精品解析：2022年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学二模试卷

2022年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 63的倒数是（ ） A. B. 36 C. D. 2. 如图所示的四组图形中，左边图形与右边图形既是中心对称又是轴对称的是（    ） A. B. C. D. 3. 根据阿里巴巴公布的实时数据，截至2016年11月11日24时，天猫双11全球狂欢节总交易额约1207亿, 把这个数据用科学记数法表示为（ ） A. 1207×108 元 B. 12.07×1010元 C. 1.207×108元 D. 1.207×1011元 4. 下列说法正确的是（ ） A. 某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，4次正面向上，因此正面向上的概率是40% B. 早上的太阳从东方升起是必然事件 C. 若甲、乙两组数据平均数相同，S甲2＝0.1，S乙2＝0.4，则乙组数据较稳定 D. 调查某种灯泡的使用寿命，采用普查的方式 5. 如图，的内角和外角的平分线相交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，正五边形的半径为，则这个正五边形的边长为（ ） A. B. C. D. 7. 北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时．设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，切于点，，，弦，则劣弧的弧长为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为a+b+c； ②a﹣b+c＜0； ③b2﹣4ac＜0； ④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论 ①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程； ②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3； ③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m； ④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程． 上述结论中正确的有（　　） A ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 12. 不等式组的解集是_____． 13. 把只有颜色不同的个白球和个红球放入不透明的盒子中搅匀，然后从中随机摸出个球后放回搅匀，再次随机摸出个球，两次都摸到白球的概率为______． 14. 将直线平移，使平移后的直线经过点，所得直线的表达式是______． 15. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC面积之比为1：9，若AD=1，则BC的长是____________． 三、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 如图，在方格纸中有直线l，点A，B，C都在格点上，按要求画多边形，使它的顶点都在方格的格点上，点A，B，C在边上（包括顶点）． （1）在图1中画一个轴对称图形，使直线l是对称轴； （2）在图2中画一个中心对称图形（非矩形），使直线l平分它的面积． 18. 某校为了改善学生伙食，准备午餐为学生提供鸡翅，现有A，B两家副食品厂可以提供规格为75g的鸡翅，而且它们的价格相同，品质也相近，质检人员分别从两家随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：g）如下： A副食品厂：74，74，74，75，73，77，78，72，76，77． B副食品厂：78，74，77，73，75，75，74，74，75，75． 并对以上数据进行整理如下： 平均数 中位数 众数 方差 A副食品厂 75 74.5 b 3.4 B副食品厂 75 a 75 2 根据以上分析，回答下列问题： （1）统计表中 ， ； （2）根据以上信息估计B副食品厂加工100个鸡翅中，质量为75g的鸡翅有多少个？ （3）如果只考虑鸡翅质量与规格的匹配程度，学校应该选购哪家副食品厂的鸡翅？说明理由． 19. 现将进货为40元的商品按50元售出时，就能卖出500件．已知这批商品每件涨价1元，其销售量将减少10个． （1）为了赚取8000元利润，售价应定为多少？这时应进货多少件？ （2）若公司想利润最大化应该如何定价？最大利润是多少？ 20. 如图，已知线段a、h，请用尺规作等腰，使底边长BC为a，BC边上的高为h（不写作法，保留作图痕迹）． 21. 如图，在中，，如果，为的三等分线，交底边于点，，且，那么我们把叫做型等腰三角形，若，则就叫做型等腰三角形． （1）在型等腰三角形中， 求证：； 若，求的值； （2），在中，和为半径，，为的三等分线，分别交于点，若为型等腰三角形，求的值； （3）对于型等腰三角形，若顶角为锐角，请直接写出的取值范围． 22. 如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F． （1）当点D是边AC中点时，求值； （2）求证：； （3）当时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 63的倒数是（ ） A. B. 36 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据倒数的定义作答即可． 【详解】63的倒数是， 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数． 2. 如图所示的四组图形中，左边图形与右边图形既是中心对称又是轴对称的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义，根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A：是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； B：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； C：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意； D：不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 3. 