: PM=PN. 证明：∵OD平分∠AOB， ∴∠BOD = ∠AOD. 在△BOD和△AOD中， OB = OA ∠BOD = ∠AOD, OD=OD ∴△BOD≌△AOD（SAS） ∴∠BDO = ∠ADO， ∴DO平分∠BDA. 又∵PM⊥DB, PN⊥DA， ∴PM = PN. 角平分线 小结： 角平分线的性质定理： 定理 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等. 角平分线的性质的逆定理： 定理 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 角平分线 例1 如图 22-2-7, 已知: 在中, AO、BO 分别是 的平分线， ，垂足分别为D、E. 求证：点O在∠C 的平分线上. 证明 如图22-2-8, 过点O作OF⊥AC, 垂足为 F. ∵ AO 是∠BAC 的平分线, OE⊥AB, OF⊥AC, ∴ OE=OF (角平分线的性质定理). 同理, 可得OE=OD. ∴ OD=OF. 又∵ OD⊥BC, OF⊥AC, ∴ 点O在∠C 的平分线上 (在角的内部，到角的两边所在 直线距离相等的点，均在这个角的平分线上). 本题结论表明：三角形的三个内角的平分线相交于一点， 这个交点叫作三角形的内心. 角平分线 例2 如图22-2-9, 已知: 在△ABC 中, AD 是∠BAC 的平分线, 且BD=CD. 求证: ∠B=∠C. 证明 如图22-2-10, 过点 D 作 DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为E、F. ∵ AD 是∠BAC 的平分线, DE⊥AB, DF⊥AC, ∴ DE=DF (角平分线的性质定理). 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中, ∵ DE=DF BD=CD ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (直角三角形全等的判定定理). ∴ ∠B=∠C. 角平分线 例 3 如图 22-2-11, 已知∠AOB 及其内部一点C. 求作∠AOB 内部一点P, 使 PC=PO, 且点 P 到直线OA、OB 的距离相等. 分析 假定点 P 已经作出，由PC=PO，可知点 P 一定在线段OC 的垂直平分线上.又由点 P 在∠AOB 内部且到直线OA、OB 的距离相等，可知点P 在∠AOB 的平分线上.因此，P 应是线段OC 的垂直平分线与∠AOB 的平分线的交点。 作法 (1)连接OC,作线段OC 的垂直平分线MN; (2) 作∠AOB 的平分线OD, OD 与MN 相交于点 P. P 就是所求的点(图22-2-12). 角平分线 课堂练习 22.2(2) 1.如图,已知:在四边形ABCD 中, 连接AC、BD 相交于点E, ∠CBD=∠CDB. 求证: CA 平分∠BCD. 证明 ∵∠CBD=∠CDB ∴BC=DC 在Rt△ABC与Rt△ADC中 BC=DC AC=AC ∴△ABC≌△ADC ∴∠ACB=∠ACD ∴CA平方∠BCD 角平分线 课堂练习 22.2(2) 2. 如图, 已知: CD⊥AB, BE⊥AC, 垂足分别为 D、E, BE、CD 相交于点O, 且AO平分∠BAC. 求证: OB=OC. 证明 ∵CD⊥AB，BE⊥AC,AO平分∠BAC. ∴OE=OD 在△OBD与△OCE中， ∠BDO = ∠CEO OD = OE ∠DOB= ∠EOC ∴△OBD≌△OCE （ASA）， ∴OB = OC. PowerPoint Design 汇报人：XXX 时间：2025 谢谢大家 $