根据阿里巴巴公布的实时数据，截至2016年11月11日24时，天猫双11全球狂欢节总交易额约1207亿, 把这个数据用科学记数法表示为（ ） A. 1207×108 元 B. 12.07×1010元 C. 1.207×108元 D. 1.207×1011元 【答案】D 【解析】 【详解】1207亿= ,故选D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 某同学连续10次抛掷质量均匀硬币，4次正面向上，因此正面向上的概率是40% B. 早上的太阳从东方升起是必然事件 C. 若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝0.1，S乙2＝0.4，则乙组数据较稳定 D. 调查某种灯泡的使用寿命，采用普查的方式 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用必然事件的定义、概率的意义、抽样调查的意义以及方差的意义分别分析得出答案． 【详解】解：A、某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，4次正面向上，因此正面向上的频率是40%；故此选项不符合题； B、早上的太阳从东方升起是必然事件，故此选项符合题； C、若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝0.1，S乙2＝0.4，则 甲组数据较稳定，故此选项不符合题； D、调查某种灯泡的使用寿命，应采取抽样调查的方式，故此选项不符合题； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了必然事件、概率与频率的意义、抽样调查以及方差的意义，正确把握相关概念是解题关键． 5. 如图，的内角和外角的平分线相交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①根据角平分线的定义得到，，根据外角的性质即可得到结论； ②与只有三对角是相等的，但不能得出相等的边，所以不能得出全等的结论，； ③由，结合线段的代换．即可得到结论； ④由于是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点到、、的距离相等，从而得出为外角平分线，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可得出结论． 【详解】解：①平分， ， 平分， ， ，， ， ，故①正确； ②与只有三对角是相等的，但不能得出相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误． ③平分， ， ， ， ， ， 同理， ，故③正确． ④过点作于，于，于，如图， 平分， ， 平分， ， ， 平分， 设，，，如图， 则，， ， ， ， ， ， ， 即，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理、三角形外角性质等多个知识点，具有一定难度．判断出是外角平分线是关键． 6. 如图，正五边形的半径为，则这个正五边形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，根据正五边形的性质得出，解，即可求解． 【详解】如图所示，设正五边形的中心为点O，过点作． ∵，正五边形的半径为， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，解直角三角形，掌握正多边形的性质是解题的关键． 7. 北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时．设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“由北海到南宁的行驶时间动车比原来的火车少用1.5小时，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x千米/时，根据题意得： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 8. 如图，切于点，，，弦，则劣弧的弧长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质以及弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接、，根据切线的性质，特殊角的三角函数值，可求得是等腰直角三角形，又由弦，可得是等腰直角三角形，然后由弧长公式求解． 【详解】解：连接、， ∵切于点， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴劣弧的弧长为：．   故选：C． 9. 如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为a+b+c； ②a﹣b+c＜0； ③b2﹣4ac＜0； ④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案． 详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下， ∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确； ②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误； ③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误； ④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0）， ∴A（3，0）， 故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确． 故选B． 点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键． 10. 规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论 ①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程； ②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3； ③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m； ④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程． 上述结论中正确的有（　　） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断； ②设x2=2x1，得到x1•x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=-1时，x2=-2，于是得到结论； ③根据“倍根方程”的定义即可得到结论； ④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，得到mn=2，然后解方程mx2-3x+n=0即可得到正确的结论； 【详解】解：①∵方程x2+2x-8=0的两个根是x1=-4，x2=2，则2×2≠-4， ∴方程x2+2x-8=0不是倍根方程，故①错误； ②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则2x1=x2， ∵x1+x2=-a，x1•x2=2， ∴2x12=2，解得x1=±1， ∴x2=±2， ∴a=±3，故②正确； ③解方程（x-3）（mx-n）=0得，， 若（x-3）（mx-n）=0是倍根方程，则或， ∴n=6m或3m=2n，故③错误； ④∵点（m，n）在反比例函数y＝的图象上， ∴mn=2，即， ∴关于x的方程为， 解方程得， ∴x2=2x1， ∴关于x的方程mx2-3x+n=0是倍根方程，故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 【答案】． 【解析】 【分析】先利用提公因式法将提取出来，然后再利用完全平方公式分解因式即可 【详解】解： 故答案是：． 【点睛】本题考查了提公因式法和完全平方公式法分解因式，熟悉相关性质是解题的关键． 12. 不等式组的解集是_____． 【答案】1≤x＜3． 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解：， 由①得，x＜3， 由②得，x≥1， 所以不等式组的解集为1≤x＜3， 故答案为1≤x＜3． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 13. 把只有颜色不同的个白球和个红球放入不透明的盒子中搅匀，然后从中随机摸出个球后放回搅匀，再次随机摸出个球，两次都摸到白球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；因此此题可根据列表法求解概率． 【详解】解：由题意可列表如下： 白 红1 红2 白 （白，白） （白，红1） （白，红2） 红1 （红1，白） （红1，红1） （红1，红2） 红2 （红2，白） （红2，红1） （红2，红2） 由表可知两次摸球的情况有9种，其中两次都摸到白球的有1种，所以两次都摸到白球的概率为； 故答案为． 14. 将直线平移，使平移后的直线经过点，所得直线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移不改变的值可设，然后将点代入即可得出直线的函数解析式． 【详解】解：设平移后的函数表达式是， ∵它经过点， ∴， 解得：． ∴平移后的函数解析式为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变． 15. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：9，若AD=1，则BC的长是____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据AD∥BC，求证△AOD∽△BOC，再利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴△AOD∽△BOC， ∵△AOD与△BOC的面积之比为1：9， ∴， ∵AD=1， ∴BC=3． 故答案为3． 三、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简各数得出答案． 【详解】解：原式． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值、实数运算，正确化简各数是解题关键． 17. 如图，在方格纸中有直线l，点A，B，C都在格点上，按要求画多边形，使它的顶点都在方格的格点上，点A，B，C在边上（包括顶点）． （1）在图1中画一个轴对称图形，使直线l是对称轴； （2）在图2中画一个中心对称图形（非矩形），使直线l平分它的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可． （2）根据中心对称图形作出图形即可． 【详解】解：（1）轴对称图形如图所示（答案不唯一）． （2）中心对称图形如图所示（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18. 某校为了改善学生伙食，准备午餐为学生提供鸡翅，现有A，B两家副食品厂可以提供规格为75g的鸡翅，而且它们的价格相同，品质也相近，质检人员分别从两家随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：g）如下： A副食品厂：74，74，74，75，73，77，78，72，76，77． B副食品厂：78，74，77，73，75，75，74，74，75，75． 并对以上数据进行整理如下： 平均数 中位数 众数 方差 A副食品厂 75 74.5 b 3.4 B副食品厂 75 a 75 2 根据以上分析，回答下列问题： （1）统计表中 ， ； （2）根据以上信息估计B副食品厂加工的100个鸡翅中，质量为75g的鸡翅有多少个？ （3）如果只考虑鸡翅质量与规格的匹配程度，学校应该选购哪家副食品厂的鸡翅？说明理由． 【答案】（1）75，74 （2）质量为75g的鸡翅估计有40个 （3）B副食品厂，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）用总数量乘以样本中质量为75g的鸡腿数所占比例即可； （3）根据中位数、众数和方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：将B加工厂数据重新排列为73，74，74，74，75，75，75，75，77，78， ∴中位数， A加工厂数据74出现的次数最多， ∴众数， 故答案为：75，74； 【小问2详解】 解：估计B加工厂质量为的鸡腿有（个）， 即质量为75g的鸡翅估计有40个； 【小问3详解】 解：应该选择B加工厂的鸡腿， 由以上分析可知：B加工厂的鸡腿与A加工厂的鸡腿的质量的平均数都是，但B加工厂鸡腿的中位数，众数都是，而且比A加工厂的鸡腿的中位数，众数大， 说明B加工厂的鸡腿质量多集中在附近，而且B加工厂鸡腿的方差还比A加工厂的鸡腿的方差小，说明B加工厂鸡腿的质量波动小，所以选择B加工厂． 【点睛】本题考查了中位数、众数和平均数、方差，熟悉计算公式和意义是解题的关键． 19. 现将进货为40元的商品按50元售出时，就能卖出500件．已知这批商品每件涨价1元，其销售量将减少10个． （1）为了赚取8000元利润，售价应定为多少？这时应进货多少件？ （2）若公司想利润最大化应该如何定价？最大利润是多少？ 【答案】（1）售价应定为60元，这时应进货400件，或售价应定为80元，这时应进货200件； （2）定价为70元时可获得最大利润． 【解析】 【分析】（1）由利润=（售价-进价）×销售量，列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设售价为x元，总利润为W元， 则， 当时，， 解得：， 当时，进货（件）； 当时，进货（件）； ∴为了赚取8000元利润，售价应定为60元，这时应进货400件，或售价应定为80元，这时应进货200件； 【小问2详解】 由（1）得， ∵， ∴函数有最大值， 当时，W最大， 即定价为70元时可获得最大利润． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解“商品每个涨价1元，其销售量就减少10个”． 20. 如图，已知线段a、h，请用尺规作等腰，使底边长BC为a，BC边上的高为h（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】画一线段，作垂直平分线与的交点为D，在垂直平分线上截取 ，连接，即可得答案． 【详解】解：如下图，以点B为端点画射线，以点B为圆心，以a为半径画弧交射线于点C，得，再以点B、C为圆心，以大于长为半径，在线段的两侧画弧，交E、F两点，连接，交线段于点D，最后以点D为圆心，以h为半径画弧交直线于点A，连接，即为所求． 【点睛】此题考查了尺规作图，已知等腰三角形底边和高画等腰三角形，解题的关键是掌握垂直平分线的尺规作图的步骤以及等腰三角形三线合一的性质． 21. 如图，在中，，如果，为的三等分线，交底边于点，，且，那么我们把叫做型等腰三角形，若，则就叫做型等腰三角形． （1）在型等腰三角形中， 求证：； 若，求的值； （2），在中，和为半径，，为的三等分线，分别交于点，若为型等腰三角形，求的值； （3）对于型等腰三角形，若顶角为锐角，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①见解析；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明得证对应线段相等；通过等腰三角形的性质得到角度之间的等量关系，利用“三角形内角和为”求出度数，再利用得到对应线段成比例，建立方程求解； （2）通过圆周角定理，“同弧所对圆周角相等，圆心角是圆周角的一半”等得到角度之间的等量关系，运用“内错角相等，两直线平行”证明，再利用等腰三角形的性质和“平行线分线段成比例”得到线段之间的等量关系，结合得到对应线段成比例，建立方程求解； （3）考虑特殊情况当三角形是直角三角形时，求出的值，再根据顶角变小时的的变化得到的的取值范围． 【小问1详解】 解：证明：如图中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 解：由可知，， ， ， ，设，则， 在中， ， ， ， ， ， ， ，设，， ， ， ， 或舍弃， ， ． 【小问2详解】 如图中，连接、、、． 为型等腰三角形， ，设，则， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，设， ， ， ， ， ，， ． 【小问3详解】 如图中，当时，作于，于，设， ， ， ， ， 中，， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ． 由题意知， 所以，即， 型等腰三角形，若顶角为锐角，的取值范围是． 【点睛】本题主要考查等腰三角形、全等三角形和相似三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线分线段成比例以及特殊直角三角形等知识点，运用圆周角定理做辅助线，构造相似三角形，利用对应线段成比例的性质和构造特殊直角三角形找到所求线段长度的比值是解题的关键． 22. 如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F． （1）当点D是边AC中点时，求的值； （2）求证：； （3）当时，求． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）5：3 【解析】 【分析】（1）过D作DH⊥AB于H，设，，由勾股定理得，由中点定义和三角形等面积法求得DH，再根据勾股定理求得AH、BH，由求解即可； （2）根据相似三角形的判定证明△DEB∽△ADB、△DFB∽△ACB，根据相似三角形的性质即可证得结论； （3）设，，则DF=4k，根据余切定义和勾股定理可求得EB、BF、BD，再根据相似三角形的性质求得AB即可求解． 【小问1详解】 解：过D作DH⊥AB于H， 在中，，， 设，， ∴， ∵D为AC的中点， ∴AD= AC= ， ∴， ∴， 在Rt△AHD中，， ∴BH=AB－AH= －= ， 在Rt△BHD中，； 小问2详解】 证明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD， ∴△DEB∽△ADB， ∴， ∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A， ∴△DFB∽△ACB， ∴， ∴即； 【小问3详解】 解：由可设，，则DF=4k， ∵， ∴cot∠BDE=cot∠A=， ∴， ∴，又∠F=90°， ∴， ， ∵△DEB∽△ADB， ∴即， ∴AB=8k， ∴AE=AB－EB=5k， ∴AE：EB=5k：3k=5：3． 【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $